1、1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲線的方法 和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、 弦曲線之間的聯(lián)系.西問題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念思考從對(duì)應(yīng)的角度如何理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念？答案 實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦（或余弦）值.這樣，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x,有唯一確定的值 sinx（或 cosx）與之對(duì)應(yīng).由 這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y= sinx（或y= cosx）叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)），其定義域是 R.知識(shí)點(diǎn)二幾何法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象思考 1 課本上是利

2、用什么來比較精確的畫出正弦函數(shù)的圖象的？其基本步驟是什么？答案 利用正弦線，這種作圖方法稱為“幾何法”，其基本步驟如下：1作出單位圓：作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中y軸左側(cè)的x軸上取一點(diǎn)O,作出以0為圓心的單位圓；2等分單位圓，作正弦線：從O0與x軸的交點(diǎn)A起，把O0分成 12 等份.過O0上各分點(diǎn) 作x軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于 0,nn, 3，n2，2n等角的正弦線；3找橫坐標(biāo)：把x軸上從 0 到 2n這一段分成 12 等份；4找縱坐標(biāo)：把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x重合，從而得到 12.2.掌握“五點(diǎn)法”畫正弦曲線余弦曲線.3.理解正弦曲線與余22n的圖象，如圖且k工0的

3、圖象與函數(shù)y= sinx,x0,2n）的圖象的形狀完全一致.于是只要將函數(shù)y= sinx 0 , 2n）的圖象向左、向右平行移動(dòng)（每次 2n個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,x R 的圖象，如圖.思考 2 如何由正弦函數(shù)的圖象通過圖形變換得到余弦函數(shù)的圖象？n答案 把y= sinx,x R 的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到y(tǒng)= cosx,x R 的圖象.梳理正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.知識(shí)點(diǎn)三“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象思考 1 描點(diǎn)法作函數(shù)圖象有哪幾個(gè)步驟？答案列表、描點(diǎn)、連線.思考 2“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在x 0 , 2n上的

4、圖象時(shí)是哪五個(gè)點(diǎn)？答案畫正弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)(0,0)(n ,0)12 ，-1丿(2n ,0)畫余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)(0,1)& 0)(n，-1)A J U，丿(2n ,1)梳理“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y= sinx、余弦函數(shù)y= cosx,x 0 , 2n圖象的步驟:（1）列表x0n2n3n22nsinx010-10cosx10-101條正弦線的 12 個(gè)終點(diǎn);連線：用光滑的曲線將12 個(gè)終點(diǎn)依次從左至右連接起來，即得到函數(shù)y= sinx,x 0 ,H寶；1因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y=sinx,x2kn ,2(k+1)n),kZ(B)戸in “ EI仇2 E siIT3描

5、點(diǎn)4畫正弦函數(shù)y= sinx,x 0 , 2n的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是壬亠亠 J 亠，1 ；畫余弦函數(shù)y= cosx,x 0 , 2n的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,1),亍二,(n，-1),曹二亠 用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn)，得到正弦曲線、余弦曲線的簡(jiǎn)圖題型探究類型一“五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用例 1 利用“五點(diǎn)法”描點(diǎn)連線，如圖所示x0nTn3n2nsinx010101 sinx10121反思與感悟 作正弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點(diǎn)法作圖“五點(diǎn)”即 cosx的圖象在0 , 2n內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)“五點(diǎn)法” 法跟蹤訓(xùn)練 1 用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y= 1 cosx(0wxW2 n)的簡(jiǎn)圖y=

6、sinx或y=是作簡(jiǎn)圖的常用方5類型二利用正弦、余弦函數(shù)的圖象求定義域例 2 求函數(shù)f(x) = lg sinx+16-x的定義域.sinx0,解由題意，得x滿足不等式組*216-x0,結(jié)合圖象可得x 4,n)U(0 ,n).反思與感悟一些三角函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時(shí)要注意區(qū)間端 點(diǎn)的取舍.1 即 0sinxw2.n由正弦函數(shù)的圖象或單位圓(如圖所示)，可得函數(shù)的定義域?yàn)閄|2knxW2kn+石或 2kn5n +x0,即4Wx0，sinx0,求函數(shù)y=1 的定義域.6類型三與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題命題角度 1 零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題例 3 在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y= s

7、inx和y= lgx的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx=3 IT7Igx的解的個(gè)數(shù)解 建立平面直角坐標(biāo)系xOy,先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y= sinx,x 0 , 2n的圖象，再向右連續(xù)平移 2n個(gè)單位，得到y(tǒng)= sinx的圖象描出點(diǎn)(1 , 0) , (10, 1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)= Igx的圖象，如圖所示反思與感悟三角函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，通過圖象可較簡(jiǎn)便的解決問題，這正 是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練 3 方程x2 cosx= 0 的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是答案 2解析 作函數(shù)y= cosx與y=x2的圖象，如圖所示,由圖象可知，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解nn設(shè)方程的兩實(shí)根分別為xi,X2,

8、則由圖象可知xi與X2關(guān)于X花對(duì)稱，于是xi+x2=2G，n所以Xi+X2=反思與感悟 準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)抓住“臨界”情況進(jìn)行分析由圖象可知方程sin命題角度 2 參數(shù)范圍問題例 4 方程 sin(x+nn)= 2 在0，n上有兩實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及兩實(shí)根之和解 作出yi= sin(x+專)，y2=號(hào)的圖象如圖，由圖象可知,要使yi= sin(x+亍)，=?在區(qū)間0，n上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),應(yīng)滿足_23妾 1,即.3wn0,1即 sinx由y= sinx在0 , 2n的圖象，n5n可知云WXW,6 6一5n所以y=2sinx- 1 的定義域?yàn)?|*+ 2kn, +

9、2kn,k 乙5.請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y= 2sin 2x-6 的圖象.n解 令X= 2x，貝 Ux變化時(shí)，y的值如下表：6X0n2n3n 2-2nxnn7n5n13n =12312612y0120120描點(diǎn)畫圖:12_乂JiF017IT TI卅、Z13TF屈_ 2將函數(shù)在n詈 上的圖象向左、向右平移即得y= 2sin p j 的圖象廠規(guī)律與方法-1. 對(duì)“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)圖象的理解(1)與前面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的畫法類似，在用描點(diǎn)法探究函數(shù)圖象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函數(shù)圖象的“關(guān)鍵點(diǎn)”，就可以根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)畫出函數(shù)圖象的草圖正弦型函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是函數(shù)圖象中最高點(diǎn)、最低

10、點(diǎn)以及與x 軸的交點(diǎn)2. 作函數(shù)y=asinx+b的圖象的步驟：113.用“五點(diǎn)法”畫的正弦型函數(shù)在一個(gè)周期0, 2n內(nèi)的圖象，如果要畫出在其他區(qū)間上的圖象，可依據(jù)圖象的變化趨勢(shì)和周期性畫出12、選擇題1.對(duì)于正弦函數(shù)y= sinx的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是()A. 向左右無限伸展B. 與y= cosx的圖象形狀相同，只是位置不同C. 與x軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)D.關(guān)于y軸對(duì)稱答案 D解析易知 i6，2 不是關(guān)鍵點(diǎn)3.已知f(x) = sin ix + -2 ,g(x) = cos jX-n，則將f(x)的圖象()A. 與g(x)的圖象相同B. 與g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱nC. 向左平移個(gè)單位，得g(

11、x)的圖象nD.向右平移2 個(gè)單位，得g(x)的圖象答案 D解析f(x) = sinix+ 專,g(x) = cosx-f=cos f-x=sinx,nf(x)的圖象向右平移 個(gè)單位得到g(x)的圖象.課時(shí)作業(yè)解析由正弦曲線知，A, B, C 均正確，D 不正確.2.用五點(diǎn)法畫y= sinx,x 0 , 2n的圖象時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()A匸n6，2B. &JD.(2n ,0)C.(n ,0)答案 A4.函數(shù)y= sinx,x 亍,號(hào)的簡(jiǎn)圖是(13A.7 B.8 C.9 D.10答案 A答案 D32cosx,0 xW2 或x2 n ,解析由題意得y=1，7.若函數(shù)y= 2cosx(

12、0 x2 n)的圖象和直線y= 2 圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉 圖形的面積是()1L） ,0/3TFx2-1答案 Dx5.方程 sinx= 10 的根的個(gè)數(shù)是TT P72ITIT3TT2ITXT顯然只有 D 合適.nx0,x滿足cosx0,即.-50,10.函數(shù)f(x)=|x+2,xv0,163n5n答案 x| 2xV0 或百 + 2knvXV百 + 2kn,k N一 一13解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和y= q 的圖象(圖略)，由圖易得一2x 0 或n5n+2kn Vx+2kn ,kN6 611.設(shè) Owx0, 即卩 cosxsinx,在同一坐標(biāo)系畫出2n與y= cos

13、x,x 0 ,1y=空+ sinx,x 0 , 2n的簡(jiǎn)圖.解(1)取值列表如下:x0n2n3n_2-2nsinx010101 .131112+ sinx22222(2)描點(diǎn)、連線，如圖所示解 首先作出y= sinx在0 , 2n上的圖象，如圖所示,y= sinx,x 0 ,觀察圖象知x三、解答題5nz.12.用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)13.利用正弦曲線，求滿足12si nx的x的集合.2n的圖象，如圖所示17n2nx,x 0 , 2n的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和可.觀察圖象可知，在0 , 2n上,n n2n5n”1當(dāng) 7x3 或 T 三xT 時(shí)，不等式 2sin所以 2sinxw#的解集為nn、2n5nx|y+2knxT +2kn或丁 +2knwx+2kn，k Z.四、探究與拓展14.已知函數(shù)y= 2sinx（專wx琴）的圖象與直線y= 2 圍成一個(gè)封閉的平面圖形，那么此 封閉圖形的面積為（）A.4B.8C.4nD.2n答案 C解析數(shù)形結(jié)合，如圖所示.y= 2sinx,x 專,的圖象與直線y= 2 圍成的封閉平面圖形的面積相當(dāng)于由x=專,x5n5n n=2,y= 0,y= 2 圍成的矩形面積，即S= 2% 2= 4n.15.函數(shù)f(x) = sinx+ 2|sinx| ,x 0