1、會計學1復變函數(shù)第復變函數(shù)第10講講1. 復數(shù)列的極限復數(shù)列的極限n00limnnnnnnnaibAaibNnNAnAA 設為一復數(shù)列，為一確定的復數(shù)。若對于任意給定的，都存在正整數(shù)，使得當時，恒有，則稱時的極限為 ，記為。此時也稱數(shù)列收斂于A。不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列1復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)定理一（復數(shù)列與實數(shù)列的收斂性關系）：定理一（復數(shù)列與實數(shù)列的收斂性關系）：nlimlim limnnnnnAaabb，第1頁/共25頁即：一個復數(shù)列的收斂性等價于與其實部、虛部即：一個復數(shù)列的收斂性等價于與其實部、虛部構(gòu)成的二個實數(shù)列的收斂性。構(gòu)成的二個實數(shù)列的收斂性。等式等式證明

2、：主要依據(jù)在于不證明：主要依據(jù)在于不nnnnnnbababa22,220N0nN ()()nnnnAAaabb這樣，若，則對于任給的， 存在當時，有, ,lim, lim.nnnnnnaabbaabb即第2頁/共25頁22lim, lim, 0, , ()()2 , lim.nnnnnnnnnnnaabbNnNaabbAaabbA反之，若則存在使得時，即0)21 ( , 0ninine例：顯然，有例：顯然，有222221121211111 01ninninnininnni 第3頁/共25頁11()nnnnnnnnaibaib 設=為一復數(shù)列，表達式 稱為無窮級數(shù)。12nnns其前 項和：稱為級

3、數(shù)的部分和。nlimsnnnssss 如果部分和數(shù)列 收斂， ，則稱級數(shù)收斂，并且極限稱為級數(shù)的和。如果數(shù)列 不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散。第4頁/共25頁11()nnnnnaib定理二 復級數(shù)收斂11,nnnnab實級數(shù)皆收斂111nnnnnnaib且在收斂情況下 111nnnnkkknnkkksaibi證明關鍵：再由定理一關于數(shù)列極限存在的充要條件便可得到結(jié)論再由定理一關于數(shù)列極限存在的充要條件便可得到結(jié)論。第5頁/共25頁復習：常見實級數(shù)斂散性判別法：復習：常見實級數(shù)斂散性判別法：1）比較法，）比較法，2）比值法（達朗貝爾判別法），）比值法（達朗貝爾判別法），3）交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法）交錯級

4、數(shù)的萊布尼茲判別法1lim0nnnn推論 收斂的必要條件為即：收斂級數(shù)一般項極限為即：收斂級數(shù)一般項極限為0。第6頁/共25頁11nnn 1n 1|nnnn=定理三 若收斂，則定收斂，且不等式 成立。則則證明：記證明：記,nnniba 22()() , nnnnnnaabb也也收收斂斂收收斂斂，從從而而再再由由比比較較法法知知111,nnnnnnba11nnnn 如果收斂，那么稱級數(shù)為絕對收斂。非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)。第7頁/共25頁22nnnnnn 1nnn 1n 1nnnn 1n 1n 1|a |b |, ab ab ab 實際上，由于所以當與絕對收斂時，也絕對收斂。結(jié)合上面

5、定理三可知， 也絕對收斂的充要條件是與絕對收斂 。10111(8 )(-1)1(1)1; (2) ; (3) .!2nnnnnniiinnnn例 下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？ nn 1n 111an=解：( ) 因=發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散。 第8頁/共25頁12nnin例 ：討論級數(shù)的絕對、條件收斂性。11111,nnnninnn解：首先調(diào)和級數(shù)，發(fā)散。nn(8i82= ,nn!)( ) 因根據(jù)正項級數(shù)比值審斂法知，!原級數(shù)絕對收斂。nnn 1n 1(-1)13n2=( )因條件收斂， 因也收斂，故原級數(shù)條件收斂。第9頁/共25頁1sin2nnn同理， 也收斂。1nnin從而復級數(shù)收斂，且為

6、條件收斂。nninnnininn2sin2cos2sin2cos1cos1112246nnn 注意到 ，是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂。對于原級數(shù)，分離一般項實、虛部，得對于原級數(shù)，分離一般項實、虛部，得第10頁/共25頁12112( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnfzDfzf zfzfzszf zfzfz 設為一復變函數(shù)序列，其中各項在區(qū)域內(nèi)有定義。稱為復變函數(shù)項級數(shù)。稱為級數(shù)的部分和。00000,lim()()()nnDzszs zzs z 如果對于 內(nèi)的某一點極限存在，那么我們稱上面級數(shù)在 收斂，稱為它的和。( ):Dzs z 如果級數(shù)在 內(nèi)處處

7、收斂，那么它的和一定是 的一個函數(shù)第11頁/共25頁,)(00nnnzzc為為復冪級數(shù)的一般表達式復冪級數(shù)的一般表達式0,ncz其中 為復常數(shù)稱為冪級數(shù)的中心。0 nnnc z為標準型冪級數(shù)。為了方便，我們通常討論標準冪級數(shù)。121 ( )( )( )( )( )( )nnns zf zfzfzs zfz稱為級數(shù)的和函數(shù)。關于冪級數(shù)的收斂性問題，我們有著名的阿貝爾定理：關于冪級數(shù)的收斂性問題，我們有著名的阿貝爾定理：第12頁/共25頁定理一定理一 （阿貝爾引理）（阿貝爾引理）0nnnc z對于冪級數(shù)，有如下結(jié)論：001zzzz，只只要要為為收收斂斂點點，則則對對任任意意點點）若若級數(shù)皆收斂且絕

8、對收斂。級數(shù)皆收斂且絕對收斂。002zzzz，只只要要為為發(fā)發(fā)散散點點，則則對對任任意意點點）若若級數(shù)皆發(fā)散。級數(shù)皆發(fā)散。z0收斂收斂點點。z0發(fā)散點發(fā)散點第13頁/共25頁證明：證明：1）00zzz設為收斂點，則當，有000000nnnnnnnnnnnzc zczczqz記為0010nnnnqc zc z于是。另外，因收斂，故。0Mnnc z因而（收斂數(shù)列必有界?。ㄊ諗繑?shù)列必有界?。┲链?，有至此，有00nnnnnc zMq因右端收斂，由比較法，左端也收斂。因右端收斂，由比較法，左端也收斂。1）證畢）證畢至于至于2），實際上為），實際上為1）的逆否命題，也成立。）的逆否命題，也成立。第14頁

9、/共25頁阿貝爾定理說明：阿貝爾定理說明： 以原點為心，過收斂點作圓周，則圓內(nèi)點以原點為心，過收斂點作圓周，則圓內(nèi)點皆收斂且絕對收斂。皆收斂且絕對收斂。 以原點為心，過發(fā)散點作圓周，則圓外點以原點為心，過發(fā)散點作圓周，則圓外點皆發(fā)散。皆發(fā)散。01()nnnczz 問題：對于級數(shù)，阿貝爾定理的結(jié)論如何敘述？2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑第15頁/共25頁 根據(jù)阿貝爾引理，所有冪級數(shù)的收斂情況根據(jù)阿貝爾引理，所有冪級數(shù)的收斂情況不外乎以下三種可能：不外乎以下三種可能：1）處處收斂，即收斂點集為整個復平面。）處處收斂，即收斂點集為整個復平面。2）除）除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。3）既存在

10、使級數(shù)收斂的正實數(shù)，也存在使級數(shù)）既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)，也存在使級數(shù) 發(fā)散的正實數(shù)。發(fā)散的正實數(shù)。下面對情況下面對情況 3 3）作進一步的分析。）作進一步的分析。 我們考慮正實軸上的收斂點和發(fā)散點。 首先，收斂點和發(fā)散點不會相間分布，收斂點以左的為收斂點，發(fā)散點以右的為發(fā)散點。據(jù)此，動點從原點此，動點從原點第16頁/共25頁出發(fā)往右移動，首先進入的是收斂點區(qū)，然后會遇出發(fā)往右移動，首先進入的是收斂點區(qū)，然后會遇到發(fā)散點。到發(fā)散點。收斂點集與發(fā)散點集有唯一的分界點，收斂點集與發(fā)散點集有唯一的分界點，記為記為R，則則, zR當時 級數(shù)收斂且絕對收斂；, zR當時 級數(shù)發(fā)散。 綜上所述，便得如下

11、結(jié)論：冪級數(shù)的收斂范圍是以原綜上所述，便得如下結(jié)論：冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域。冪級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。此點為中心的圓域。冪級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。此圓稱為收斂圓，圓的半徑圓稱為收斂圓，圓的半徑R R稱為冪級數(shù)的收斂半徑。在圓稱為冪級數(shù)的收斂半徑。在圓周上是收斂還是發(fā)散不能作出一般的結(jié)論，要具體問題周上是收斂還是發(fā)散不能作出一般的結(jié)論，要具體問題具體分析。具體分析。010()nnnczzzz注：以上結(jié)論對也成立，只不過收斂 圓的圓心位于點。第17頁/共25頁解：級數(shù)的部分和：解：級數(shù)的部分和：zzzzsnnn11111110, 1nnzzsz當時，因而；11, nzz 當時

12、，因而級數(shù)發(fā)散。011111nnzzszRz 綜上所述，冪級數(shù)，當時收斂，和函數(shù)； 當時發(fā)散。 收斂半徑。01nnz例 ：考察冪級數(shù)的收斂范圍，并求和函數(shù)。第18頁/共25頁11nnnnnnc zcz引理： 與 有相同的收斂半徑。1111RRRRRRRR 證明：設二者收斂半徑分別為 、 ，則因絕對收斂本身定必收斂，故有。若，則說明存在這樣的點：位于收斂圓盤內(nèi)，但不絕對收斂，矛盾。故此。1nnncz 注意到為一實冪級數(shù)，有收斂半徑公式，故有第19頁/共25頁11:nnnc zR定理：冪級數(shù)的收斂半徑為，11limnnncc其中 為： ）（比值法）；2) limnnnc （根值法）。例例2：求下列

13、冪級數(shù)的收斂半徑：求下列冪級數(shù)的收斂半徑1(1)!1) !, (1),0!nnncnn znRcn 112) , 0,!1nnnczRncn 第20頁/共25頁313313) , 1,1(1)nnncznRncn 1114) () , ,333nnnnzicR用根值法： 3zizi（注：此時收斂圓盤在點，即）5) , 1,1iinnnne zceR 練習：求下列冪級數(shù)的練習：求下列冪級數(shù)的 收斂半徑：收斂半徑：1)(cosnin z）nznich)()2第21頁/共25頁nnnnnnnzbazbza)(3031221302021120011000zbabababazbababazbababaz

14、bzannnn)()()()()(（即用第一個冪級數(shù)的每一項乘第二個級數(shù)，然后合并即用第一個冪級數(shù)的每一項乘第二個級數(shù)，然后合并同次冪系數(shù)同次冪系數(shù)）注：上面的運算在兩個級數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立。但注：上面的運算在兩個級數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立。但這并不意味著運算后級數(shù)的收斂半徑就是上面兩個級數(shù)中這并不意味著運算后級數(shù)的收斂半徑就是上面兩個級數(shù)中的較小一個收斂半徑。的較小一個收斂半徑。冪級數(shù)的加、減、乘法冪級數(shù)的加、減、乘法運算規(guī)則：運算規(guī)則：第22頁/共25頁00|( ), |( )|( )| ( ) ( )nnnnnnzrf za zzRg zg zrzRf g za g z 在實際應用中，更為重要的是所謂代換（復合）運算，就是：如果當時，又設在內(nèi)解析且滿足，那么當時，。 此運算在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時有著廣泛的應用0( ) nnns zc zR定理 設冪級數(shù)的 收斂半徑為 ，則1) ( )|