1、小學數(shù)學中幾種常用的數(shù)學思想方法（一）（2010-10-17 10:34:09）轉(zhuǎn)載立標簽：分類：教育收藏雜談數(shù)學思想，是指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，它直接支配著數(shù)學的實踐活動。數(shù)學 方法，是指某一數(shù)學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等 特點。數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段。數(shù)學思想是人們對數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)認識，是對數(shù)學知識和數(shù)學方法的進一步抽象和概括，屬于對數(shù)學 規(guī)律的理性認識的范疇，而數(shù)學方法則是解決數(shù)學問題的手段，具有“行為規(guī)則”的意義和一定的可 操作性，同一個數(shù)學成果，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法；當論及它在

2、數(shù)學體系中的價值 和意義時，則稱之為思想。因此，人們把它們統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法。在小學數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法有：一、符號思想符號思想是用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學的內(nèi)容，這就是 符號思想。符號思想是將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表 示出來，便于記憶，便于運用。把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數(shù)學符號 和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程。用符號來體現(xiàn)的數(shù)學語言是世界性語言，是一個人數(shù)學素養(yǎng)的綜合反映。在數(shù)學中各種量的關(guān)系，量 的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號的濃

3、縮形式來表達大量的 信息，如乘法分配律（a+ b）xc= axc+bxc；數(shù)學廣角中用圖形來表示各種事物等。、化歸思想化歸思想是數(shù)學中最普遍使用的一種思想方法，其基本思想是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。一般是指不可逆向的“變換”。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等。如求組合圖形的面積時，先把組合圖形割補成學過的簡單圖形，然后計算出各部分面積的和或差，均能使學生體會化歸法的本質(zhì)；學習圓的周長，先將圓的周長轉(zhuǎn)化成一條線段，再推導出它的周長，這就是化曲為直。三、分解思想分解思想就是先把原問題分解為若干便于解決的子問題，分

4、解出若干便于求解的范圍，分解出若干便于層層推進的解題步驟，然后逐個加以解決并達到最后順利解決原問題的目的的一種思想方法。如在五年級解決問題的策略教學中“倒退著想”的解題策略就體現(xiàn)了這種思想。四、轉(zhuǎn)換思想轉(zhuǎn)換思想是一種解決數(shù)學問題的重要策略，是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數(shù)學問題時，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略。對問題進行轉(zhuǎn)換時，既可轉(zhuǎn)換已知條件，也可轉(zhuǎn)換問題的結(jié)論。轉(zhuǎn)換可以是等價的，也可以是不等價的。用轉(zhuǎn)換思想來解決數(shù)學問題，轉(zhuǎn)換僅是第一步，第二步要對轉(zhuǎn)換后的問題進行求解，第三步要將轉(zhuǎn)換后問題的解答反演成問題的解答。如果采用等價關(guān)系作轉(zhuǎn)換,可直接求出解而

5、省略反演這一步。如計算：2.8+113+17+0.7,直接計算比較麻煩，而分數(shù)的乘除運算比小數(shù)方便，故可將原問題轉(zhuǎn)換為：28/10 X 3/4 X 7/1 X 10/7,這樣，利用約分就能很快獲得本題的解。再如：某班上午缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/7，下午因有1 人請病假，故缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/6。問此班有多少人？此題因上下午出席人數(shù)起了變化，解題遇到了困難。如將上午缺席人數(shù)轉(zhuǎn)換成是全班人數(shù)的 1/7 1=1/8，下午缺席人數(shù)是全班人數(shù)的1/6 1=1/7，這樣，很快發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)關(guān)系：1/7 與 1/8 的差是由于缺席1人造成的，故全班人數(shù)為：1+ (1/7-1/8) =56 (人)。五、分類思

6、想分類思想方法不是數(shù)學獨有的方法，數(shù)學的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學對象的分類及其分類的標準。如自然數(shù)的分類，若按能否被2 整除分奇數(shù)和偶數(shù)；按因數(shù)的個數(shù)分素數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標準就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學對象的正確、合理的分類取決于分類標準的正確、合理性，數(shù)學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構(gòu)。六、歸納思想數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，典型地用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用于數(shù)理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這就是著名的結(jié)構(gòu)歸納法

7、。七、類比思想數(shù)學上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。類比思想不僅使數(shù)學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發(fā)起學生的創(chuàng)造力，正如數(shù)學家波利亞所說：“我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。”如由加法交換律 a+ b=b + a的學習遷移到乘法分配律 a x b=b x a的學習又如長方形的面積公式為長寬=ax b,通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長（底）x寬（高）+ 2= ax b （h） +2。類似的，圓柱體體積

8、公式為底面積x高，那么錐體的體積可以理解為底面積x高+ 3八、假設(shè)思想假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學思考方法.利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應用題.有些題目數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無從下手.可先對題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。如：在求雞兔同籠的問題，可以假設(shè)全部是雞；或者全部是兔。九、比較思想人類對一切事物的認識，都是建筑在比較的基礎(chǔ)上，或同中辨異，或異中求同。俄國教育家

9、烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！毙W生學習數(shù)學知識，也同樣需要通過對數(shù)學材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識間的聯(lián)系和區(qū)別。在教學分數(shù)應用題中，教師要善于引導學生比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況，可以幫助學生較快地找到解題的途徑，是用算術(shù)方法簡單還是用列方程的方法簡單，學生通過比較后可以選擇合適的方法。十、極限思想事物是從量變到質(zhì)變，極限方法的實質(zhì)正是通過量變的無限過程達到質(zhì)變。教學“圓的面積和周長”中，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學生掌握公式，還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。戰(zhàn)國時代的

10、莊子?天下篇中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！背錆M了極限思想。古代杰出的數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”就是利用極限思想來求得圓的周長的，他首先作圓內(nèi)接正多邊形，當多邊形的邊數(shù)越多時，多邊形的周長就越接近于圓的周長。劉徽總結(jié)出：“割之彌細，所失彌少。割之又割以至于不可割，則與圓合體無所失矣。”正是用這種極限的思想，劉徽求出了兀，即“徽率”?，F(xiàn)行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透: 在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個，讓學生初步體會“無限”思想。在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容，在教學 1 + 3=0.333是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點后

11、面的數(shù)字是寫不完的，是無限的。在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。十一、演繹思想演繹也是理智的活動，但是和直觀不同，它們不是理智的單純活動，必須先假定了某些真理（或定義 之后，然后再憑借這些定義推出一些結(jié)論。譬如：我們知道了三角形的定義和定理之后，可以推出一 個三角形內(nèi)角的總和等于兩直角之和。所以直觀的功用是在于提供科學和哲學的最新原則。而演繹則 是應用這些原則來建立一些定理和命題。演繹并不要求像直觀所擁有的那種直接呈現(xiàn)出來的證明，它 的確實性在某種程度上寧可說是記憶賦予它的。它通過一系列的間接論證就能得出結(jié)論，這就像我們 握著一根長鏈條的第一節(jié)就可以認識它的最

12、后一節(jié)一樣。這就是說，直觀是發(fā)明的基本原則，演繹是導致最基本的結(jié)論。不過也有哲學家認為演繹是有缺陷 的，因為由同一個原則往往會演繹出不同的結(jié)論，所以應當有另一個方法來糾正它。這個糾正的方法 就是經(jīng)驗，即所謂的訴諸事實?？傊?，直觀就是找到最簡單、最無可懷疑、最無須辯護的人類知識元 素，即發(fā)現(xiàn)最簡單和最可靠的觀念或原理。然后對它們進行演繹推理，導出全部確實可靠的解決方 案。例如數(shù)學定理證明就是一種演繹推理十二、模型思想是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、 分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設(shè)，它是生活中實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題模型的一種思想方 法

13、。培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光認識和處理周圍事物或數(shù)學問題乃數(shù)學的最高境界，也是學生高數(shù)學素養(yǎng)所追 求的目標。數(shù)學模型方法不僅是處理純數(shù)學問題的一種經(jīng)典方法，而且也是處理自然科學、社會科學、工程技術(shù)和社會生產(chǎn)中各種實際問題的一般數(shù)學方法。用數(shù)學方法解決某些實際問題，通常先把實際問題抽象成數(shù)學模型。所謂數(shù)學模型，是指從整體上描述現(xiàn)實原型的特性、關(guān)系及規(guī)律的一種數(shù)學方程式。按廣義的解釋，從一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種數(shù)學方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)都稱之為模型。但按狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)，才叫數(shù)學模型。比如根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學

14、模型，列出方程進行求解。十三、對應思想對應指的是一個系統(tǒng)中的某一項在性質(zhì)、作用、位置上跟另一系統(tǒng)中的某一項相當。對應思想可理解為兩個集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法。在小學數(shù)學教學中滲透對應思想，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力?！皩钡乃枷胗蓙硪丫?，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數(shù)“1 ”，將兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應一個抽象的數(shù)“2”；隨著學習的深入，我們還將“對應”擴展到對應一種形式，對應一種關(guān)系，等等。再如：數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的一一對應，函數(shù)與其圖象之間的對應.另外,在“多和少”這一課中, 一個茶杯蓋與每一個茶杯對應，直觀看到“茶杯與茶杯蓋相比，一個對

15、一個，一個也不多，一個也不少”，我們就說茶杯與茶杯蓋同樣多。使學生初步接觸一一對應的思想，初步感知兩個集合的各元素之間能一一對應，它們的數(shù)量就是“同樣多”，“對應”的思想在今后的學習中將會發(fā)揮越來越大的作用。十四、集合思想把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。通俗地說就是把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合。集合思想的特征：1 ）確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了. 就是說按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可。（

16、2）互異性：集合中的元素一定是不同的，即集合中的元素沒有重復。（ 3）無序性：集合中的元素沒有固定的順序。根據(jù)集合所含元素個屬不同，可把集合分為如下幾類：（ 1 ）把不含任何元素的集合叫做空集。（ 2）含有有限個元素的集合叫做有限集。（ 3）含有無窮個元素的集合叫做無限集。集合的表現(xiàn)形式：列舉法；框圖法；描述法。比如：能被2 整除的數(shù)為一個集合。十五、數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想。其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形

17、之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，如四年級數(shù)學下冊P60分數(shù)的基本性質(zhì)就是借助圖形的生動和直觀來闡明分數(shù)中分子和分母相互變化的關(guān)系；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性。在小學教學中，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為適當?shù)膸缀螆D形，從圖開的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達到化難來易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段圖，這是基本的、自然的手段。如一年級認數(shù)時數(shù)軸與對應點之間的關(guān)系，

18、對于某些題，如線段圖不能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系，則可以通過對線段圖的分析、改造、設(shè)計、構(gòu)造出能清晰顯示其數(shù)量關(guān)系的幾何圖形。如六年級數(shù)學下冊P72試一試，計算：1/2+1/4+1/8+1/16,可以通過正方形圖形來解決。在數(shù)學教學中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數(shù)學題時，數(shù)形結(jié)合，有利于學生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結(jié)合思想教學，不僅能夠提高學生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學生遷移思維能力。十六、統(tǒng)計思想在小學數(shù)學中增加統(tǒng)

19、計與概率課程的意義在于形成合理解讀數(shù)據(jù)的能力、提高科學認識客觀世界的能力、發(fā)展在現(xiàn)實情境中解決實際問題的能力。統(tǒng)計與概率初步知識的構(gòu)成主要有如下一些基本內(nèi)容：第一，知道數(shù)據(jù)在描述、分析、預測以及解決一些日常生活中的現(xiàn)象與問題的價值；第二，學會一些簡單的數(shù)據(jù)收集、整理、分析、處理和利用的基本的能力；第三，會解讀和制作一些簡單的統(tǒng)計圖表；第四，認識一些隨機現(xiàn)象，并能運用適當?shù)姆椒▉眍A測這些隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性。十七、系統(tǒng)思想系統(tǒng)思想是由若干想到關(guān)聯(lián)、想到作用的要素（或成分）構(gòu)成具有特定功能的有機整體。系統(tǒng)思想的方法便是要求人們從系統(tǒng)要素相互關(guān)系的觀點，從系統(tǒng)與要素之間、要素與要素之間，以及系統(tǒng)與外

20、部環(huán)境之間的相互關(guān)聯(lián)和相互作用中考察對象，以得出研究和解決問題的最佳方案。系統(tǒng)是由相互聯(lián)系，相互依賴，相互制約和相互作用的若干事物和過程所組成的一個具有整體功能和綜合行為的統(tǒng)一體；要素是構(gòu)成系統(tǒng)的基本單位，系統(tǒng)內(nèi)各要素之間是相互聯(lián)系，相互影響的有機整體，如果一個要素發(fā)生變化，其他要素也會相應變化。例如：應用題教學中的“購物問題”。物品的“單價”、“數(shù)量”和“總價”這三個要素就組成了一個系統(tǒng)。數(shù)量不變，單價提高，總價變大；單價不變，數(shù)量增加，總價變大；單價不變，總價增加， 數(shù)量變多?！皢蝺r、數(shù)量、總價”這三個要素之間具有下列關(guān)系： 單價X數(shù)量=總價；總價+單價=數(shù)量；總彳數(shù)量=單價 把幾個概念通

21、過聯(lián)系來整體把握，由具體到抽象，再由抽象到具體，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，更好地理解和掌握概念及其相互關(guān)系。這些要素不是孤立的、零散的，而是有聯(lián)系的，有影響的，在教學過程中要引導學生學會理解概念，找到聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，只有這樣才能更好地掌握所學知識，做到融會貫通，事半功倍。對滲透“優(yōu)化思想”教學的幾點思考（獲瑞安市二等獎）【內(nèi)容摘要】優(yōu)化思想就是在有限種或無限種可行方案（ 決策 ） 中挑選最優(yōu)的方案（ 決策 ）的思想，是一個很重要的數(shù)學思想。它不僅在實際應用中有明顯的價值，而且在小學數(shù)學教材要滲透的思想方法中所占比例相對較大。對于如何有效滲透“優(yōu)化思想”有三點實踐經(jīng)驗：自主探索，方法多樣；有效交流，凸顯優(yōu)化；

22、反思頓悟，內(nèi)化思想。實踐中帶來了兩點困惑與思考：數(shù)學中的最優(yōu)方法一定也是生活中的最優(yōu)方法嗎？數(shù)學中的最優(yōu)方法在生活中一定能得以實施嗎？【關(guān)鍵詞】優(yōu)化思想教材分析實踐經(jīng)驗所謂“優(yōu)化思想”就是在有限種或無限種可行方案 （ 決策 ） 中挑選最優(yōu)的方案 （ 決策 ） 的思想。隨著高新技術(shù)、計算機及信息技術(shù)的飛速發(fā)展，最優(yōu)化在工農(nóng)業(yè)、國防、交通、金融、能源、通信等眾多領(lǐng)域的應用越來越廣泛， 問題的規(guī)模越大、復雜性越高，優(yōu)化思想在解決問題中應用的價值也就越明 顯。在沈文選和楊清桃主編的 數(shù)學思想領(lǐng)悟一書中稱：“系統(tǒng)和統(tǒng)計思想”與“化歸和辯證思想”為數(shù)學思想的兩大“主梁”思想，其中“ “系統(tǒng) 與統(tǒng)計思想”包

23、括整體思想、系統(tǒng)思想和優(yōu)化思想等?？梢姟皟?yōu)化思想”是 一種重要數(shù)學思想。美國心理學家布魯納指出，掌握基本數(shù)學思想方法能使 數(shù)學更易于理解和更易于記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學思想方法是通向遷移大道的“光明之路”，使學生終生受益。 九年制義務教育全日制小學數(shù)學課程標準（試驗稿）也指出：“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法。”由此在數(shù)學課堂教學實踐中，滲透“優(yōu)化思想”這一重要的數(shù)學思想不僅具重要的現(xiàn)實意義，同樣也具有非常重要的教育意義。一、“優(yōu)化思想”在小學數(shù)學人教版實驗教材中的體現(xiàn)?！皟?yōu)化思想”在小學數(shù)學人教版實驗教材中處處可見滲透痕跡，如計算教學中

24、的“算法優(yōu)化”、解決問題教學中的“策略優(yōu)化”以及統(tǒng)計教學中的“統(tǒng)計方法優(yōu)化”等等。除此之外，在以單元“數(shù)學廣角”為呈現(xiàn)形式，較為集中地安排訓練數(shù)學思維的教學內(nèi)容中，“優(yōu)化思想”的滲透就占了絕大部分，具體體現(xiàn)在以下內(nèi)容：冊別內(nèi)容數(shù)學思想二上簡單的排列：1、2能組成幾個兩位數(shù)？排列方法的優(yōu)化（有序思維）三上簡單的組合：有幾種不同穿法？簡單的排列：3個數(shù)字卡片能擺幾個三位數(shù)？同上四上運籌問題：沏茶、烙餅等。對策論：田忌賽馬優(yōu)化與運籌對策論九卜打電話：給15位同學打電話，怎么打時間最?。浚ňC合與實踐）找次品：5件、9件物品中找次品優(yōu)化小學階段共十二冊教材，有編入“數(shù)學廣角”內(nèi)容的共有九冊。除 “優(yōu) 化

25、思想”外，它們要集中訓練的數(shù)學思想方法分別有排列組合、邏輯推理、 集合、等量代換、化歸（植樹問題）、數(shù)字編碼，假設(shè)法（雞兔同籠問題） 和抽屜原理等，由以上表格可知，只有“優(yōu)化思想”在四冊中重復體現(xiàn)。對 于低年級教學，雖然沒有將“優(yōu)化思想”作為一節(jié)課的主要目標，卻已經(jīng)讓 學生對“優(yōu)化思想”有了些初步的體驗。比如簡單的排列，排列的方法有很 多，但其中有序的排列可以做到不重復、不遺漏，學生初步體驗到了解決同 一個問題有很多種方法，但諸多方法中卻有優(yōu)劣之分，一個好的方法可以幫 助我們更有效的解決問題。到了中高年級開始以“優(yōu)化思想”作為一節(jié)課的 主要目標展開教學，比烙餅問題和找次品問題的教學，它們都讓學

26、生經(jīng)歷了 方法多樣化和優(yōu)化的過程，體驗到了 “優(yōu)化思想”在解決問題中的應用價 值，從而真正幫助學生形成“優(yōu)化思想”二、有效滲透“優(yōu)化思想”的幾點實踐經(jīng)驗?！皟?yōu)化思想”是數(shù)學思想的重要組成部分，也是構(gòu)成一個人數(shù)學綜合素養(yǎng)的要素之一。通過教材分析我們還發(fā)現(xiàn)“優(yōu)化思想”在教材要滲透的數(shù)學思想方法中所占的比例相對較大。因此我們要重視對滲透“優(yōu)化思想”的教學，重視培養(yǎng)學生的“優(yōu)化思想”。那么在實踐中如何進行有效的教學幫助學生形成 “優(yōu)化思想”呢？下面就談談我的幾點實踐經(jīng)驗和思考。1、 、 自主探索，方法多樣多樣化是優(yōu)化的基礎(chǔ)，沒有多樣化也就無所謂優(yōu)化。那么如何才能使得在學生中生成多種問題解決的方法和策略

27、呢？我認為一定要給學生充分的自主探索的空間。數(shù)學認知心理學告訴我們：“學生的數(shù)學認知是一個主體性的數(shù)學活動過程；學生數(shù)學認知思維具有明顯的個性化特征；學生的數(shù)學認知起點是他們自己的生活經(jīng)驗?！庇纱丝梢?，學生只有主動參與到數(shù)學學習活動中，經(jīng)歷了自主探索的過程，就一定會有自己的獨特的體驗和發(fā)現(xiàn)。例如一位教師的打電話教學。課一開始，教師出示問題情境：一個合唱隊共有15 人，假期里有一個緊急演出，音樂老師需要盡快通知到每一個隊員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1 人，通知15 人需要幾分鐘呢？學生異口同聲：“15 分鐘。”教師問：“你們是讓老師逐個來打是嗎？”學生點頭，教師示范用圖表示逐個打的方案，接

28、著問：“那有沒有更好的方案可以節(jié)省打電話的時間呢？”這時有幾個學生舉起了手，教師沒有馬上請學生回答，而是先讓他們獨立思考。大約過了十多分種，我拿來坐我邊上一位學生的草稿紙一看，讓我不得不佩服的是他竟能在短短的時間內(nèi)共設(shè)計出了三種方案。第一種是分組法；第二種是：第一次1 個人打，第二次2 個人打，第三次3個人打；第三種就是最優(yōu)化方法。等同學們自主探索完畢要匯 報時，已經(jīng)有大部分學生舉起了手。看到那位學生的三種方案我們一定能猜想得到他在短短的十幾分鐘內(nèi)經(jīng)歷了怎樣的一個思維過程。如果教師沒有給予學生自主探索的時間，哪來學生的精彩。當然，這位學生很優(yōu)秀，可是對于一般的學生來說，雖然他們不能想到很多種方

29、案，但是他們一般也能結(jié)合自己的生活實際經(jīng)驗，想到一種或兩種。有些開始腦子里沒有頭緒的，通過自主探索有了頭緒；有些開始已經(jīng)有想法的，通過自主探索，理清了頭緒，完善了思想。每位學生的生活經(jīng)歷，思維的敏捷性和深刻性都是有差異的，所以他們思考問題的角度和深度也是不同的。只要教師給予充分的自主探索的時間，充分地相信他們，方法多樣化一定是能夠出來的。2、 有效交流，凸顯優(yōu)化數(shù)學學習是自主構(gòu)建的過程，是師生之間、生生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。這個過程需要對話與交流。有效的數(shù)學交流，可以促進學生間的眾多信息相互碰撞交織，使學生的思維有表層走向深入，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。針對滲透“優(yōu)化思想”的教學，如果教

30、師在課堂上能引領(lǐng)和促進學生在師生和生生之間展開有效的交流，我認為可以起到以下三點作用：1）通過有效交流，引出最優(yōu)方法。“萬一在學生中沒有想到最優(yōu)方案，教師該怎么辦呢？”這是許多教師在上課前的普遍擔憂。我認為通過師生和生生之間地充分交流，對各種不同方案進行比較，是可以引出最優(yōu)方案的。如我在上找次品這節(jié)課時，起先學生也沒有想到最優(yōu)方案，但通過有效交流，最優(yōu)方案也出來了。課堂上我讓學生清楚地表達自己的方案，引導其他學生認真傾聽，然后對各種方案進行比較，思考：為什么有些方案相比起來會節(jié)省時間？學生發(fā)現(xiàn)：幫老師一起打電話的同學越多，時間就越省。我適時提問：“那怎樣的方案最省時間呢？”學生想到了只要讓所有

31、知道消息的同學都幫助老師打電話，就能做到最節(jié)省時間。于是我再一次放手讓學生獨立思考，最后好幾位學生想出了最優(yōu)方案。由此我認為，通過有效交流可以引出最優(yōu)方法。（2）通過有效交流，接受優(yōu)化策略記得一位老師在上三年級上冊的簡單的排列與組合時，教師也先讓學生自主探索，然后匯報交流。匯報時，學生只管匯報自己的，沒有認真傾聽別人的。等學生匯報完后，教師問：“你最喜歡誰的方法呢？”結(jié)果學生都堅持選擇喜歡自己的，哪怕自己的方法非常亂，甚至出現(xiàn)重復。還有一位教師就高明多了，他總能在一位學生匯報時引導其他學生認真傾聽，學生匯報完，他就請別的學生來說一說他是怎么組合的，教師自己邊聽邊用符號標出思維過程，還及時提問：

32、“你覺得這樣按一定的順序組合有什么好處？”學生回答：“這樣按一定的順序組合，就不會出現(xiàn)重復和遺漏?！彼械姆椒ǘ紖R報完后，教師問：“這么多方法，現(xiàn)在你最喜歡哪種呢？”雖然學生的回答也是不一致的，但還是都選擇了能體現(xiàn)有序思維的其中一種策略。人 都會接受和選擇好的事物，有時候只是還有沒有認識到事物的價值所在。課堂上的有效交流，就是讓學生發(fā)現(xiàn)別人思想中的閃光點，認識到一種策略的優(yōu)越性，從而主動接受優(yōu)化策略。（3）通過有效交流，感受優(yōu)化思想如找次品教學，在27 個球中找一個次品球，逐個稱需要13 次，而平均分三組來稱只用3 次。這時我引導學生進行比較并說一說自己的體會，學生能體會到一個好的方法大大提高

33、了工作的效率。還如一位老師的打電話教學，他讓學生比較通知 60 人時逐個通知和最優(yōu)通知方式相差的時間，學生通過計算發(fā)現(xiàn)整整節(jié)省了54 分鐘。由此可見，通過有效交流，對優(yōu)劣策略進行比較，進一步讓學生感受到了優(yōu)化思想在實際生活中的應用價值。3、 反思頓悟，內(nèi)化思想“如果說數(shù)學思想方法是可以傳授的話，那教師肯定是把其中富有思考意義的東西機械化了，這樣就失去了它應有的價值?！彼詽B透“優(yōu)化思想”也不例外，一定要讓學生經(jīng)歷了自主體驗和反思頓悟的過程。以上提到的自主探索和合作交流都是不可或缺的過程，但是僅僅只經(jīng)歷此兩項活動過程對優(yōu)化思想的內(nèi)化和形成還是不夠的。因為雖然學生經(jīng)歷了自主探索和合作交流過程，也初

34、步體驗到了“優(yōu)化思想”在解決問題中的作用，但是這種體驗僅僅是朦朧的體驗，“優(yōu)化思想”在學生的腦中是模糊的，也是不穩(wěn)定的。如果要讓“優(yōu)化”在學生腦中形成清晰而又穩(wěn)定的思想，則必須要有內(nèi)化的過程。因此學會數(shù)學地思維一書中指出：“數(shù)學思想方法的獲得， 一方面要求教師有意識地滲透和訓練，但是更多的是要靠學生自身在反思過程中頓悟，這一過程是沒有人能夠替代的?！苯處煹奈ㄒ蛔饔镁褪墙o學生有自我反思的機會，并且要促使學生積極自覺地反思。如打電話教學，一位老師在課的最后總結(jié)時，問學生：“這節(jié)課你們學會了什么？”一位學生舉手回答：“我學會了打電話。”聽課的老師都笑了，學生除了學會打電話，就說不出還有什么收獲了。其

35、實這節(jié)課學生已經(jīng)經(jīng)歷了從方法多樣化到優(yōu)化的過程，其中的體驗也是很充分的，可是學生為什么說不出來呢？我認為這與老師的提問有關(guān)，“學會了什么”關(guān)注的是知識和技能的結(jié)果性目標，而沒有關(guān)注到思維和方法的過程性目標，沒有給學生提供反思和內(nèi)化的機會，所以學生的回答就在情理之中了。另有位老師同樣上這節(jié)課，她是這樣總結(jié)的：“同學們，這節(jié)課我們是怎么研究打電話問題的？”然后師生一起回顧整節(jié)課的學習過程，教師特別突出優(yōu)化的學習過程。接著問：“通過學習，你有什么體會和收獲呢？”學生說的很好 , “我知道了解決問題的方法很多，好的方法可以節(jié)省很多時間。”“學了這節(jié)課，以后我都會去找一找有沒有更好的方法。”雖然學生的回

36、答不很完整，但是我們可以判斷，優(yōu)化思想已經(jīng)進入了學生的腦中，而完成這一過程的最關(guān)鍵的一步，就是回顧和反思所經(jīng)歷的學習過程。記得潘小明老師的設(shè)計紙板箱教學，課的最后他也是引導學生回顧和反思整節(jié)課的學習過程，讓學生說說體會。我想潘老師的用意也就在此吧。三、教學實踐中遇到的困惑和思考1、數(shù)學中的最優(yōu)方法一定也是生活中的最優(yōu)方法嗎？這個問題源于一次找次品課的試教。當對于在27 個球中找一個次品球的方案都呈現(xiàn)后，我問：“你們最喜歡哪一種？”本來認為學生一定會選擇次數(shù)最少的一種，可沒想到一位學生卻執(zhí)意要選擇逐個來稱的方案。他的理由是：平均分三份來稱，雖然次數(shù)最少，但是需要先數(shù)再稱比較麻煩，逐個稱可以邊數(shù)邊

37、稱比較方便。除此我也還經(jīng)常聽到有老師針對烙餅問題提出自己的看法：生活中誰會這樣去烙餅呢？這些問題引起了我的思考：數(shù)學中的最優(yōu)方法一定也是生活中的最優(yōu)方法嗎？我的思考：數(shù)學問題不能簡單的等同于生活問題，生活問題往往比較復雜，優(yōu)化時考慮的因素較多。而數(shù)學問題比較理想化，為解決生活問題提供了方向上的指導，所以優(yōu)化時考慮的因素相對較單一。如找次品，作為一節(jié)數(shù)學思維訓練課，我們優(yōu)化時一般只考慮次數(shù)問題而不考慮其他因素。但對于設(shè)計紙板箱這樣的綜合實踐課，我們更關(guān)注的是生活實際情況，所以學生的優(yōu)化的標準可以根據(jù)他們的經(jīng)驗不同而有所不同，比如有些學生會從節(jié)省材料的角度去優(yōu)化，有些學生會從外觀上去優(yōu)化，我認為都

38、是可以的。2、數(shù)學中的最優(yōu)方法在生活中一定能得以實施嗎？聽過很多次打電話教學，每次聽都有老師疑惑：這種最優(yōu)的通知方案在實際生活中能行嗎？一個同學接到電話后，他怎么知道誰已經(jīng)被通知誰還 沒有被通知呢？有這樣的疑惑是很正常的，如果我們的方案設(shè)計是在緊急事 情發(fā)生之后，的確是沒有辦法做到的。于是我疑問：數(shù)學中的最優(yōu)方法在生 活中一定能得以實施嗎？難道數(shù)學只在做一廂情愿的事嗎？我的思考：數(shù)學中的最優(yōu)方法一般在生活中是可以實施的，雖然有些也是 辦不到的，如“極限思想”的在實際生活中就沒有辦法得以實施，但也能更 好的幫助我們思考和解決許多實際問題。打電話的最優(yōu)方案我認為在實際生 活中是可以實施的，關(guān)鍵就在

39、于方案設(shè)計在緊急事情發(fā)生之前還是之后，如 果我們在緊急事情發(fā)生之前未雨綢繆，這種方案完全是可行的。因此對于滲 透“優(yōu)化思想”的教學，教師還要注重情境創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)實性，考慮數(shù)學中的最 優(yōu)方案在實際生活中可能遇到的困難，我們要盡量給學生的自主探索消除不 必要的顧慮，畢竟學生的數(shù)學學習是建立在自身的生活經(jīng)驗之上的。參考文獻1楊慶余.小學數(shù)學教學研究.中央廣播電視大學出版社.20052沈文選、楊清桃.數(shù)學思想領(lǐng)悟.哈爾濱工業(yè)大學出版社.20083錢陽輝、謝惠良.學會數(shù)學的思維.江蘇教育出版社.2001?三年級下冊數(shù)學知識整理與分析?1位置與方向知識知t口梳理葭常見錯誤歸類認識1.不能正確地把握物體間的相對

40、位置。 ？?？東、東南南、 西北西、北四 A? B? C個方向； 會看 簡單 的路 線 圖， 能夠 使用 描述? D? E? F? H性的?語言描述周圍?事物如：A在H的（？）面；的方位。地圖 能辨上的知地？ D在G的（？）面。方向 圖上的方向；會看2不能正確地解讀圖中的數(shù)量意義，綜合性地解決問題。簡單的路線簡單 圖， 的路 能夠 線圖 使用 （一 描述） 性的 語言 描述 周圍 事物的方 位。（ 1）郵局在少年宮的（南）面，少年宮在郵局的（北）面，圖書館 在植物園的（西）面。2）小麗從學校出發(fā)，向（東）面走了（500）米，再向（南）面走70）米，就到了圖書館。圖書館（南）面走能結(jié) 合具 體情

41、 境認 識東 北、東 南、東 北、西 南、 西北 東簡單 南、 的路 西 線圖 北、西南） 四個 方 向； 能夠 用給 定的 一個 方向 （東 、 南、 西或 北） 辨認 其余 的七 個方 向， 并能 用這 些詞 語描 述物 體所 在的 方 向。2 除數(shù)是一位數(shù)的除法知識梳理歸類（細化知識要點和學習難點常見錯誤到課時）第一課時：除數(shù)是一知識要點：位數(shù)的口算除法?210+ 3=90整十、整百、整千數(shù)除以一位數(shù)在口算時可以把被除數(shù)當作幾錯誤原因：乘法口訣不熟或者口訣個十、幾個百、幾個背錯；千去除以一位數(shù)，計 算結(jié)果就是多少個十、多少個百、多少第二課時：一位數(shù)除三位數(shù)的除法估算個千。知識要點：可以把

42、被除數(shù)估大或者估小，但是不要估計除數(shù)，估計時，要使得除 數(shù)不變。在熟練掌握除法口算方法的基礎(chǔ)上，學習A±fc2i=r 錯誤：除法估算，估算要借助口算的方法。以124+3為例介紹三種估算思路，如下。?124+ 3弋 124+ 4=31思路一：124弋120,120K3=40特別提醒：當解決實際問題時，要根據(jù)問題的具體情況，選擇估大或 者估小。思路二：124弋120+4, 120+ 3=40,4弋3, 3+3=1,40+1=41思路三：124弋126, 126+ 3=42第三課時：一位數(shù)除知識要點：兩位數(shù)的筆算除法錯誤：用豎式計算的時候，孩子們 容易跳步，如：除數(shù)是一位數(shù)的除法 法則：這

43、樣的話，在豎式填空的時候，學 生就會填錯，每步的計算順序就不1、從被除數(shù)的高位除明確。起，先用除數(shù)試除被 除數(shù)的前一位數(shù)，如 果它比除數(shù)小，再試 除前兩位數(shù)；2、除到被除數(shù)的哪一位，就在哪一位上面 寫商；第四課時：一位數(shù)除 三位數(shù)商兩位數(shù)的筆 算除法第五課時：除法的驗3、每次除后余下的數(shù) 必須比除數(shù)小。知識要點：1、除法的計算法則不 變；2、變化的是：當被除數(shù)最高位不夠商 1，要用除數(shù)去除 被除數(shù)的前兩位數(shù)。3、在進行豎式筆算之前，先進行除法估算，估計大概的結(jié)果，以便檢查。知識要點：1、 在驗算有余數(shù)除法的時候，有些同學要把余數(shù)漏掉；1、掌握被除數(shù)與除數(shù)、商、余數(shù)的關(guān)系（被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)

44、）；2、 在驗算的時候一般用豎式計算，但是有些孩子還是用橫式口算，這樣容易錯。2、驗算沒有余數(shù)的除 法：用商乘除數(shù)，看 看是否等于被除數(shù)；3、驗算有余數(shù)的除 法：用商乘除數(shù)加余 數(shù)，看看是否等于被 除數(shù)；4、驗算時，一般用豎式驗算，豎式的格式見書本第25頁的黑板。第六課時：除數(shù)是一位數(shù)，商中間或末尾有 0 的筆算除法知識要點：錯誤：1、0除以任何不是0 ? 1212 + 3=44的數(shù)都得0；（被除數(shù)中間或末尾有 0）2、注意點：當商的十位為0時，這個0一定要寫， 0 起占位的作用；由于 0 除以任何不是 0 的數(shù)都得0，因此，寫豎式時，可省略用 0 做被除數(shù)的這一過程，得出豎式的簡便寫法。第七

45、課時：除數(shù)是一位數(shù)，商中間或末尾有 0 的筆算除法知識要點：錯誤：1、理解“不夠商1就？ 824 + 4=260商 0”；（ 被除數(shù)中間或末尾沒有 0）2、掌握商的末尾是知識梳理歸類（細化到課時） 第一課時：橫向條形 統(tǒng)計圖0，同時又有余數(shù)的除法的計算方法；3 統(tǒng)計知識要點和學習難點知識要點：常見錯誤1、條形統(tǒng)計圖分為橫向的和豎向的兩種；2、兩種條形統(tǒng)計圖只 是形式不同，呈現(xiàn)的 內(nèi)容沒有區(qū)別；第二課時：一種特殊 的條形統(tǒng)計圖（帶有 斷裂符號）3、要會看橫向條形統(tǒng) 計圖。 知識要點：1、 起始格與其他格 代表的單位量不一 樣；2、 什么情況下，用 斷裂符號？當題目提供的數(shù)據(jù)比 較接近的時候，而且 較大的時候，使用斷 裂符號區(qū)分信息，比 較明顯。第三課時：平均數(shù)知識要點