1、第第7章章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識武漢大學(xué)水利水電學(xué)院武漢大學(xué)水利水電學(xué)院 鄧念武鄧念武7.1 測量誤差的來源及其分類 7.1.1 測量誤差的定義測量誤差的定義真 值 X：觀測對象客觀存在的量。觀測值L：每次觀測所得的數(shù)值。真誤差： L X 7.1.2 測量誤差的來源 儀器、人、外界條件三方面的因素綜合起來稱為觀測條件觀測條件。觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測等精度觀測。觀測條件不同的各次觀測稱為非等精度觀測非等精度觀測。注意區(qū)分誤差和錯誤的區(qū)別誤差來源的來源： 儀器設(shè)備不盡完善 人的感官不穩(wěn)定 自然環(huán)境的影響7.1.3 測量誤差的分類 1系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下

2、對某量進(jìn)行多次觀測，如果誤差在大小和符號上按一定規(guī)律變化，或者保持常數(shù)，則這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 經(jīng)過一定的觀測手段或加改正數(shù)的方法，系統(tǒng)誤差基本可以消除。2偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行多次觀測，其誤差在大小和符號上都具有偶然性，從表面上看，誤差的大小和符號沒有明顯的規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。 7.2 偶然誤差的特性及算術(shù)平均值原理 7.2.1 偶然誤差的特性 a ab bc ci=ai+bi+ci-180（i=1,2, 174）舉例：舉例：誤差區(qū)間（）正誤差負(fù)誤差個數(shù)相對個數(shù)個數(shù)相對個數(shù)0101020203030404050506060以上322315115200.18

3、40.1320.0860.0630.0290.0120.000312117114200.1780.1210.0980.0630.0230.0110.000和880.506860.494誤 差 分 布 表結(jié)結(jié) 論論1.在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多；3.絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會幾乎相等；4.當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即 0limlim21nnnnn7.2.2 算術(shù)平均值原理 設(shè)對某個量X（真值）進(jìn)行了n次等精度觀測，得觀測值L1、L2、Ln，則其算術(shù)平均值x為： nLnLLLx111 算術(shù)平均值原

4、理認(rèn)為：觀測值的算術(shù)平均值是真值的最可靠值。算術(shù)平均值原理的證明：n、21XLXLXLnn2211 XnLnnXx以分別表示L1、L2、Ln的真誤差，則 將各式相加，兩邊除以n，有： 即： 由偶然誤差特性4可知，當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，此時(shí)觀測值的算術(shù)平均值x將趨近于真值X。 7.3 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 7.3.1 中誤差 n、21nm 設(shè)對一個未知量X進(jìn)行多次等精度觀測，其觀測值為L1、L2、Ln，其真誤差為 我們?nèi)「鱾€真誤差平方和的平均值的平方根，定義為中誤差m，即：1 . 2591049 甲m4 . 25410169 乙m舉例：設(shè)有甲、乙兩組觀測值，其真誤差分別為

5、： 甲組：-3、- 2、0、1、3 乙組：3、-4、0、1、-2則兩組觀測值的中誤差分別為：注意：以上所計(jì)算的中誤差稱為一次觀測中誤差。7.3.2 容許誤差在實(shí)際工作中，常采用二倍中誤差作為容許誤差，即： 容2m 當(dāng)要求較低時(shí)，也可采用三倍中誤差作為容許誤差，即： 容3m 容許誤差又稱極限誤差、最大誤差和允許誤差。 7.3.3 相對中誤差100011001 . 01111mmLmN5000110002 . 01222mmLmN舉例：丈量兩段長短不等的距離，一段長100米，中誤差為0.1米，另一段長1000米，中誤差為0.2米。前一段的相對中誤差為：后一段的相對中誤差為： 通過相對中誤差判斷：第

6、二段距離比第一段距離丈量的精度高。7.4 觀測值函數(shù)的中誤差誤差傳播定律 7.4.1 觀測值和或差函數(shù)的中誤差 問題的提出：設(shè)有函數(shù)yxz式中z是x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測值。設(shè)x、y的中誤差分別為mx、my，求z的中誤差mz。yxzyixizi 2222yxyxznnnnyxyxz222222zzmn22xxmn22yymn222yxzmmm22yxzmmm假如對x和y分別以同精度各觀測了n次，則： 將上述n個公式兩邊平方，然后相加得：將上式兩邊除n，得： 或 （i1，2n） 求解：跳到誤差獨(dú)立問題nxxxz2122221nzmmmmnmmm21mnmz討論討論：（1）當(dāng)函數(shù)z為

7、n個獨(dú)立觀測值的代數(shù)和時(shí)，即：按上述的推導(dǎo)方法，可得出函數(shù)z的中誤差為：（2）當(dāng)觀測值為同精度觀測時(shí)，即各觀測值的中誤差均為m，即則有：需要指出的是：上述分析僅僅考慮了讀數(shù)誤差，不能作為實(shí)際測量中的限差要求。7.4.2 觀測值倍數(shù)函數(shù)的中誤差問題的提出：設(shè)有函數(shù) zkx 式中z為觀測值x的函數(shù)，k為常數(shù)。 已知x的中誤差是mx，求z的中誤差mz zkx 若對x共觀測了n次，則： zikxi （i1，2n）將上述n個公式兩邊平方，然后相加得： 222xzk求解：nknxz222222xzmkm xzmkm 上式兩邊除n得：按中誤差定義，將上式寫成：或算例算例：在1：1000比例尺地形圖上，量得某

8、直線長度d 234.5mm，中誤差md=0.1mm，求該直線的實(shí)地長度D及中誤差mD。解： 實(shí)地長度 D1000d=1000234.5mm 234.5m 中誤差 mD1000md 1000(0.1mm)=0.1m 最后結(jié)果寫成： D=234.5m0.1m7.4.3 線性函數(shù)的中誤差nnxkxkxkz2211nxxx21、nkkk21、設(shè)有線性函數(shù)式中均為獨(dú)立觀測值，為常數(shù)， 問題的提出：已知nxxx21、的中誤差分別為nmmm21、求Z的中誤差。參考和差函數(shù)和倍數(shù)函數(shù)中誤差的關(guān)系，有：22222221212nnzmkmkmkm2222222121nnzmkmkmkm 求解： 引入函數(shù) ，則有n

9、yyyz21iiixky 321615141xxxz232221361251161mmmmz舉例：設(shè)有某線性函數(shù) 式中：分別為獨(dú)立觀測值，中誤差分別為、求函數(shù)z的中誤差解： 由線性函數(shù)中誤差的關(guān)系式有：321xxx、321mmm、7.4.4 一般函數(shù)的中誤差一般函數(shù)的中誤差),(21nxxxfzix問題的提出：設(shè)有函數(shù)式中 （i=1，2n）為獨(dú)立觀測值，中誤差為mi（i1，2n），求函數(shù)z的中誤差mz。nndxxfdxxfdxxfdz2211nnxxfxxfxxfz2211求解：上述函數(shù)的全微分表達(dá)為： 由于真誤差均為小值，故可用真誤差替代微分量，得：參考線性函數(shù)中誤差的關(guān)系式有：222222

10、2121)()()(nnzmxfmxfmxfm 誤差獨(dú)立：和差函數(shù) 7.5 等精度直接平差等精度直接平差7.5.1 觀測值中誤差m7.5.2 算術(shù)平均值中誤差M第六節(jié)第六節(jié) 測量精度分析示例測量精度分析示例一、一、 有關(guān)水準(zhǔn)測量的精度分析有關(guān)水準(zhǔn)測量的精度分析 1一個測站的高差中誤差 望遠(yuǎn)鏡的照準(zhǔn)誤差Sv 06照Svm 0321照水準(zhǔn)管氣泡居中的誤差水準(zhǔn)管氣泡居中的誤差mmm50. 0206265101002005. 032在兩點(diǎn)間進(jìn)行水準(zhǔn)測量時(shí)，前視或后視讀數(shù)的中誤差為 mmm12. 15 . 000. 122讀故一個測站的高差中誤差為mmmm57. 12讀站若采用雙面水準(zhǔn)尺施測mmm12. 1257. 1站mmmm57. 12讀紅黑mmm14. 32紅黑紅黑2測站校核限差的規(guī)定（1） 黑面讀數(shù)與紅面讀數(shù)之差的限差讀數(shù)一次的中誤差為取其中誤差的兩倍作為限差因?yàn)榧t黑面觀測時(shí)的條件基本相同，故規(guī)定其限差為3毫米。讀紅黑mmmhh2mmmmh24. 222讀紅黑mmmhh48. 42紅黑(2) 黑面高差和紅面高差之差的限差取中誤差的兩倍作為限差，故規(guī)定其限差為5毫米。nhhhh21mmmmhn12. 1n站mm