1、第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 柳久紅 周文勇【學(xué)習(xí)目標】1以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題1直線和平面平行的判定：(1)定義：直線與平面 沒有公共點 ，則稱直線平行平面；(2)判定定理： a，b，aba ；(3)其他判定方法：，aa.2直線和平面平行的性質(zhì)：_ a，a，lal.3兩個平面平行的判定：(1)定義：兩個平面 ，稱這兩個平面平行；沒有公共點(2)判定定理：一個平面內(nèi)的 ，與另一個平面平行，則這兩個平面平行；兩條相交直線(3)推論：一個平面內(nèi)的 兩條相交直

2、線 分別平行于另一個平面內(nèi)的 兩條相交直線 ，則這兩個平面平行 4兩個平面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線 平行5與垂直相關(guān)的平行的判定：(1)a，b ；ab (2)a，a . 【基礎(chǔ)評測】1若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是() 【答案】BA內(nèi)的所有直線都與直線a異面 B內(nèi)可能存在與a平行的直線C內(nèi)的直線都與a相交 D直線a與平面沒有公共點【解】直線a與不平行，則直線a在內(nèi)或與相交，當直線a在平面內(nèi)時，在內(nèi)存在與a平行的直線，B正確2設(shè)m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一個充分而不必要條件是(B)Am且l1 Bml1且n

3、l2Cm且n Dm且nl23給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面、的三個命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m，n，l，則mn.其中真命題的個數(shù)為() 【答案】CA3B2C1D0【解】中當與不平行時，也可能存在符合題意的l、m.中l(wèi)與m也可能異面中l(wèi)m，同理ln，則mn，正確 4.用a，b，c表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若ab，bc，則ac； 若ab，bc，則ac；若a，b，則ab； 若a，b，則ab.其中真命題的序號是() 【答案】CABCD【解】由公理4知是真命題在空間ab，bc，直線a、c的關(guān)系不確定，故假由a，b，不能判定a、b的關(guān)系，

4、故是假命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理真命題5如圖741，若是長方體ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EHA1D1，則下列結(jié)論中不正確的是() 【答案】DAEHFG B四邊形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱臺【解】EHA1D1，EHB1C1，EH平面BB1C1C.由線面平行性質(zhì)，EHFG. 同理EFGH.且B1C1面EB1F.由直棱柱定義知幾何體B1EFC1HG為直三棱柱，四邊形EFGH為矩形，為五棱柱故選D.6設(shè)平面平面，A，B，C是AB的中點， 當A、B分別在、內(nèi)運動時，那么所有的

5、動點C() 【答案】D A不共面 B當且僅當A、B在兩條相交直線上移動時才共面 C當且僅當A、B在兩條給定的平行直線上移動時才共面 D不論A、B如何移動都共面解析：根據(jù)平行平面的性質(zhì)，不論A、B如何運動，動點C均在過C且與，都平行的平面上7棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P，Q，R分別是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，給出下列結(jié)論：PR與BQ是異面直線； RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；過P，Q，R的平面截該正方體所得截面是邊長為的等邊三角形以上結(jié)論正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)答案8過三棱柱ABCA1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中

6、與平面ABB1A1平行的直線有_條【答案】6【解】如圖，E、F、G、H分別是A1C1、B1C1、BC、AC的中點，則與平面ABB1A1平行的直線有EF，GH，F(xiàn)G，EH，EG，F(xiàn)H共6條1應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)注意什么？【提示】第二條直線是交線，為此必須作或?qū)ふ乙粋€輔助平面2如果兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系？【提示】平行或異面探 究 思 考探究一：直線與平面平行的判定例1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CMDN，求證：MN平面AA1B1B 【證明】法一如圖，作MEBC，交BB1于E；作NFAD，交AB于F，連

7、接EF，則EF平面AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又MEBCADNF，MEFN為平行四邊形，NMEF，又MN面AA1B1B MN平面AA1B1B.法二如圖，連接CN并延長交BA的延長線于點P，連接B1P，則B1P平面AA1B1B NDCNBP，.又CMDN， B1CBD，MNB1P，B1P平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.法三 如圖，作MPBB1，交BC于點P，連接NP.MPBB1，BDB1C，DNCM，B1MBN，NPDCAB，平面MNP平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.例2如上圖所示，a，b是異面直線，A、C與B、D分別是a，b上的兩點，直線a平面，

8、直線b平面，ABM，CDN，若AMBM=2，則CNDN= 2 探究二：面面平行的判定例3已知P為ABC所在平面外一點，G1、G2、G3分別是PAB、PCB、PAC的重心(1)求證：平面G1G2G3平面ABC；(2)求SG1G2G3SABC.【解析】(1)如上圖連接PG1、PG2、PG3并延長分別與邊AB、BC、AC交于點D、E、F.連接DE、EF、FD 則有PG1PD23， PG2PE23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因為G1G2G2G3G2，平面G1G2G3平面ABC.(2)由(1)知，G1G2DE 又DEAC，G1G2AC.同理G

9、2G3AB，G1G3BC G1G2G3CAB，其相似比為13，SG1G2G3SABC19.例4已知：如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，點D、D1分別為AC、A1C1上的點(1)當?shù)闹档扔诤沃禃r，BC1平面AB1D1.(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值【解析】(1)如上圖，取D1為線段A1C1的中點，此時1，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點在A1BC1中，點O、D1分別為A1B、A1C1的中點，OD1BC1，又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，1時，BC1平面AB1D1.(2)由

10、已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，因此BC1D1O，同理AD1DC1 ，又1，1，即1.探究三 與平行相關(guān)的開放性問題例5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論 【規(guī)范解答】(1)如圖(a)所示，取AA1的中點M，連接EM，BM.因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EMAD.·······&

11、#183;··············································2分又在正方體ABCDA1B1C1D1

12、中，AD平面ABB1A1，. 3分所以EM平面ABB1A1，EBM為BE和平面ABB1A1所成的角.···············4分設(shè)正方體的棱長為2，則EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.······5分(2)在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE. ·····&

13、#183;······8分事實上，如圖(b)所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接B1F，EG，BG，CD1，F(xiàn)G.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因此D1CA1B.又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EGD1C，從而EGA1B.這說明A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.·······10分因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B

14、，因此四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1FBG，因B1F平面A1BE，BG平面A1BE， 故B1F平面A1BE.····························12分【誤區(qū)分析】解答本題易出無法作出面ABB1A1垂線的錯誤，以致無法確定線面角，出錯原因是對線面角的定義不熟 例6如圖所示，四棱錐PABCD的底

15、面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BEPC于E，且BEa，試在AB上找一點F，使EF平面PAD.【解】在平面PCD內(nèi)，過E作EGCD交PD于G，連接AG，在AB上 取 點F，使AFEG，EGCDAF，EGAF， 四邊形FEGA為平行四邊形，F(xiàn)EAG.又AG平面PAD，F(xiàn)E平面PAD，EF平面PAD. F即為所求的點鞏固提高1已知兩條不同直線l1和l2及平面，則直線l1l2的一個充分條件是(B)Al1且l2Bl1且l2Cl1且l2 Dl1且l2解析l1且l2l1l2.2下列命題正確的是(C)A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到

16、另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行解析若兩條直線和同一平面所成的角相等，則這兩條直線可平行、可異面、可相交，A項不正確氐；如果到一個平面距離相等的三個點在同一條直線上或在這個平面的兩側(cè)，則經(jīng)過這三個點的平面與這個平面相交，B項不正確3設(shè)，表示平面，m，n表示直線，則ma的一個充分不必要條件是(D)A且m Bn且mnCmn且n D且m解析若兩個平面平行，其中一個面的任一直線均平行于另一個平面，故選D.4若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的長分別是8、12，過AB的中點E且平

17、行于BD、AC的截面四邊形的周長為(B)A10 B20 C8 D4解析設(shè)截面四邊形為EFGH，F(xiàn)、G、H分別是BC、CD、DA的中點，EFGH4，F(xiàn)GHE6. 周長為2×(46)20.5已知直線l平面，P，那么過點P且平行于直線l的直線(C)A只有一條，不在平面內(nèi) B有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)C只有一條，且在平面內(nèi) D有無數(shù)條，一定在平面內(nèi)解析由直線l與點P可確定一個平面，則平面，有公共點，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m，因為l，所以lm，故過點P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面內(nèi)，選C.6下列命題中，是假命題的是(D)A三角形的兩條邊平行于一個平面，則第三邊也平行于這

18、個平面B平面平面，a，過內(nèi)的一點B有唯一的一條直線b，使baC，、分別與、的交線為a、b、c、d，則abcdD一條直線與兩個平面成等角是這兩個平面平行的充要條件解析D錯誤當兩個平面平行時，則該直線與兩個平面成等角；反之，如果一條直線與兩個平面成等角，這兩個平面可能是相交平面如下圖，直線AB與、都成45°角，但l.7設(shè)、為兩兩不重合的平面，l、m、n為兩兩不重合的直線給出下列四個命題：若，則；若m，n，m，n，則；若，l，則l；若l，m，n，l，則mn.其中真命題的是_答案解析垂直于同一個平面的兩個平面也可以相交，如墻角，該命題不對；m、n相交時才有，此命題不對；由面面平行的性質(zhì)定理可

19、知該命題正確；l，m，l，lm.又l，且m，m.又m且n，mn，故對8如圖所示，四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB面MNP的圖形的序號是_(寫出所有符合要求的圖形序號)答案9考察下列三個命題，在“_”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)、m為直線，、為平面)，則此條件為_l；l；l.答案l解析體現(xiàn)的是線面平行的判定定理，缺的條件是“l(fā)為平面外的直線”，即“l(fā)”，它也同樣適合，故填l.10.如圖，在底面是平行四邊形的四棱錐PABCD中，點E在PD上，且PEED21，在棱PC上是否存在一點F，使BF平面AEC？證明你的結(jié)論解析當

20、F是棱PC的中點時，BF平面AEC.證明：取PE的中點M，連接FM，則FMCE.由EMPEED，知E是MD的中點連接BM，BD，設(shè)BDACO，則O為BD的中點，連接OE，所以BMOE.由，知，平面BFM平面AEC.又BF平面BFM，所以BF平面AEC. 2014高考真題 2014·安徽卷 如圖1­5所示，四棱錐P ­ ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.圖1­5(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積解： (1)證明

21、：因為BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PAPC，O是AC的中點，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD內(nèi)，所以PO平面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因為平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K是OB的中點再由POGK得

22、GKPO，所以G是PB的中點，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四邊形GEFH的面積S·GK×318.2014·北京卷 如圖1­5，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點圖1­5(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；(2)求證：C1F平面ABE；(3)求三棱錐E ­ ABC的體積解：(1)證明：在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因為ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE

23、平面B1BCC1.(2)證明：取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)，G分別是A1C1，BC，AB的中點，所以FGAC，且FGAC，EC1A1C1.因為ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因為EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因為AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱錐E ­ ABC的體積VSABC·AA1×××1×2. 2014·湖北卷 如圖1­5，在正方體ABCD ­A1B1C1D1

24、中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點求證：(1)直線BC1平面EFPQ；(2)直線AC1平面PQMN.圖1­5證明：(1)連接AD1，由ABCD ­ A1B1C1D1是正方體，知AD1BC1.因為F，P分別是AD，DD1的中點，所以FPAD1.從而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1平面EFPQ.(2)如圖，連接AC，BD，A1C1，則ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1A1.而AC1平面ACC1A1，所以BDAC1.因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，所以MNBD，從而MNAC1.同理可證PNAC1.又PNMNN，所以直線AC1平面PQMN.2014·新課標全國卷 如圖1­3