1、xyq(x)Pm彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用 彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系q = q(x)規(guī)定規(guī)定：將將 x 軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在 梁的梁的。設(shè)梁上作用有任意分布荷載設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度其集度Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐標(biāo)為假想地用坐標(biāo)為 x 和和 x+dx的的兩橫截面兩橫截面 m-m 和和 n-n 從梁從梁中取出中取出 dx 一段。一段。xyq(x)Pmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx 截面處截面處 則分別為則分別為 Q(x)+dQ(x)

2、, M(x)+dM(x) 。由于由于dx很小，略去很小，略去q(x) 沿沿dx的變化的變化m-m截面上內(nèi)力為截面上內(nèi)力為Q(x)， M(x) Y= 0Q(x) - Q(x)+dQ(x) + q(x)dx = 0得到得到 Mc = 0 M (x) + dM(x) - M(x) - Q(x) dx - q(x)dxdx2= 0寫出平衡方程寫出平衡方程Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二階無窮小量即得略去二階無窮小量即得= q(x)dQ(x)dxdM(x)dx= Q(x) d M(x) 22d x= q(x)= q(x)dxdQ(x) d M(x) 22d

3、 x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)Q(x)圖為一向右下方傾斜的直線圖為一向右下方傾斜的直線xQ(x)oM(x)xoq(x)、Q（x）圖、）圖、 M（x）圖三者間的關(guān)系）圖三者間的關(guān)系梁上有向下的均布荷載，即梁上有向下的均布荷載，即 梁段上無荷載作用，即梁段上無荷載作用，即 剪力圖為一條水平直線剪力圖為一條水平直線彎矩圖為一斜直線彎矩圖為一斜直線xQ(x)oxoM(x)xM(x)o d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)梁上最大彎矩可能發(fā)生在梁上最大彎矩可能發(fā)生在Q(x) = 0 的截面上的截面上 或梁段或梁

4、段邊界的邊界的截面上。最大剪力截面上。最大剪力發(fā)生在全梁或梁段的界面發(fā)生在全梁或梁段的界面。在集中力作用處剪力圖有在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應(yīng)處力的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。形成尖角。在集中力偶作用處彎矩圖有突變在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化值，但剪力圖無變化。 d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)q0向下的均布向下的均布荷載荷載無荷載無荷載集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下傾斜的向下傾斜的直線直線 或或下凸的二次

5、下凸的二次拋物線拋物線在在Q=0的截面的截面水平直線水平直線+一般斜直線一般斜直線或或在在C處有突變處有突變P在在C處有尖角處有尖角或或在剪力突變在剪力突變的截面的截面在在C處無變化處無變化C在在C處有突變處有突變m在緊靠在緊靠C的某的某一側(cè)截面一側(cè)截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情況況剪力圖的特征剪力圖的特征彎矩圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在最大彎矩所在截面的可能位截面的可能位置置表表 一、一、 在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征例題例題 一簡支梁受兩個力一簡支梁受兩個力P作用如圖作用如圖 a 所示。所示。 已知已知 P= 25.3KN，有關(guān)尺寸如圖所示。，

6、有關(guān)尺寸如圖所示。 試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：求梁的支反力。由平衡解：求梁的支反力。由平衡 方程方程 mB=0 和和 mA=0 得得K.RA623 KNRB 27 將梁分為將梁分為AC，CD，DB三段。三段。 每一段均屬無外力段每一段均屬無外力段。ABCD2001151265PPRARB剪力圖剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線每段梁的剪力圖均為水平直線AC段：段：Q1 = RA =23.6KNCD段：段：Q2= RA-P = -1.7KNDB段：段：Q3 =- RB = - 27KNKNQ27 maxABCD2001151265PP123

7、+1.72723.6RARB最大剪力發(fā)生在最大剪力發(fā)生在DB段中的段中的任一橫截面上任一橫截面上ABCD2001151265PP123RARB彎矩圖彎矩圖每每段梁的彎矩圖均為斜直線。且段梁的彎矩圖均為斜直線。且梁上無集中力偶。故只需計(jì)算梁上無集中力偶。故只需計(jì)算A、C、D、B各點(diǎn)處橫截面上的彎矩各點(diǎn)處橫截面上的彎矩。0 MAmKNRMAC 724200mKNRMBD 1131150 MBmKNM 724max+4.723.11單位：單位：KN.m最大彎矩發(fā)生在最大彎矩發(fā)生在 C 截面截面對圖形進(jìn)行校核對圖形進(jìn)行校核在集中力作用的在集中力作用的 C，D 兩點(diǎn)兩點(diǎn)剪力圖發(fā)生突變，突變值剪力圖發(fā)生突

8、變，突變值 P=25.3KN 。 而彎矩圖而彎矩圖有尖角。在有尖角。在AC段剪力為正值段剪力為正值。在在CD和和DB段，剪力為負(fù)值段，剪力為負(fù)值。最大彎矩發(fā)生在剪力改變處，最大彎矩發(fā)生在剪力改變處，負(fù)號的負(fù)號的C點(diǎn)截面處。說明剪點(diǎn)截面處。說明剪力圖和彎矩圖是正確的。力圖和彎矩圖是正確的。+1.72723.6ABCDPP123RARB+4.723.11例題例題 一簡支梁受均布荷載作用，其集度一簡支梁受均布荷載作用，其集度 q=100KN/m , 如圖如圖 a 所示。試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。所示。試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：計(jì)算梁的支反力解：計(jì)算梁的支反力KNRRBA80611

9、0050 將梁分為將梁分為 AC、CD、DB三段三段。AC和和DB上無荷載，上無荷載，CD段段有向下的均布荷載。有向下的均布荷載。EqABCD0.21.612剪力圖剪力圖KNRQAC80 KNRQBD80 +80KN80KNEqABCD0.21.61221DB段：水平直線段：水平直線最大剪力發(fā)生在最大剪力發(fā)生在 CD 和和 DB 段的任一橫截面上。段的任一橫截面上。 CD段：段： 向右下方的斜直線向右下方的斜直線AC段：水平直線段：水平直線 Q1 = RA = 80 KNKNRQBB80 左0 QB 右)KNQ ,(max80EqABCD0.21.61221彎矩圖彎矩圖AC段：段：0 MAKN

10、.m.RMAC1620 CD段：段：mKNRMBD 1620mKNqRMAE 482012112)(+80KN80KN其極值點(diǎn)在其極值點(diǎn)在Q=0的中點(diǎn)的中點(diǎn)E處的處的橫截面上。橫截面上。DB段：段： MB = 0EqABCD0.21.61221+161648單位：單位：KN.m0 MAKN.m.RMAC1620 mKNRMBD 1620mKNqRMAE 482012112)( MB = 0全梁的最大彎矩梁跨中全梁的最大彎矩梁跨中E點(diǎn)的橫截面上。點(diǎn)的橫截面上。mKNM 48max3m4m4m4mKNP21 KNP22 mKNm.10 mKNq1 ABcDERARB例例 作梁的內(nèi)力圖作梁的內(nèi)力圖解

11、：支座反力為解：支座反力為KNRA7 KNRB5 將梁分為將梁分為AC、CD、DB、BE 四段四段剪力圖剪力圖AC：向下斜的直線（：向下斜的直線（ ）KNRQAA7 右KNqRQAC34 左CD：向下斜的直線：向下斜的直線 ( )KNPqRQAC141 右KNRPQBD32 DB：水平直線：水平直線 (） Q =P2 -RB=- 3KNEB：水平直線：水平直線 (）KNPQB22 右3m4m4m4mKNP21 KNP22 mKNm.10 mKNq1 ABcDERARBKNQA7 右KNQC3 左KNQC1 右KNQD3 Q = - 3KNKNQB2 右7KN1KN+-3KN3KN2KNF點(diǎn)剪力

12、為零點(diǎn)剪力為零,令令其距其距A點(diǎn)為點(diǎn)為x=5m01 PqxRQAxX=5mFX3m4m4m4mKNP21 KNP22 mKNm.10 mKNq1 ABcDERARB彎矩圖彎矩圖0 MA204242 qRMAc16372 mRPMBD左520.max MMFDB：( )6472 RPMBD右632 PMBBE：( )0 ME7KN1KN+-3KN3KN2KN=5mFX3m4m4m4mKNP21 KNP22 mKNm.10 mKNq1 ABcDERARBAC：( )（CD：( )（3m4m4m4mKNP21 KNP22 mKNm.10 mKNq1 ABcDERARB0 MA20 Mc16 MD左5

13、20.max MMF6 MD右6 MB0 MEF+-20.5201666分布荷載集度，剪力和彎矩之間的積分關(guān)系分布荷載集度，剪力和彎矩之間的積分關(guān)系)()(xqdxxdQ babadxxqxdQ)()( badxxqaQbQ)()()( baABdxxqQQ)(式中，式中，QA，QB分別為在分別為在 x=a , x=b 處兩各橫截面處兩各橫截面A及及B上的剪力。上的剪力。等號右邊積分的幾何意義是上述兩橫截面間分布荷載圖的面積等號右邊積分的幾何意義是上述兩橫截面間分布荷載圖的面積。若在若在 x=a 和和 x=b 處兩個橫截面處兩個橫截面A，B間無集中力則間無集中力則)()(xQdxxdM 若橫截

14、面若橫截面 A，B 間無集中力偶作用則得間無集中力偶作用則得 baABdxxQMM)(式中，式中，MA，MB分別為在分別為在 x=a , x=b 處兩個橫截面處兩個橫截面 A 及及 B上的上的彎矩彎矩。等號右邊積分的幾何意義是等號右邊積分的幾何意義是A，B兩個橫截面間剪力圖兩個橫截面間剪力圖的面積。的面積。例題例題 計(jì)算計(jì)算 下圖中的梁下圖中的梁 C、 E 兩橫截面上的兩橫截面上的 剪力和彎矩。剪力和彎矩。 EqABCD0.21.612 caACdxxqQQ)(KNRQAA800 ecCEdxxqQQ)(CEqQC 020110080 ).( baABdxxqQQ)( baABdxxQMM)(

15、在在AC段中段中 q=0 ，且，且 QA=RA解解： caACdxxQMM)(ACQMA mKN 1620800.+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在在AC段中段中 Qc = 80KN，剪力圖，剪力圖為矩形，為矩形，MA =0 baABdxxqQQ)( baABdxxQMM)( ecCEdxxQMM)(CE.QMCC21 mKN).(.48201802116 +80KN80KN(b)EqABCD0.21.612 baABdxxqQQ)( baABdxxQMM)(在在CE段中，剪力圖為三角形段中，剪力圖為三角形QC=80KN，MC=16KN.m例題例題 用簡易法作用簡易法作 所

16、示組合梁的所示組合梁的 剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。10.5113P=50KNm20KNq M=5KN.mAECDKB解：解：RARBmA已求得支座反力為已求得支座反力為RA=81KNRB=29KNmA=96.5KN.m將梁分為將梁分為AE，EC，CD，DK，KB五段。五段。10.5 113P=50KNm20KNq M=5KN.mAE CDKBRARBmA剪力圖剪力圖AE段：水平直線段：水平直線QA右右= QE左左 = RA = 81KNED段段：水平直線水平直線QE右右 = RA - P =31KNDK段：向右下方傾斜的直線段：向右下方傾斜的直線QK= - RB = - 29KNKB段：

17、水平直線段：水平直線QB左左= - RB = - 29KN+81KN31KN29KN(b)10.5113P=50KNm20KNq M=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx設(shè)距設(shè)距 K 截面為截面為 x的截面上的截面上剪力剪力 Q=0 。即。即0 qxRQBxmqRxB451 . 10.5113P=50KNm20KNq M=5KN.mAECDKBRARBmA彎矩圖彎矩圖AE，EC，CD梁段均梁段均為向下傾斜的直線為向下傾斜的直線mKNmMAA 596.右+81KN31KN29KNx50505181596. MC0 51505281596. MD31KN.m mKNRmM

18、AAE 5151.DK段：向上凸的二次拋段：向上凸的二次拋 物線物線mRMBK 134KN.m5129 在在 Q=0 的截面上彎矩有的截面上彎矩有極值極值m.RMB 452maxmKNq 5545122.KB段：向下傾斜的直線段：向下傾斜的直線mKNmMB 5左0 MB右10.5113P=50KNm20KNq M=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNxmKNMA 596.右ME15.5KN.m MC0 MD31KN.m MK34KN.m Mmax55KN.m 0 MB右mKNMB 5右彎矩圖如圖彎矩圖如圖(c)所示。所示。x+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m5KN.m10.5113P=50KNm20KNq M=5KN.mAECDKBRARBmA中間鉸鏈傳遞剪力中間鉸鏈傳遞剪力（鉸鏈左，右兩側(cè)的（鉸鏈左，右兩側(cè)的