1、初中數(shù)學競賽試題一、選擇題 （共 5 小題，每小題7 分，共 35 分 . 以下每道小題均給出了代號為A， B， C， D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0 分）1已知非零實數(shù)a， b 滿足2a4b 2(a3)b24 2a ，則 a b 等于（）（A） 1（B）0（C） 1（D）2DC2如圖，菱形 ABCD 的邊長為 a，點 O 是對角線 AC 上的一點，且 OA a， OBO OC OD 1，則 a 等于（）（ A ）5151AB2（B ）2（C）1（D）2（第2題）3將一枚六個面編號分別為1，2， 3， 4， 5， 6的質(zhì)

2、地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的axby，點數(shù)為 a ，第二次擲出的點數(shù)為3b ，則使關(guān)于 x，y 的方程組2y2只有正數(shù)解的概率為 （）x12（ C）5（ D）13（ A ）（ B）36129184如圖 1 所示，在直角梯形ABCD 中， AB DC ，B90 . 動點 P 從點 B 出發(fā)，沿梯形的邊由B C D A 運動 . 設(shè)點 P 運動的路程為x， ABP 的面積為 y. 把 y 看作 x 的函數(shù)， 函數(shù)的圖像如圖2 所示，則 ABC 的面積為（）（A）10（B） 16（C）18（D）32圖 1圖 2（第 4題）5關(guān)于 x， y 的方程 x2xy 2y229 的整數(shù)解（

3、x， y）的組數(shù)為（）（A）2 組（B）3 組（C）4 組（ D）無窮多組二、填空題（共5 小題，每小題7 分，共 35 分）6一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km 后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km 后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛km 7已知線段AB 的中點為C，以點 A 為圓心， AB 的長為半徑作圓，在線段 AB 的延長線上取點D，使得 BD AC；再以點D 為圓心， DA 的長為半徑作圓，與A 分別相交于F，G 兩點，連接FG 交 AB 于點 H，AH則的值為

4、AB8已知 a1， a2， a3， a4， a5 是滿足條件 a1 a2a3 a4 a5 9 的五個不同的整數(shù)，若b 是關(guān)于 x 的方程x a1xa2x a3 x a4 xa52009 的整數(shù)根， 則 b 的C值為9如圖，在 ABC 中， CD 是高， CE 為ACB 的平分線若 AC 15，BC 20， CD 12，則 CE 的長等于AD EB1010 個人圍成一個圓圈做游戲 游戲的規(guī)則是： 每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來若報出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是（第 10 題）三、解答題（共4 題，每題

5、 20 分，共 80 分）11已知拋物線yx2 與動直線 y (2t1) xc 有公共點 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2) ，且 x12x22t 22t 3 .（ 1）求實數(shù) t 的取值范圍；（ 2）當 t 為何值時， c 取到最小值，并求出c 的最小值 .12已知正整數(shù)a 滿足 192 a3191，且 a2009 ，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)a 的和13如圖，給定銳角三角形ABC， BCCA ，AD，BE 是它的兩條高，過點C 作 ABC的外接圓的切線l ，過點D， E 分別作l的垂線，垂足分別為F， G試比較線段DF和 EG 的大小，并證明你的結(jié)論14n 個正整數(shù) a1，

6、 a2， ， an 滿足如下條件：1a1a2an2009 ；且 a1， a2， ， an 中任意 n 1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n 的最大值參考答案一、選擇題 （共 5 小題，每小題其中有且只有一個選項是正確的.7 分，共 35 分 . 以下每道小題均給出了代號為 A， B， C， D 的四個選項，請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得 0 分）1已知非零實數(shù)（A） 1a， b滿足2a（B）04b 2 (a （C） 13)b24 2a ，則（D）2ab 等于（）【答】 C解： 由題設(shè)知 a 3，所以，題設(shè)的等式為 b 2(a 3)b20 ，于是 a3， b2 ，從而

7、 a b 12如圖，菱形 ABCD 的邊長為 a，點 O 是對角線 AC 上的一點，且 OA a，OB OC OD 1，則 a 等于（）（ A ）5151（C）1（D）22（B ）2【答】 A解： 因為 BOC ABC，所以 BOBC ，即1a，ABACaa1所以，a2a 10 由 a150 ，解得 a2（第 2題）3將一枚六個面編號分別為1，2， 3， 4， 5， 6 的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的axby，點數(shù)為 a ，第二次擲出的點數(shù)為3b ，則使關(guān)于 x，y 的方程組2y只有正數(shù)解的概率為 （）x2125（ D）13（ A ）（ B）（ C）3612918【答】 D

8、解： 當 2ab0 時，方程組無解x62b ,當 2a b0 時，方程組的解為2ab2a3y2a.b62b0,2ab0,2ab 0,2ab33由已知，得即a或 a2a3,0,222abb3,b3.由 a ， b 的實際意義為1，2， 3， 4，5， 6，可得，a，a 2 3 4 5 61共有 5× 2 10 種情況；或共 3 種情況，b，b 1 24 5 6又擲兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6 36 種情況，故所求的概率為13 364如圖 1 所示，在直角梯形ABCD 中， AB DC ，B90 .動點 P 從點 B 出發(fā)，沿梯形的邊由B C D A 運動 . 設(shè)點 P 運動

9、的路程為x， ABP 的面積為y. 把 y 看作 x 的函數(shù)， 函數(shù)的圖像如圖2 所示，則 ABC 的面積為（）（ A ） 10（B） 16（C）18（ D） 32圖 1圖 2（第 4題）【答】 B解： 根據(jù)圖像可得BC 4， CD 5， DA 5，進而求得AB 8，故ABC 1S×8×4 16.25關(guān)于 x， y 的方程 x2xy2y229 的整數(shù)解（ x， y）的組數(shù)為（）（A）2 組（B）3 組（C）4 組（ D）無窮多組【答】 C解： 可將原方程視為關(guān)于x 的二次方程，將其變形為x2yx(2 y 229)0 由于該方程有整數(shù)根，則判別式 0 ，且是完全平方數(shù)由y24

10、(2 y229)7 y21160，解得y2 11616.57于是7y 201491611610988534顯然，只有 y216 時，4 是完全平方數(shù)，符合要求當 y4 時，原方程為 x24x3 0 ，此時 x11, x23 ；當 y 4 時，原方程為 x24x30 ，此時 x31, x43 所以，原方程的整數(shù)解為x11,x23,x3 1,x43,y14;y24;y34;y44.二、填空題（共5 小題，每小題7 分，共 35 分）6一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km 后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km 后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換

11、前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛km 【答】 3750解： 設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為k, 則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為k, 安裝在后輪的輪胎每行駛1km 的磨損量為k.50003000又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了x km ，交換位置后走了 y km . 分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列kxkyk,方程 , 有 5000 3000kykxk,50003000兩式相加，得k ( xy)k( xy)50002k ，3000則xy23750 11500030007已知線段 AB 的中點為 C，以點 A 為圓心， AB 的長為半徑作圓， 在線段 A

12、B 的延長線上取點 D，使得 BD AC；再以點 D 為圓心， DA 的長為半徑作圓，與 A 分別相交于 F，G 兩點，連接 FG 交 AB 于點 H，AH則的值為AB解： 如圖，延長 AD 與 D 交于點 E，連接 AF ， EF 由題設(shè)知 AC1AD， AB1 AE ，在 FHA 和 EFA 中，33EFAFHA90 ， FAHEAF所以Rt FHA Rt EFA ，（第 7題）AHAFAF.AE而 AFAB ，所以AH1AB.38已知 a1， a2， a3， a4， a5 是滿足條件 a1a2 a3 a4 a59 的五個不同的整數(shù)，若b 是關(guān)于 x 的方程x a1xa2xa3x a4x

13、a52009 的整數(shù)根，則 b 的值為【答】10解：因為bababababa2009，且 a ，a ，a ，a，a是五個不同的整數(shù)，1234512345所有 ba1， ba2， ba3， ba4， ba5 也是五個不同的整數(shù)又因為2009117741，所以 b a1ba2b a3 b a4b a5 41由 a1a2a3a4a59 ，可得 b10 9如圖，在 ABC 中， CD 是高， CE 為ACB 的平分線若AC 15， BC 20， CD 12，則 CE 的長等于【答】 6027解： 如圖，由勾股定理知AD 9， BD 16，所以 AB ADBD 25 故由勾股定理逆定理知ACB 為直角三

14、角形，且ACB90作 EFBC ，垂足為 F設(shè) EF x，由 ECF145，得 CF x，于是 BF 20 xACB2由于 EF AC，所以EFBFAC，x20 xBC即15，20解得 x60所以 CE2 x60277（第 9題）10 10 個人圍成一個圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實地告訴他兩旁的兩個人， 然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來若報出來的數(shù)如圖所示，則報 3 的人心里想的數(shù)是【答】2 解： 設(shè)報 3 的人心里想的數(shù)是x ，則報 5 的人心里想的數(shù)應(yīng)是8x 于是報 7 的人心里想的數(shù)是12(8 x)4x ，報 9 的人心里想的數(shù)是

15、 16(4 x) 12x ，報 1 的人心里想的數(shù)是20 (12x)8 x ，報 3 的人心里想的數(shù)是4 (8 x)4x 所以x4x ，解得 x2 （第 10 題）三、解答題（共4 題，每題 20 分，共 80 分）11已知拋物線yx2 與動直線 y(2t1) xc 有公共點 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2) ，且 x12x22t 22t 3 .（ 1）求實數(shù) t 的取值范圍；（ 2）當 t 為何值時， c 取到最小值，并求出c 的最小值 .解： （ 1）聯(lián)立 yx2 與 y( 2t1) xc ，消去 y 得二次方程x2(2t1)xc0有實數(shù)根 x1 ， x2 ，則 x1x22

16、t1,x1 x2c 所以c x1x21 ( x1x2 )2(x12x22 )= 1 (2t21 (3t 21)2(t 22t3) 6t4) 5 分22把式代入方程得x2(2t1)x1 (3t 26t4) 0 10 分2t 的取值應(yīng)滿足 t 22t 3 x12x22 0，且使方程有實數(shù)根，即(2 t1)22(3t 26t4) 2t 28t7 0，解不等式得t -3 或 t 1，解不等式得22 t2.2 22所以， t 的取值范圍為22 t 22. 15 分22(2) 由式知 c1 (3t 26t4)3 (t1)21.222由于 c3(t1)21在 22 t 22時是遞增的，2222所以，當 t2

17、2時 , cmin3(221)2111 62. 20 分2222412已知正整數(shù)a 滿足192 a3191a2009，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)a 的和，且解： 由 192 a3191可得 192 a31 192326 ，且a31a1a(a1)1(a1)a( a1)(a1) 5 分因為 a a11是奇數(shù)，所以26a31等價于26 a1，又因為 3 (a1)a(a1) ，所以 3 a31等價于 3 a1因此有 192 a1，于是可得 a192k1 15 分又 0a2009 ，所以 k01， ，10 因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)a 的和為11 192（ 1 2 10） 1057120 分13

18、如圖，給定銳角三角形ABC， BCCA ，AD，BE 是它的兩條高，過點C 作 ABC 的外接圓的切線l ，過點 D， E 分別作 l 的垂線，垂足分別為F， G試比較線段DF 和 EG 的大小，并證明你的結(jié)論解法 1：結(jié)論是 DFEG 下面給出證明 5 分因為FCDEAB ，所以 Rt FCD Rt EAB 于是可得DFBE CDAB同理可得EG AD CE 10 分AB又因為 tanADBEAD CE ，于是可得ACB，所以有 BE CDCDCEDFEG 20 分解法 2：結(jié)論是 DFEG 下面給出證明5 分連接 DE ，因為 ADBAEB90 ，所以 A， B，D ， E 四點共圓，故CEDABC 10 分又 l 是 O 的過點 C 的切線，所以ACGABC 15 分（第 13A 題）（第 13A 題）所以，CEDACG ，于是 DE FG，故 DF EG 20 分14n 個正整數(shù) a1， a2， ， an 滿足如下條件：1a1a2an2009 ；且 a1， a2， ， an 中任意 n 1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n 的最大值解： 設(shè) a1， a2， ， an 中去掉 ai 后剩下的 n 1 個數(shù)的算術(shù)