1、 A）高數(shù)期末考試（ 16分）一、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共 xxcoscos?x)?d(x)的一個(gè)原函數(shù),則x已知f(是f xx 1. . ?12n?222?(cos)?L?cos?limcos nnnn 2.?n. 1 221arcsinx?x?dx?2x1?1 3. 2 ) 16分分, 共, (本大題有4小題每小題4二、單項(xiàng)選擇題x1?3x，則當(dāng)x?1時(shí)（x設(shè))(x)?3?3，）( x1? 4. ?(x)與)(x)(x(x)與） （B是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮??； （A是等價(jià)無(wú)窮??； ?(xx)(x)(x)高階的）是比 高階的無(wú)窮小； （C） 是比 （D無(wú)窮小. 設(shè)f(x)

2、?cosx(x?sinx),則在x?0處有() 5. ?(0)?0ff(xf)(0)?2f(0)?1不可導(dǎo)（D）C （A）B）. （ x?(2t?x)f(x)?(t)dtFf(x)(?1,1) 6.二階可導(dǎo)且在區(qū)間若上，其中0?(x)f?0，則（ ）. F(x)x?0處取得極大值；必在 （A）函數(shù)F(x)x?0處取得極小值；必在 （B）函數(shù)F(x)(0,F(0)y?F(x)0?x的拐點(diǎn)；C）函數(shù) 處沒(méi)有極值，但點(diǎn)為曲線在（F(x)(0,F(0)y?F(x)0x?的拐點(diǎn)。處沒(méi)有極值，在點(diǎn)（D）函數(shù)也不是曲線 1?f(t)dt , 則f(x)?xf設(shè)(x)是連續(xù)函數(shù)，且 f()?x?2() 7.

3、022xx2? 2x?x?122. ）（C）（D A（B） （ 8. 分）小題，每小題8分，共40三、解答題（本大題有5?y?x)(yx)?yy(x(0)y1)?exy?sin( 9. 以及設(shè)函數(shù)由方程確定，求7x?1?.求dx 7)1(x?x 10. x?0?xxe，?1 ?dxx求)f(設(shè)f(x)?3?2?1?x?x，02x? 11. 1f(x)?dt)(g(x)?xtf?Alim)xf( x 12.0?xA為常數(shù). 求，設(shè)函數(shù)連續(xù)，且0?)(x)ggx(0?x. 處的連續(xù)性并討論在1y(1)? xlnx2y?xy?913. 求微分方程滿足的解. 四、 解答題（本大題10分） (0,1)(

4、x?0y?y(x 14.，且曲線上任一點(diǎn)已知上半平面內(nèi)一曲線，過(guò)點(diǎn)M(x,y)x?xyx所圍成軸、處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與軸、直線000面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程. 五、解答題（本大題10分） y?lnxy?lnx 15.及的切線，該切線與曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線x 軸圍成平面圖形D. (1) 求D的面積A；(2) 求D繞直線x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V. 六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分） ?0,1)f(xq?0,1 16.，數(shù)證明對(duì)任在意的連上續(xù)且單調(diào)遞減設(shè)函q1?f(xq)dxf(x)dx?. 00?f(x)dx?0f(x)cosxdx?0?,0)f

5、(x 17.且，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，00?.f(0)?f()?,0,（提證明：在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使，2121x?f(x)?)dxF(x） 示：設(shè)0解答 一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題, 每小題4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分） ?1cosx2()?c6 ex2328. . .7. 5. . 6.三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分） 9. 解：方程兩邊求導(dǎo) x?y?y)(cos(y(1e?)?xyxy?0 x?y?yecos(xy)?(x)y? x?ye?xcos(xy) ?(0)?0y1x?0,y ，76dx?

6、duu?x7x解： 10.1(1?u)112?(?)du?du原式? 7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c 7 1277|?C|1?|xx|?ln?ln 77 101 2x?dxx2?xf(x)dx?xedx 解：11. 0?3310 2?x?dx1)(x)?1?xd(?e 30?002x?x?cos1?e?sind)(令x?xe?3? 2?3?1?2e? 4 0(0)?f0(0)?g 12. 解：由，知。x?f(u)du1u?xt?0?f(xt)?)dtxg( x(x?0) 0x?f(u?)duxf(x)?0 (g(x)?x?0) 2x x?f(u)duf(x)

7、A?0?lim?limg (0) 22xx2 0?x?0xx?f(u)?)duxf(xAA?0lim?x)lim?A?g?( ?)xg(20x?x22 ，在 處連續(xù)。0xx?0?dy2?y?lnx dxx13. 解： 22?dxdx? )Celnxdx(y?e?xx 112?x?Cx?xlnx 39 111x?xy?xln0,?(1)?Cy 939， 分）10解答題（本大題 四、x?yx2?yyd? 解：由已知且， 14.0?yyy?2x 將此方程關(guān)于 求導(dǎo)得 r?1,r?2.20?r?2r 解出特征根：特征方程： 21?x2xy?Ce?Ce 其通解為2121,CC? 211?)y(0)?y(

8、0?33 ，得代入初始條件 12x?x2ee?y? 33 故所求曲線方程為： 分）五、解答題（本大題101y?lnx?(x?x) 00x)xx,ln(15. 解：（1，）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為切線方程： 0001y?xx?e e由于切線過(guò)原點(diǎn)，解出，從而切線方程為： 011y?e?1e?ey)A?dy( 2 則平面圖形面積012?e?V 13 （2）三角形繞直線x = e一周所得圓錐體體積記為V，則1xy?ln一周所得旋轉(zhuǎn)體體積x軸及直線ex = 曲線x = e所圍成的圖形繞直線與V為2 1y2?dye)(eV?2 0?2?12e?3?V?V)(5eV? 216 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 = D

9、繞直線xe 分）4六、證明題（本大題有2小題，每小題分，共12q1qq1?dx(xdx?q)ff(x)f(x)dx)dx?)f(x)dx?q(f?x 證明16. ：q0000q1?f(x)dx?q?(1?q)dxf(x) 0q?q0,qf)?(),1?f(2121?)?f(0q)?q(1?(?q(1?q)f) 21 故有：q1?f(x)dx?qdx(fx) 證畢。 0017. x?x,0?)?)f(tdt(Fx?)0,0,(在其滿足在。上連續(xù)，構(gòu)造輔助函數(shù)：證：0?)?F)(Fxf)F(x?()0?(0 ，且上可導(dǎo)。?|?dx)F(?xsinxdFcos(x)?F(x?0?f(x)cosxdx

10、?x)cosx0 由題設(shè)，有，000?x0(F)sinxdx?0)sin)F(?(0,即，使有，由積分中值定理，存在0?0(?)F ?,?(0,)(F0)?F()?F(0)?0上分別應(yīng)用羅.綜上可知在區(qū)間 爾定理，知存在?0?)?(f)(0,?)0?(f,()F(?)0F? ，使即和及. 212211 (B) 高數(shù)期末試題) 分共16每小題4分, 一、單項(xiàng)選擇題 (本大題有4小題, )(?0處有x(x?sin),則在x設(shè)f(x)?cosx 18. ?)(x(0)?2f0(0)?1fff(0)?. （B）不可導(dǎo) （A）C）（D1?x?3x，則當(dāng)x?1時(shí)（x)?設(shè)3(x)?3，）( x?1 19.

11、 ?(x)x與)(x)與(x)） A）（B是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮??； （是等價(jià)無(wú)窮??； ?(xx)(x)(x高階的D）是比高階的無(wú)窮??； （C） 是比 （無(wú)窮小. x?(2t?x)f(t)F(x)?dtf(x)(?1,1) 20.二階可區(qū)，其中間上若導(dǎo)且在0?(x)?f0，則（ ）. F(x)x?0處取得極大值； 必在（A）函數(shù)F(x)x?0處取得極小值； （B）函數(shù)必在F(x)(0,F(0)y?F(x)0?x的拐點(diǎn)；（C）函數(shù)在 處沒(méi)有極值，但點(diǎn)為曲線F(x)(0,F(0)y?F(x)0?x的拐點(diǎn)。 處沒(méi)有極值，函數(shù)在點(diǎn)也不是曲線（D）1?f(t)dt , 則f(x)是連續(xù)函數(shù)，且 f

12、(x?x?2)?()(設(shè)fx) 21. 022xx2? 21x?x?22. ）（C） （AD） （B 16分）二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共2 ?x)(1?3limxsin 22. 0?x xcoscosx?d(x)?已知,是f(x)的一個(gè)原函數(shù)則xf xx 23. . ?12?n222?cosLcoslim?(cos?) nnnn 24.?n. 1 221x?arcsinx?dx2x1?1 25. 2 分）小題，每小題8分，共40三、解答題（本大題有5?y?x)?yy(x)xy(0)y1)?e?sin(xy 26.由方程確定，求. 以及設(shè)函數(shù)7x?1?.d求x 7)x1?x( 2

13、7. x?0x?xe，?1 ?x)?求dxf(f設(shè)(x?3?2?1?x?2x?x，0? 28. 1f(x)?dt)?)f(xt(gxlim?A)xf( x 29.0x?A為常數(shù). 設(shè)函數(shù)且，求連續(xù)，0?)gx(g)(x0?x. 處的連續(xù)性在并討論1?y(1)? xxy?xyln?29 30.的解求微分方程. 滿足 四、 解答題（本大題10分） (0,1)?0y?y(x)(x 31.，且曲線上任一點(diǎn)已知上半平面內(nèi)一曲線，過(guò)點(diǎn)M(x,y)x?xyx所圍成軸、處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與軸、直線000面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程. 五、解答題（本大題10分） y?lnxy?lnx 32.

14、及x 的切線，該切線與曲線軸圍過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線成平面圖形D. (1) 求D的面積A；(2) 求D繞直線x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V. 六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分） ?0,1)xf(q?0,1 33.，的調(diào)遞減，設(shè)函數(shù)證明對(duì)在任意上連續(xù)且單q1?f(xq)dx?f(x)dx. 00?f(x)cosxdx?0(fx)dx?0?,0)(xf 34.且，設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在00?)?0.f(?)f(?,0（提，證明：在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使2121x?f(x?)dxxF()）示：設(shè) 0 ) 分16共, 分4每小題, 小題4本大題有(單項(xiàng)選擇題一、1、D 2、A 3、C 4、

15、C 二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分） ?1cosx2()?c6 ex2328. . 6. . .7. 6. 三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分） 18. 解：方程兩邊求導(dǎo) x?y?y)xy?0?y)?cos(xy)(e(1 x?y?ycos(xye)?(x)y? x?ye?xcos(xy) ?(0)?0y1x?0,y? ，76dx?duu?x7x解： 19.1(1?u)112?(?)原式?dudu 7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c 7 1277|?xC|?ln|1?ln|x? 77 101 2x?dxx)dx?xxedx?2xf

16、( 解：20. 0?33?10 2?x?dx?1)1?(?xd(e)?x 30?002?x?x?d)cos(令x?xe?e?1?sin?3? 2?3?1?2e 4 0(0)?f0?g(0) 21. 解：由。，知x?f(u)du1uxt?0?)dtg(x)?(fxt x(x?0) 0x?f(u)?)duxf(x?0 (x?g?(x)0) 2x x?f(u)duf(x)A?0?(0)?limlimg 22xx2 0x?x0?x?f(u)duxxf()?AA?0lim?A?x?limg()? )(xg20x?x22 處連續(xù)。在 ，00x?x?dy2?y?lnx dxx 解： 22.22?dxdx?

17、)lnxdx?y?e(Cexx 112?x?Cxxlnx 39 111x?xlnxy?0C?,?y(1) 939， 分） 解答題（本大題10四、x?yx?yyd?2 ，23. 解：由已知且 0?y?y2yx 求導(dǎo)得 將此方程關(guān)于 r?1,r?2.202?r?r? 特征方程：解出特征根：21?x2xy?Ce?Ce其通解為 2121,C?C? 211?(0)y(0)?y?33 ，得代入初始條件 12xx2?e?ye? 33 故所求曲線方程為： 五、解答題（本大題10分）1y?lnx?(x?x) 00x)x,ln(x切線方程： 24. 解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為，0001y?xx?e e由于切線

18、過(guò)原點(diǎn)，解出，從而切線方程為： 011y?e?1ey)A?dy(e? 2 則平面圖形面積012?eV? 13 e一周所得圓錐體體積記為V，則（2）三角形繞直線x = 1xy?ln一周所得旋轉(zhuǎn)體體積曲線x = e與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線V為2 1y2?dy?V?e)(e2 0?2?12e?5e3?VV?V?)( 216 D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 12分，共分）2六、證明題（本大題有小題，每小題4q1qq1?dx(x?x)dxq)ff(f(x)dxx)dx?f(x)dxq()f( 25. 證明：q0000q1?f(x?q)dx?q)(fx)dx?(1 0q?)()?f(fq?0,q?,12121?()?q?(1qf)q)(fq?(1)0 21 故有：q1?f(x?