1、高等代數(shù)第一學(xué)期考試卷答案（A卷）考試（考查）：考試 時間：2007年1 月 日 本試卷共6頁，滿分100 分； 考試時間：120 分鐘題號一二三四總分閱卷教師簽名12312得分得分評卷人一、選擇題（本大題共8個小題，每空4分，共32分.請在每小題的四個備選答案中選出一個正確的答案，并將其號碼填入題后的括號內(nèi)）.1、若階矩陣A與B相似，則 【 A 】. A與B有相同特征值 B. A與B有不同特征值C. A與B有相同特征向量 D. A與B有不同特征向量2、下列向量組中，線性無關(guān)的是 【 D 】A B CD，其中任一向量都不能表成其余向量的線性組合.3、已知是向量空間的兩個基，則從基到基的過渡矩陣

2、為 【 A 】A BC D4、下列子集中,作成向量空間Rn的子空間的是 【B 】A BC D5、歐氏空間V的線性變換是對稱變換的充要條件是，都有 【 C 】A BCD把V的規(guī)范正交基變成V的規(guī)范正交基6、設(shè)矩陣A為n階方陣且| A | = 0，則 【 C 】AA中必有兩行或兩列的元素對應(yīng)成比例BA中至少有一行或一列的元素全為零；CA中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的線性組合；DA中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的線性組合7、設(shè)是維向量空間，的維數(shù)為 【 B 】A. B. C. D. 無限維8設(shè)是歐氏空間V的規(guī)范正交基，且，則 【 A 】A. B. C. D. 得分評卷人二、填空題

3、（本大題共5個小題，每空4分，共20分.請將正確結(jié)果填在題中橫線上）.1、三階方陣A的特征多項式為，則 -3 .2、設(shè)，則向量是A的屬于特征根 4 的特征向量3、為階正交矩陣，且，則 -1 4、取 3/2 時，向量組，線性相關(guān).5、若A是正交矩陣，要使kA為正交矩陣，則k = 1 .得分評卷人三、計算題（本大題共3個小題，共28分.請寫出必要的推演步驟和文字說明）.1、（本小題6分）在向量空間中，求由向量組所生成子空間的基和維數(shù)；解:（解法不唯一） 令.則只對A施行行初變換即可. 2分. 4分故為所求的一個基, 生成子空間的維數(shù)是2. 6分2、（本小題8分）設(shè)表示數(shù)域F上次數(shù)小于3 的多項式連

4、同零多項式構(gòu)成的向量空間，定義映射： 1）驗證是線性變換；2）求線性變換在基下的矩陣.解: 1) 有故是上的線性變換 （也可用線性變換定義驗證） 3分 2) 因為 4分 5分 6分關(guān)于基的矩陣為: 8分3、（本小題14分）對實對稱矩陣求一個正交矩陣U，使AU為對角形矩陣.解：所以特征根為，（二重）分當(dāng)時，對應(yīng)齊次線性方程組為其基礎(chǔ)解系為 分正交化得 分當(dāng)時，對應(yīng)齊次線性方程組為其基礎(chǔ)解系為，化為為單位向量為11分所以正交矩陣 13分且使得 14分得分評卷人四、證明題（本大題共2個小題，每小題10分，共20分，須寫出必要的推理過程和文字說明）1設(shè)都是一個歐氏空間的向量,且是的線性組合.證明：如果與正交,那么.證明: 令,則 3分 每式2分,計9分 所以=0 10分2設(shè)是三