1、2017年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷一 填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1. 設(shè)集合,集合,則 .2. 不等式的解集為 。3. 若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則 。4. 若，則 。5. 若關(guān)于、的方程組無解，則實數(shù) 。6. 若等差數(shù)列的前項的和為，則= 。7. 若、是圓上的動點，則的最大值為 。8. 已知數(shù)列的通項公式，則 。9. 若的二項展開式的各項系數(shù)之和為729，則該展開式中常數(shù)項的值為 。10. 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，點在該橢圓上，則使得是等腰三角形的點的個數(shù)是 。11.設(shè)為的一個排列，

2、則滿足的不同排列的個數(shù)為 。12.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則的取值范圍為 。二、選擇題13. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）。(a) (b)(c) (d)14. 設(shè)，“”是“”的（ ）。 (a) 充分非必要條件 (b)必要非充分條件 (c)充要條件 (d)既非充分又非必要條件 15. 過正方體中心（即到正方體的八個頂點距離相等的點）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（ ）。 (a)三角形 (b) 長方形 (c) 對角線不相等的菱形 (d)六邊形 16. 如圖所示，正八邊形的邊長為.若為該正八邊形上的動點，則的取值范圍為（ ）(a) (b) (c) (d) 三、解答題17. 如圖，

3、長方體中，,.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.18. 設(shè),函數(shù).（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若對任意成立，求的取值范圍.19.某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道、（寬度忽略不計），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點、，圓與、分別相切于點、.（1）若，圓和圓的半徑（結(jié)果精確到0.1米）；（2）若觀景步道與的造價分別為每米千元與每米千元。如何設(shè)計圓、的大小，使總造價最低？最低總造價是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）。20. 已知雙曲線：（），直線：（），與交于、兩點，為關(guān)于軸的對稱點，直線與軸交于點.（1）若點是的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若，點的坐標(biāo)為

4、，且，求的值；（3）若，求關(guān)于的表達(dá)式。21.已知函數(shù)（1）解方程；（2）設(shè)，證明：且;（3）設(shè)數(shù)列中，,求的取值范圍，使得對任意成立.2017年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷一 填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1. 設(shè)集合,集合,則 .【知識點】集合的運算【解】，故.2. 不等式的解集為 ?！局R點】絕對值不等式的解法【解】，故原不等式的解集為。3. 若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則 。【知識點】復(fù)數(shù)的基本概念、運算【解】，故。4. 若，則 。【知識點】誘導(dǎo)公式【解】，故.5. 若關(guān)于、的方程組無解，則

5、實數(shù) 。【知識點】線性方程組解的判定【解】方程組無解直線：與直線：互相平行，所以，解得。6. 若等差數(shù)列的前項的和為，則= 。【知識點】等差數(shù)列的前項和，等差中項【解】由得，所以，故.7. 若、是圓上的動點，則的最大值為 。【知識點】圓的一般方程，圓的性質(zhì)【解】由得，所以半徑，故的最大值為2.8. 已知數(shù)列的通項公式，則 。【知識點】等比數(shù)列的前項和，數(shù)列極限【解】由得首項，公比，所以，故9. 若的二項展開式的各項系數(shù)之和為729，則該展開式中常數(shù)項的值為 ?！局R點】二項式定理【解】令，則，解得； 所以 展開式的通項令，則,故所求的常數(shù)項為160.10. 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，點在該橢

6、圓上，則使得是等腰三角形的點的個數(shù)是 。【知識點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，分類討論思想【解】由得，所以，故且.（1）若點位于橢圓的短軸的端點處，是等腰三角形，此時點有兩個；（2）若點在橢圓上，則；.，所以,故以為兩腰、為底邊構(gòu)成等腰三角形，此時點有兩個；同理以為兩腰、為底邊構(gòu)成等腰三角形，此時點有兩個；綜上（1）（2）滿足條件的點的個數(shù)為6個。11.設(shè)為的一個排列，則滿足的不同排列的個數(shù)為 。【知識點】排列、組合【解】根據(jù)題意可知，若；，且，則即的最小值為1，當(dāng)時，只有，所以在與中選出一個，在與中選出一個，在與中選出一個，然后將選出的三個元素全排列，故不同排列的總數(shù)為.12.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有

7、兩個不同的零點，則的取值范圍為 。【知識點】函數(shù)性質(zhì)的綜合，不等式的基本性質(zhì)【解】方法1 令函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點分別為、,且，所以、，故、（*） 令，則，即（）（*）故、是（*）的解，所以于是由（*）可知，即。方法2 由于函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則必有。 且，即，此時（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）令，即記，則函數(shù)在區(qū)間上與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點。由于，再令得（1）若，則，則 可行域為，其端點分別為、。所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，。此時；（2）若，則，則，即， 所以，此時；（3）若，則，則，可行域為其端點分別為、當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時，；綜上（1）（2）（3）可得，即的取值范圍是.方法

8、3 令，則故“函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點”等價于“關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的根。”記，對稱軸為，則其圖像在區(qū)間上與軸有兩個不同的交點，需滿足條件：可行域端點為、，故當(dāng)或時，；當(dāng)時，所以，即的取值范圍是.方法4 要使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，必有，否則不成立。還需滿足如下條件： ，以下解法同上。二、選擇題13. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）。(a) (b)(c) (d)【知識點】函數(shù)的單調(diào)性【解】函數(shù)圖像的對稱軸為直線，且該拋物線的開口向上，所以該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故正確選項為b.14. 設(shè)，“”是“”的（ ）。 (a) 充分非必要條件 (b)必要非充分條件 (c)充要條件 (d)

9、既非充分又非必要條件【知識點】分式不等式的解法，充要條件【解】,所以是成立的充要條件.故正確選項為c.15. 過正方體中心（即到正方體的八個頂點距離相等的點）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（ ）。 (a)三角形 (b) 長方形 (c) 對角線不相等的菱形 (d)六邊形 【知識點】平面的性質(zhì)、截面【解】不可能是三角形，故正確選項為a16. 如圖所示，正八邊形的邊長為.若為該正八邊形上的動點，則的取值范圍為（ ）(a) (b) (c) (d) 【知識點】平面向量的數(shù)量積【解】，當(dāng)點在處，取最小值，此時；當(dāng)點在處，取最大值， .所以的取值范圍是，故正確答案為b三、解答題17. 如圖，長方

10、體中，,.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【知識點】椎體的體積，異面直線所成的角【解】（1）四棱錐的底面為正方形,其面積;由于底面,所以是四棱錐的高，故，于是.（2）由于,所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角。在三角形中，, 由余弦定理可得，,所以，即，故異面直線與所成角的大小為.18. 設(shè),函數(shù).（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若對任意成立，求的取值范圍.【知識點】函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想【解】（1）函數(shù)的定義域為r， 由于為奇函數(shù)，所以對于任意實數(shù),均有成立 即對于任意實數(shù)都成立,所以 于是,即,所以.（2），由于，故若，則，不等式恒成立；若，則，因為

11、，所以，解得；若，則，此時不等式不是恒成立。綜上所述，實數(shù)的取值范圍是。19.某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道、（寬度忽略不計），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點、，圓與、分別相切于點、.（1）若，求圓和圓的半徑（結(jié)果精確到0.1米）；（2）若觀景步道與的造價分別為每米千元與每米千元。如何設(shè)計圓、的大小，使總造價最低？最低總造價是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）?！局R點】三角比，建立函數(shù)關(guān)系式，基本不等式【解】（1）已知，得圓的半徑為（米）。又,得圓的半徑為 （米）。（2）設(shè)圓和圓的半徑分別為和，由于,得，故， 因此，觀景步道的總造價為 （千元） 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時半徑

12、答：當(dāng)觀景步道和的半徑分別設(shè)計為米和米時，總造價最低，且最低總造價約為千元。20. 已知雙曲線：（），直線：（），與交于、兩點，為關(guān)于軸的對稱點，直線與軸交于點.（1）若點是的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若，點的坐標(biāo)為，且，求的值；（3）若，求關(guān)于的表達(dá)式?！局R點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系【解】（1）根據(jù)已知條件，可得，所以,故的方程為，其漸近線方程為.（2）當(dāng)時，的方程為，點 設(shè)，由得，解得又由點在上，解得，故直線的斜率.（3）當(dāng)時，直線的方程為，設(shè) 由得， 由已知可得，且所以（*），又，故直線的方程為由點在直線上，得（*）將（*）代入（*）得，即.21.已知函數(shù)（1）解方程；（2）設(shè)，證明：且;（3）設(shè)數(shù)列中，,求的取值范圍，使得對任意成立.【知識點】對數(shù)方程的解法，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想【解】（1）由得，所以，