1、1微分的定義微分的定義微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則微分公式與運(yùn)算法則小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分(differential)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2函數(shù)的微分函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)微分微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起的函數(shù)變化的快慢程度的函數(shù)變化的快慢程度.是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化所引起的函數(shù)的改變量的近似值所引起的函數(shù)的改變量的近似值.有著密切的聯(lián)系有著密切的聯(lián)系.3正方形金屬薄片受熱后面積的改

2、變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且為且為 A x )1()2(x x 2)( x 1.問(wèn)題的引出問(wèn)題的引出函數(shù)的微分函數(shù)的微分實(shí)例實(shí)例x 線性函數(shù)線性函數(shù)(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定義一、微分的定義的線性的線性(一次一次)函數(shù)函數(shù),x 當(dāng)當(dāng),的次要部分的次要部分且為且為 A 很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略.2,0 xxAx 很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無(wú)窮小的高階無(wú)窮小,4再如再如,03時(shí)時(shí)

3、處的改變量為處的改變量為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x y ),()2(xox 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值. y 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量函數(shù)的微分函數(shù)的微分.320 xx 5),(xfy 對(duì)一般函數(shù)對(duì)一般函數(shù),的常數(shù)的常數(shù)是不依賴于是不依賴于其中其中xA xAy , 0 A當(dāng)當(dāng)yxA 滿足滿足如果如果)(xfy y 一定條件一定條件,的的是是因此因此xxA 之差之差且它與且它與 y 線性函數(shù)線性函數(shù), 對(duì)一般函數(shù)對(duì)一般函數(shù)則無(wú)論在理論分析上還

4、是在實(shí)際則無(wú)論在理論分析上還是在實(shí)際).( xo 函數(shù)的微分函數(shù)的微分則函數(shù)的增量則函數(shù)的增量可以表示為可以表示為 如果存在這樣的如果存在這樣的近似公式近似公式,應(yīng)用中都是十分重要的應(yīng)用中都是十分重要的.,很很小小時(shí)時(shí)且且 x yA xox ( )yf x6定義定義,)(在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfy 2. 微分的定義微分的定義,00在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及xxx 00()()()yf xxf xAxox 如果如果),(無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立xA 0)(xxfy在點(diǎn)在點(diǎn) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)xA 0dxxy 相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxfy

5、.d0 xAyxx 即即可微可微(differentiable),A為微分系數(shù)為微分系數(shù)函數(shù)的微分函數(shù)的微分),(d0 xf或或記作記作微分微分(differential),并稱并稱為函數(shù)為函數(shù)的的增量增量 x 7可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理定理證證 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)xxf),( xoxAy .A ,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)即即函函數(shù)數(shù)xxf3. 可微的充分必要條件可微的充分必要條件)(xf函函數(shù)數(shù)00d().x xyfxx即有即有).(0 xfA 且且,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x函數(shù)的微分函數(shù)的微分),(0 xfA 且且 滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？滿足

6、什么條件的函數(shù)是可微的呢？ 微分的系數(shù)微分的系數(shù)A如何確定呢如何確定呢? 微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢?下面的定理回答了這些問(wèn)題下面的定理回答了這些問(wèn)題. xyxxoA )(0lim x 0lim x8(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 求導(dǎo)法又叫微分法求導(dǎo)法又叫微分法函數(shù)的微分函數(shù)的微分00d().x xyfxx從而從而.)(0Axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf

7、定理定理)(xf函函數(shù)數(shù)即有即有,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x),(0 xfA 且且.)(d0 xxfy (0,0)x 9注注 yyxdlim0 )(10 xf 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0)()1(0 xf )(10 xf,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)從從而而 x的的是是即即yy d).0( x當(dāng)當(dāng) 微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)yx 0lim)(0 xf . 1 ).d(dyoyy 第一章第七節(jié)定理第一章第七節(jié)定理1 (58頁(yè)頁(yè))的的是是又又由由于于xxxfy )(d0 0)(0 xf.d yy 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 線性函數(shù)線性函數(shù), 線性主部線性主部. .xxf )(0 xyx 0lim 主部主部, ,的的是是稱稱yy d 所

8、以在所以在 條件下條件下, 的條件下的條件下,xxfy )(d0 以以,)()(00時(shí)時(shí)xfxxfy 近似代替增量近似代替增量 其誤差為其誤差為).d( yo因此因此,很小時(shí)很小時(shí)在在 x 有精確度有精確度.dyy 較好的近似等式較好的近似等式 結(jié)論結(jié)論 在在0()0fx10有關(guān)有關(guān)和和與與xx xx 的增量的增量通常把自變量通常把自變量)3(xxfyd)(d )(ddxfxy 導(dǎo)數(shù)稱為微商導(dǎo)數(shù)稱為微商函數(shù)的微分函數(shù)的微分),(ddxfy或或 稱為函數(shù)稱為函數(shù)的微分的微分, 記作記作.)(dxxfy 即即稱為自變量的稱為自變量的微分微分,記作記作,dx.dxx 即即注注(2)( ),yf xx

9、函數(shù)在任意點(diǎn) 的微分11例例解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d)3( xxxxxxy xxy )(d)1(3 xx 23 xxyxx 2223d)2(函數(shù)的微分函數(shù)的微分x 1212幾何意義幾何意義y 當(dāng)當(dāng),很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x ( (如圖如圖) )ydxxfyd)(d0 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義函數(shù)的微分函數(shù)的微分對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量,.MNMP可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段增量時(shí)增量時(shí);是曲線的縱坐標(biāo)是曲線的縱坐標(biāo),的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)M就是就是切線切線縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)x

10、tanPQ yd xyO)(xfy T0 xM xx 0N PQy yd)( xo x 13xxfyd)(d 求法求法1. 基本微分公式基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 三、微分公式與運(yùn)算法則三、微分公式與運(yùn)算法則函數(shù)的微分函數(shù)的微分計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.14xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd1

11、1)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 運(yùn)算法則運(yùn)算法則2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu 函數(shù)的微分函數(shù)的微分),),(),(Rxvvxuu 15例例解解.d),ln(2yexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例解解.d,cos31yxeyx求求設(shè)設(shè) )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131 .d)sincos3(31xxxex 函數(shù)的微分函數(shù)的微分.sin)(cosxx )(cosd3

12、1xex vuuvuvdd)(d 16;d)(d,)1(xxfyx 是自變量時(shí)是自變量時(shí)若若的可微的可微即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若tx,)2(),()(xfxfy 有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ydxd.d)(dxxfy 結(jié)論結(jié)論)(xfy 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微分法此結(jié)論用于求復(fù)合此結(jié)論用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),有時(shí)有時(shí)能簡(jiǎn)化運(yùn)算能簡(jiǎn)化運(yùn)算.函數(shù)的微分函數(shù)的微分無(wú)論無(wú)論x 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 函數(shù)函數(shù)的微分形式總是的微分形式總是則則函數(shù)函數(shù)),(tx )(xf )(t td17例例.

13、d,2yeybxax求求設(shè)設(shè) 解解 法一法一 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不變性用微分形式不變性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在計(jì)算中也可以不寫中間變量在計(jì)算中也可以不寫中間變量,直接利用直接利用微分形式不變性微分形式不變性.d)(2bxax xbxad)2( xbxad)2( 函數(shù)的微分函數(shù)的微分18例例)2arctan(dxx例例解解.d,lnyxy求求設(shè)設(shè) )(lndx xxxdln1 x1ln d)(ln xx2arctan )2(arctandx xxd2arctan

14、)2(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd x函數(shù)的微分函數(shù)的微分19例例解解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt ttdcos .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt )(d)(sind)2(2xx,cos42xxx )(sind2x)(sind1t xxxdcos22).(d)cos4(2xxxx函數(shù)的微分函數(shù)的微分xxd2120函數(shù)的微分函數(shù)的微分例例解解)2(dd642xxx 求求法一法一

15、 把把 作為一個(gè)整體作為一個(gè)整體,2x關(guān)于關(guān)于2x有有 )2(dd642xxx222)(32)(2xx 4262xx 求導(dǎo)求導(dǎo),法二法二)(2)(dd32222xxx 把導(dǎo)數(shù)看作微分之商把導(dǎo)數(shù)看作微分之商,分子分子,分母分別求微分分母分別求微分,有有 )2(dd642xxx264d)2(dxxx xxxxxd2)d62(453 4262xx 用了用了微分形式不變性微分形式不變性.21例例解解.d122yxyyx求求設(shè)設(shè) yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 函數(shù)的微分函數(shù)的微分22例例?,05. 0,10問(wèn)面積增大了多少問(wèn)面積增大了

16、多少半徑伸長(zhǎng)了半徑伸長(zhǎng)了的金屬圓片加熱后的金屬圓片加熱后半徑半徑cmcm解解,2rA 設(shè)設(shè),10cmr 05. 0102 ).(2cm .)(0 xxf yyd 0()0,fxx且很小時(shí). y 用用來(lái)來(lái)近近似似計(jì)計(jì)算算.05. 0cmr rr 2A rAr Ad 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用函數(shù)的微分函數(shù)的微分1. 計(jì)算函數(shù)增量的近似值計(jì)算函數(shù)增量的近似值23)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x .),(0微微分分函函數(shù)數(shù)的的原原值值函函數(shù)數(shù)的的末末值值即即用用來(lái)來(lái)近近似似計(jì)計(jì)算算 xxf2. 計(jì)算函數(shù)

17、的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值函數(shù)的微分函數(shù)的微分)(0 xx x曲線曲線處處在點(diǎn)在點(diǎn))(,()(00 xfxxfy 的切線的表達(dá)式的切線的表達(dá)式.通常稱為函數(shù)通常稱為函數(shù)的一次近似或線性近似的一次近似或線性近似.)(xfy 0(1)( )f xxx求在點(diǎn)附近的近似值240360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值計(jì)計(jì)算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與xxfxf xxfcos)( 360 x就是函數(shù)就是函數(shù).3603處的值處的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()

18、(000函數(shù)的微分函數(shù)的微分253603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cos xx函數(shù)的微分函數(shù)的微分26常用的幾個(gè)一次近似式常用的幾個(gè)一次近似式)|(|很小時(shí)很小時(shí)x附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求0)()2( xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx 1(1) 11;(2)sin();nxxxx xn 為弧度);(tan)3(為弧度為弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 函數(shù)的微分函數(shù)

19、的微分2. 計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值27證證)1(111( )1,( )(1),nnf xx fxxn設(shè), 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 007. 1 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式021. 01021. 1 x函數(shù)的微分函數(shù)的微分28例例.計(jì)計(jì)算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0 e.

20、97. 0 xex 103. 01 (1)(很小時(shí)很小時(shí)x35 . 11000 (2)(很小時(shí)很小時(shí)x)10005 . 11(1000 3函數(shù)的微分函數(shù)的微分111nxxn 29定義定義由于測(cè)量?jī)x器的精度、條件和方法等各種由于測(cè)量?jī)x器的精度、條件和方法等各種因素的影響因素的影響,測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差,帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差,把它叫做把它叫做aA |AaAA而絕對(duì)誤差與的比值間接測(cè)量誤差間接測(cè)量誤差. .的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差. .的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差. .函數(shù)的微分函數(shù)的微分3. 誤差估計(jì)誤差估計(jì)而根據(jù)而根據(jù)那末那末叫

21、做叫做A叫做叫做A,Aa如果某個(gè)量的精度值為它的近似值為30,A如果某個(gè)量的精度值是如果某個(gè)量的精度值是問(wèn)題問(wèn)題在實(shí)際工作中在實(shí)際工作中,絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差無(wú)法求得絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差無(wú)法求得辦法辦法 將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi)將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi).,A 又知道它的誤差不超過(guò)又知道它的誤差不超過(guò)AaA 即即的的叫做測(cè)量叫做測(cè)量那末那末AA AAA叫做測(cè)量叫做測(cè)量而而| , a測(cè)得它的近似值是測(cè)得它的近似值是函數(shù)的微分函數(shù)的微分絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限 ,的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限 .)()(31函數(shù)的微分函數(shù)的微分根據(jù)直接測(cè)量的根據(jù)直接測(cè)量的x值按公式值按公式計(jì)算計(jì)算y值時(shí)值時(shí),)(xfy 如果已知

22、測(cè)量如果已知測(cè)量x的絕對(duì)誤差限是的絕對(duì)誤差限是,x 即即,|xx 那么那么, ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) y y的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差|d|yy 即即y的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差(限限)約為約為;|xyy 即即y的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差(限限)約為約為一般一般,|xy ,|xy .|yxyyy32例例.,005. 041. 2誤差誤差并估計(jì)絕對(duì)誤差與相對(duì)并估計(jì)絕對(duì)誤差與相對(duì)求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長(zhǎng)為正方形邊長(zhǎng)為 解解, x設(shè)正方形邊長(zhǎng)為設(shè)正方形邊長(zhǎng)為.2xy 則則,41. 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 24.82 0.0050.0241().m %.4 . 0 , y面面積積為為0.005,xx邊長(zhǎng) 的絕對(duì)誤差為yy 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 y的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差(限限)約為約為xyy |面積面積y的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差(限限)為為面積面積y的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差(限限)為為8081. 50241. 0 xyy |33微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則微分公式與運(yùn)算法則五、小結(jié)五、小結(jié)函數(shù)的微分函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系可微可