1、 基金使用規(guī)劃-數(shù)學(xué)建模 基金使用規(guī)劃 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）（選自2001 一、問題描述 元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。M某?；饡幸还P數(shù)額為發(fā)行假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，1。當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利率見表 時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。要求每年的獎金額大年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，?；饡媱澰趎年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計n致相同，且在劃，以提高每年的獎金額。請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計基金使用方案， n=10年給出具體結(jié)果：并對M=5000萬元， 只存款不購國庫券。1 可存款也可購國庫券。2年要舉行百年校慶，基金會希望這一

2、年的獎金33學(xué)校在基金到位后的第 。比其它年度多201銀行存款稅后年利國庫券年利活0.792半年1.664一年1.800二年1.9442.55三年2.1602.89五年2.3043.14 二、問題分析 基金應(yīng)滾動使用，即一筆錢存銀行或購買國庫券，到期除去當(dāng)年所用獎金之后，剩余部分繼續(xù)存銀行或購買國庫券?；鸬轿划?dāng)年不設(shè)獎金，所有資金用于存款或買國庫券；最后一年留出基金本金外，剩余資金全部用于獎金。在設(shè)計基金使用方案時，須考慮以下兩個因素： 1. 由于從基金到位后的下一年開始每年都要使用獎金，因此方案要保證每 年都有存款（或國庫券）到期； 2. 由于銀行存款或國庫券的檔期越長，年平均收益越高，因

3、此，若一筆資金k年后要用（如k=3），一定是將該筆資金直接存k年期銀行定期存款，或購買相應(yīng)年限的國庫券。 如是，基金使用方案應(yīng)遵循如下框架：每一年所有可供調(diào)用的資金都被分割成分別存1，2，3，5年期銀行存款（或購買2，3，5年期國庫券）的金額和當(dāng)年使用的獎金額；基金到位年不設(shè)獎金，基金使用最后一年只分割成基金本金和獎金。因此，決策的內(nèi)容就是各年的可供調(diào)用資金的分割方案，決策目標(biāo)是使獎金總額極大化。決策的結(jié)果還應(yīng)使得每年的獎金額大致相等。 三、建模 模型1（只存銀行不買國庫券） 由題設(shè)，基金使用年限為10年，設(shè)基金到位年為第0年，可令x(i=0, 1, 2, , ij9；j=1, 2, 3, 5

4、)表示第i年可供調(diào)用總資金中用于存j年期銀行存款的資金，其中，x、x、x、x、x、x、x恒為0。由于要求每年用于獎金的資金額大致95857592936583相等，可令t表示從第1年至第10年每年供獎金使用的資金額。實際決策變量共34個。 maxz?10t 10年使用的獎金總額最大，即 優(yōu)化目標(biāo)為約束條件除所有變量的非負(fù)約束外，就是反映各年資金分割情況的等式約束： x?x?x?x?M第0年05020301x)(1?r?x?x?x?t?x第1年01111315121x2r)?r)x?(1?xx?x?x?t?(1第2年02112322112225x)3r?(1?t?(1?r)x?(1?2r)xxx?

5、x?x第3年03322133321353112x)r)x?(1?2rx?(1?3r?x?x?x?xt?(1?第4年13413422314322145 x5r)3r)?x?t?(1?rx?(1?2r)x?(1?)x?(1?xx?x第5年05532532235551152341x)x?(1?5r)?x(1?2r)x?(1?3r?xx?x?t(1?r)第6年156333512613624251x)?5r?3r)x(1(1?x?xxt?(1r)x?(?2r)x?1?第7年252736157235217143x1?2r)?t?(1?rx?x?x(1?)x?(13r)x?(?5r)第8年352562182

6、3537181xx)5r?(1?)1x?x(1?r)?(?2rx?(1?3rt?第9年45163819125723x)()3rx?1?5r1x?r?M?t(1?)x(12r)?(?第10年559173582312式中，r、r、r及r分別表示銀行1年期、2年期、3年期及5年期存款的年5213利率，M為基金總額。為求解時方便準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，可將模型按變量x, x, x, x, 05020103x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, 614553355111411213551521422223432531523233x,

7、 x, x, x, x, x, x, x, t順序展開（限于篇幅不再列舉）。 9182736263717281 （可存銀行也可買國庫券）2模型 由于國庫券年利率都高于同期銀行存款利率，顯然，只要能買國庫券就不會存同期銀行存款。所以，在模型1中將用于表示銀行存款額的變量x以購買ij同檔期國庫券金額的變量y (j= 2, 3, 5)替代，相應(yīng)銀行存款年利率r、r及r分523ij別由R、R及R同期國庫券年利率替換后即得模型2 532 t10maxz?x?y?y?y?M05020103 x?y?y?y?t?(1?r)x01121115113x?y?y?y?t?(1?r)x?(1?2R)y0212322

8、1121225x?y?y?y?t?(1?r)x?(1?2R)y?(1?3R)y03332312135321123x?y?y?y?t?(1?r)x?(1?2R)y?(1?3R)y13345142222434131 . s.ty)1?5R?3R)y?(x?(1?2R)y?(1?x?yy?y?t?(1?r)05534123553252123515y)?5R?3R)y(1(1?2R)y?(1?x?y?yt?(1?r)x?156342362335125611y)?5Rx?y?y)y?(11?2R)y?(1?3R?t?(1?r)x?(255716172522731343y)?5Ry?(1x?y)?2Ry?

9、(1?3R)?t?(1?r)y?(13553251623817182y)?5Ry?(1)y?x(1?3R)?t?(1?r)x(1?2R45639117258123y5R)?(1?y?(1?3R)y1M?t?(?r)x?(1?2R)558291512373且決策變量均取非負(fù)值。 模型3（基金到位后第3年的獎金比其它年度多20%） 在模型2上稍作修改即得：第4個約束方程中獎金額由t改為1.2t；目標(biāo)函數(shù)由改為。模型為： t.2?10z?10tzmaxmax t0.2z?1maxx?y?y?y?M05020103t?(1?y?r)x?x?yy01112111513t?(1?r)x?(1?2Ryx?y

10、?y?)y02223112125122x?y?y?y?1.2t?(1?r)x?(1?2R)y?(1?3R)y03351213123221333x2R)t?(1?rx?(1?)y?(1?y?y)y?y?3R45223143131414223 . s.t ?(1?yy?y?)1y?3R)?(?5Ryx?2R?)(t?1?rx(1?)y55525313324152351205?r?t(1?)x(12R)y?y)()3Ry?1?5Ry?x1y?(?631351613315262425?yyx?)5R?y)(?)1?x?(t?1r)(?2Ry1?3R(1?y737135143612572252?y?(?

11、y15R)yx?)3R1?y)?(?)r1?t(?y12R(?8235523625381171?x)5R?1?y)3R?(?)y2R1?x)(?(t?1r?1(y91272534518163?1?(y)2R?(?1)xr1(?t?1(?yy)3R?)M?5R557335219182且決策變量均取非負(fù)值。 四、在Matlab中求解 僅列舉模型1的求解過程，模型2、3可仿照處理。 代碼Matlab r1=0.018; r2=0.01944; r3=0.0216; r5=0.02304; M=5000; f=zeros(34,1); f(34, 1)= -10; Aeq=1,1,1,1,0,0,0,

12、0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; -(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

13、,1; 0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,0

14、,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,1,1,1,0,0,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,0,1,1,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,1,1; 0,0,0,0,0,

15、0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),-(1+r1),1; beq = zeros(11,1); beq(1,1) = M; beq(11,1) = -M; lb=zeros(34,1); x, fval = linprog(f, , , Aeq, beq, lb); 4。求得三種情況下的基金最優(yōu)使用方案及收益，見表2 基金最優(yōu)使用方案（各年度銀行存款計劃）及收年0123456789存款207277504.0.00.00.00.0074062267103400.00.00.00

16、.09.0.000781203287420.00.04.0.0)02674744 105458430164.60.66. 2.5年2.0 50 07 .10 71 期2 1098.2年共計109.82萬元；10每年獎金額約為 萬元。90如果不加運籌，每年把基金本金存一年定期供下年度使用，則每年僅有萬元。運籌使每年的獎金額增加了198.210年少產(chǎn)生資金共計萬元獎金可用， 。22.02 基金最優(yōu)使用方案年期存銀行年期買國庫券）及收年0123456789存款2000528.0.00.00.00.00250003248000.00.00.08.0.0580020240581860.09.8.)05.

17、120090104472824060.08.53780.900 每年獎金額約為146.86萬元；10年共計1468.6 萬元。 在考慮購買國庫券后，運作方案有明顯的變化：由于購買國庫券收益率更年期以上款項（全部為比較，1高，資金分配自然向購買國庫券流動。與模型2年期款項（為銀行存款額）無一例外1購買國庫券）在平衡之余整體增加，而 全都降低。 。63.18%有效的運作使每年的獎金額比不運作更是大幅提升了 表4 基金最優(yōu)使用方案（考慮購買國庫券，第3年獎金多20%）及收益 年序 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 存款期1224.590.000.0050.670.000.000.000.000.000.00213.850.000.000.00