1、三角形的內(nèi)、外角和三線綜合練習(xí)題 三角形的內(nèi)、外角和三線綜合練習(xí)題一解答題（共30小題）1（2010玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖a，若ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D，得BPD=BD將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則BPDBDBQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中A+B+C+D+E+F的度數(shù)2（2006

2、浙江）已知：如圖，ABCD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，BEF的平分線與DFE的平分線相交于點(diǎn)P求證：P=903（2000內(nèi)蒙古）如圖，已知在三角形ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù)4（2013響水縣一模）探究與發(fā)現(xiàn)：探究一：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？已知：如圖1，F(xiàn)DC與ECD分別為ADC的兩個(gè)外角，試探究A與FDC+ECD的數(shù)量關(guān)系探究二：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？已知：如圖2，在ADC中，DP、CP分別平分ADC和ACD

3、，試探究P與A的數(shù)量關(guān)系探究三：若將ADC改為任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分ADC和BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究P與A+B的數(shù)量關(guān)系探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？請直接寫出P與A+B+E+F的數(shù)量關(guān)系：_5如圖，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE交CE于F，求CDF的度數(shù)6如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使AOC=60將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在BOC的

4、內(nèi)部，且恰好平分BOC，求CON的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒10的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角AOC，則t的值為_秒（直接寫出結(jié)果）；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄緼OM與NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由7如圖，AD、BC交于O點(diǎn)，且A=B，C=D求證：ABCD8如圖，已知點(diǎn)A，D，B在同一直線上，1=2，3=E求證：DEBC9如圖，D=1，E=2，DCEC求證：ADBE10如圖，若CAB=CED+CDE，求證：ABCD11直線AB、CD被直線EF所截，EF分別交AB、CD于M，N，EMB=5

5、0，MG平分BMF，MG交CD于G（1）如圖1，若ABCD，求1的度數(shù)（2）如圖2，若MNC=140，求1的度數(shù)12如圖，四邊形ABCD中，B=D=90，AE平分BAD，若AECF，BCF=60，請你求出DCF的度數(shù)并說明你的理由13已知ABCD，直線l與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與F重合），點(diǎn)M在EF上，且FMP=FPM，（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在射線FC上移動(dòng)時(shí)，若AEF=60，則FPM=_；假設(shè)AEF=a，則FPM=_；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線FD上移動(dòng)時(shí)，猜想FPM與AEF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你說明理由14如圖（1）直線GCHD，EF交CG、HD于A、

6、B，三條直線把EF右側(cè)的平面分成、三個(gè)區(qū)域，（規(guī)定：直線上各點(diǎn)不屬于任何區(qū)域）將一個(gè)透明的直角三角尺放置在該圖中，使得30角（即P）的兩邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)P落在某個(gè)區(qū)域時(shí)，連接PA、PB，得到PBD、PAC兩個(gè)角（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P落在第區(qū)域時(shí)，求PAC+PBD的度數(shù)；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P落在第區(qū)域時(shí)，PACPBD=_度（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P落在第區(qū)域時(shí)，直接寫出PAC、PBD之間的等量關(guān)系15如圖，直線ab，直線AC分別交a、b于點(diǎn)B、點(diǎn)C，直線AD交a于點(diǎn)D若1=20，2=65，求3的度數(shù)16（1）如圖（1），ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，若B=40，D=15，則BPD=

7、_（2）如圖（2），ABCD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，則B，BPD，D之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）在圖（2）中，將直線AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)M，如圖（3），若BPD=90，BMD=40，求B+D的度數(shù)17（2012樊城區(qū)模擬）下面是有關(guān)三角形內(nèi)外角平分線的探究，閱讀后按要求作答：探究1：如圖（1），在ABC中，O是ABC與ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)：BOC=90+A（不要求證明）探究2：如圖（2）中，O是ABC與外角ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析BOC與A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由探究3：如圖（3）中，O是外角DBC與外角ECB的平

8、分線BO和CO的交點(diǎn)，則BOC與A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：_18（2011宜興市二模）操作示例如圖1，ABC中，AD為BC邊上的中線，則SABD=SADC實(shí)踐探究（1）在圖2中，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則S陰和S矩形ABCD之間滿足的關(guān)系式為_（2）在圖3中，E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則S陰和S平行四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為_；（3）在圖4中，E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則S陰和S四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為_；解決問題：（4）在圖5中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB、

9、BC、CD的中點(diǎn)，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個(gè)小三角形的面積和，即S1+S2+S3+S4=_19如圖，在BCD中，BE平分DBC交CD于F，延長BC至G，CE平分DCG，且EC、DB的延長線交于A點(diǎn)，若A=33，DFE=63（1）求證：DFE=A+D+E；（2）求E的度數(shù)；（3）若在上圖中作CBE與GCE的平分線交于E1，作CBE1與GCE1的平分線交于E2，作CBE2與GCE2的平分線于E3，以此類推，CBEn與GCEn的平分線交于En+l，請用含有n的式子表示En+l的度數(shù)（直接寫答案）20已知：ABC中，ADBC，AE平分BAC，請根據(jù)題中所給的條件，解答下列問題：（1

10、）如圖1，若BAD=60，EAD=15，求ACB的度數(shù)（2）通過以上的計(jì)算你發(fā)現(xiàn)EAD和ACBB之間的關(guān)系應(yīng)為：_（3）在圖2的ABC中，ACB90，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？21如圖（甲），D是ABC的邊BC的延長線上一點(diǎn)ABC、ACD的平分線相交于P1（1）若ABC=80，ACB=40，則P1的度數(shù)為_；（2）若A=，則P1的度數(shù)為_；（用含的代數(shù)式表示）（3）如圖（乙），A=，ABC、ACD的平分線相交于P1，P1BC、P1CD的平分線相交于P2，P2BC、P2CD的平分線相交于P3依此類推，則Pn的度數(shù)為_（用n與的代數(shù)式表示）22在ABC中，CB，AE是ABC中BAC的平

11、分線；（1）若AD是ABC的BC邊上的高，且B=30，C=70（如圖1），求EAD的度數(shù)；（2）若F是AE上一點(diǎn)，且FGBC，垂足為G（如圖2），求證：；（3）若F是AE延長線上一點(diǎn)，且FGBC，G為垂足（如圖3），中結(jié)論是否依然成立？請給出你的結(jié)論，并說明理由23已知，如圖，在ABC中，AD平分BAC，DE，DF分別是ADC的高和角平分線（CDAC），若B=80，C=40（1）求DAE的度數(shù)；（2）試猜想EDF、C與DAC有何關(guān)系？并說明理由24如圖，在ABC中，已知ACB=67，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F(xiàn)是BE和CD的交點(diǎn)，DCB=45，求ABE和BFC的度數(shù)25如圖，已知AB

12、C中，B=40，C=62，AD是BC邊上的高，AE是BAC的平分線求：DAE的度數(shù)（寫出推導(dǎo)過程）26已知ABC中，BAC=90，C=30，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F（1）若AD為ABC的角平分線（如圖1），圖中1、2有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）若AD為ABC的高（如圖2），求圖中1、2的度數(shù)27如圖，（1）在ABC中，A=52，ABC與ACB的角平分線交于D1，ABD1與ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類推，ABD4與ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則BD5C的度數(shù)是_（2）在ABC中，ABC與ACB的角平分線交于D1，ABD1與ACD1的角平分線交于點(diǎn)D

13、2，ABD2與ACD2的角平分線交于點(diǎn)D3，若BD3C的度數(shù)是n，則A的度數(shù)是_（用含n的代數(shù)式表示）28已知ABC（1）若BAC=40，畫BAC和外角ACD的角平分線相交于O1點(diǎn)（如圖），求BO1C的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，再畫O1BC和O1CD的角平分線相交于O2點(diǎn)（如圖），求BO2C的度數(shù)；（3）若BAC=n，按上述規(guī)律繼續(xù)畫下去，請直接寫出BO2012C的度數(shù)29（1）如圖1，在銳角ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，BD與CE相交于點(diǎn)P，若已知A=50，BPC的度數(shù)為多少；（2）如圖2，在鈍角ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，BD與EC的延長線相交于點(diǎn)

14、P，若已知A=50，則BPC的度數(shù)為多少；（3）在ABC中，若A=，請你探索AB、AC邊上的高線（或延長線）相交所成的BPC的度數(shù)（可以用含的代數(shù)式表示）30如圖（1），ABC中，AD是角平分線，AEBC于點(diǎn)E（1）若C=80，B=50，求DAE的度數(shù)（2）若CB，試說明DAE=（CB）（3）如圖（2）若將點(diǎn)A在AD 上移動(dòng)到A處，AEBC于點(diǎn)E此時(shí)DAE變成DAE，（2）中的結(jié)論還正確嗎？為什么？三角形的內(nèi)、外角和三線綜合練習(xí)題參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2010玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖a，若ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有B=BOD，又因

15、BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D，得BPD=BD將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則BPDBDBQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中A+B+C+D+E+F的度數(shù)分析：（1）延長BP交CD于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出PED=B，再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可說明不成立，應(yīng)為BPD=B+D；（2）作射線QP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得；（3）根據(jù)三角形的外

16、角性質(zhì)，把角轉(zhuǎn)化到四邊形中再求解解答：解：（1）不成立結(jié)論是BPD=B+D延長BP交CD于點(diǎn)E，ABCDB=BED又BPD=BED+D，BPD=B+D（2）結(jié)論：BPD=BQD+B+D（3）連接EG并延長，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，AGB=A+B+E，又AGB=CGF，在四邊形CDFG中，CGF+C+D+F=360，A+B+C+D+E+F=3602（2006浙江）已知：如圖，ABCD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，BEF的平分線與DFE的平分線相交于點(diǎn)P求證：P=90分析：由ABCD，可知BEF與DFE互補(bǔ)，由角平分線的性質(zhì)可得PEF+PFE=90，由三角形內(nèi)角和定理可得P=90度解答：證明

17、：ABCD，BEF+DFE=180又BEF的平分線與DFE的平分線相交于點(diǎn)P，PEF=BEF，PFE=DEF，PEF+PFE=（BEF+DFE）=90PEF+PFE+P=180，P=903（2000內(nèi)蒙古）如圖，已知在三角形ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù)分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與C=ABC=2A，即可求得ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得DBC的度數(shù)解答：解：C=ABC=2A，C+ABC+A=5A=180，A=36則C=ABC=2A=72又BD是AC邊上的高，則DBC=90C=184（2013響水縣一模）探究與發(fā)現(xiàn)：探究一：我們知道，三

18、角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？已知：如圖1，F(xiàn)DC與ECD分別為ADC的兩個(gè)外角，試探究A與FDC+ECD的數(shù)量關(guān)系探究二：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？已知：如圖2，在ADC中，DP、CP分別平分ADC和ACD，試探究P與A的數(shù)量關(guān)系探究三：若將ADC改為任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分ADC和BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究P與A+B的數(shù)量關(guān)系探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？請直接寫出P與A+B+E+F的數(shù)

19、量關(guān)系：P=（A+B+E+F）180分析：探究一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得FDC=A+ACD，ECD=A+ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；探究二：根據(jù)角平分線的定義可得PDC=ADC，PCD=ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出ADC+BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出ADC+BCD，然后同理探究二解答即可解答：解：探究一：FDC=A+ACD，ECD=A+ADC，F(xiàn)DC+ECD=A+ACD+A+ADC=180+A；探究二：DP、CP分別平分ADC和ACD，PDC=ADC，

20、PCD=ACD，DPC=180PDCPCD，=180ADCACD，=180（ADC+ACD），=180（180A），=90+A；探究三：DP、CP分別平分ADC和BCD，PDC=ADC，PCD=BCD，DPC=180PDCPCD，=180ADCBCD，=180（ADC+BCD），=180（360AB），=（A+B）；探究四：六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（62）180=720，DP、CP分別平分ADC和ACD，P=ADC，PCD=ACD，P=180PDCPCD，=180ADCACD，=180（ADC+ACD），=180（720ABEF），=（A+B+E+F）180，即P=（A+B+E+F）18

21、05如圖，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE交CE于F，求CDF的度數(shù)分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得ACB的度數(shù)，再根據(jù)CE平分ACB求得ACE的度數(shù)，則根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)就可求得CED=A+ACE，再結(jié)合CDAB，DFCE就可求解解答：解：A=40，B=72，ACB=1804072=68，CE平分ACB，ACE=BCE=34，CED=A+ACE=74，CDE=90，DFCE，CDF+ECD=ECD+CED=90，CDF=746如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使AOC=60將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一

22、邊ON在直線AB的下方（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在BOC的內(nèi)部，且恰好平分BOC，求CON的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒10的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角AOC，則t的值為12或30秒（直接寫出結(jié)果）；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄緼OM與NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；（2）由BOC=120可得AOC=60，則AON=30或NOR=30，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300或120時(shí)ON平分AOC，據(jù)此求解；（3）因?yàn)镸ON=90

23、，AOC=60，所以AOM=90AON、NOC=60AON，然后作差即可解答：解：（1）已知AOC=60，BOC=120，又OM平分BOC，COM=BOC=60，CON=COM+90=150；（2）延長NO，BOC=120AOC=60，當(dāng)直線ON恰好平分銳角AOC，AOD=COD=30，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300時(shí)NO延長線平分AOC，由題意得，10t=300t=30，當(dāng)NO平分AOC，NOR=30，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120時(shí)NO平分AOC，10t=120，t=12，t=12或30；（3）MON=90，AOC=60，AOM=90AON、NOC=60AON，AOMNOC=（90AON）（60AON）=30，所

24、以AOM與NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：AOMNOC=307如圖，AD、BC交于O點(diǎn)，且A=B，C=D求證：ABCD分析：證兩直線平行，需證得兩直線的內(nèi)錯(cuò)角相等結(jié)合已知，可用AOB和COD的外角AOC為媒介，證得A=D或B=C，由此來證得ABCD解答：證明：AOC=A+B，A=B，AOC=2BAOC=C+D，C=D，AOC=2CC=BABCD8如圖，已知點(diǎn)A，D，B在同一直線上，1=2，3=E求證：DEBC分析：由1=2，AOE=COD可證得CDO=E；再由3=E得CDO=3，即得DEBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）解答：證明：1=2，AOE=COD（對頂角相等），在AOE和COD中，CDO=E（三角

25、形內(nèi)角和定理）；3=E，CDO=3，DEBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）9如圖，D=1，E=2，DCEC求證：ADBE分析：根據(jù)DCEC，得1+2=90，再結(jié)合已知條件，得D+1+E+2=180，利用三角形的內(nèi)角和定理就可求得A+B的值，從而證明結(jié)論解答：證明：DCEC，1+2=90，又D=1，E=2，D+1+E+2=180根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得A+B=180，ADBE10如圖，若CAB=CED+CDE，求證：ABCD分析：利用三角形的內(nèi)角和定理得C+CED+CDE=180，已知CAB=CED+CDE，所以C+CAB=180，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可證ABCD解答：證明：在ECD中C+

26、CED+CDE=180（三角形內(nèi)角和定理），又CAB=CED+CDE（已知），C+CAB=180（等量代換），ABCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）11直線AB、CD被直線EF所截，EF分別交AB、CD于M，N，EMB=50，MG平分BMF，MG交CD于G（1）如圖1，若ABCD，求1的度數(shù)（2）如圖2，若MNC=140，求1的度數(shù)分析：（1）根據(jù)兩角互補(bǔ)及角平分線的性質(zhì)可求出BMG的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）先根據(jù)兩角互補(bǔ)及角平分線的性質(zhì)可求出NMG的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)及MNC=140即可求出1的度數(shù)解答：解：（1）BMF+EMB=180，BMF=180EMB，EM

27、B=50，BMF=18050=130，（2分）MG平分BMF，BMG=GMN=BMF=65，（4分）ABCD，1=BMG=65；（5分）（2）MNC=1+GMN，1=MNCGMN，（7分）MNC=140，GMN=65，1=14065=75（8分）12如圖，四邊形ABCD中，B=D=90，AE平分BAD，若AECF，BCF=60，請你求出DCF的度數(shù)并說明你的理由解答：解：DCF=60，理由如下：B=901+BCF=90 BCF=601=30度AECF2=1=30度 AE平分BAD3=2=30度又D=903+4=904=60 AECFDCF=4=6013已知ABCD，直線l與AB、CD分別交于點(diǎn)

28、E、F，點(diǎn)P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與F重合），點(diǎn)M在EF上，且FMP=FPM，（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在射線FC上移動(dòng)時(shí)，若AEF=60，則FPM=30；假設(shè)AEF=a，則FPM=；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線FD上移動(dòng)時(shí)，猜想FPM與AEF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你說明理由分析：（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及PFM的內(nèi)角和是180填空；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和三角形的內(nèi)角和為180度，易得FPM=90AEF解答：解：（1）ABCD，AEF+MFP=180MFP+FMP+FPM=180，F(xiàn)MP+FPM=AEF；FMP=FPM，F(xiàn)PM=AEF；若AEF=60，則FPM=30；若A

29、EF=a，則FPM=；（2）FPM=90AEF理由：ABCD，AEF=MFP（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）MFP+FMP+FPM=180，F(xiàn)MP+FPM=180MFP=180AEF；FMP=FPM，F(xiàn)PM=90AEF14如圖（1）直線GCHD，EF交CG、HD于A、B，三條直線把EF右側(cè)的平面分成、三個(gè)區(qū)域，（規(guī)定：直線上各點(diǎn)不屬于任何區(qū)域）將一個(gè)透明的直角三角尺放置在該圖中，使得30角（即P）的兩邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)P落在某個(gè)區(qū)域時(shí)，連接PA、PB，得到PBD、PAC兩個(gè)角（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P落在第區(qū)域時(shí)，求PAC+PBD的度數(shù)；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P落在第區(qū)域時(shí)，PACPBD=30度

30、（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P落在第區(qū)域時(shí)，直接寫出PAC、PBD之間的等量關(guān)系分析：解答：（1）過點(diǎn)P作PQGC，則由平行線的性質(zhì)求出PAC+PBD=P，從而得出答案（2）由GCHD，得EAC=EBD，再由外角的性質(zhì)得出PAE=P+ABP，從而得出PAC=PBD+P；（3）由GCHD，得1=PBD，再由外角的性質(zhì)得出1=P+CAP，從而得出PBD=PAC+P解：（1）過點(diǎn)P作PQGC，PAC=APQ，BPQ=PBD，PAC+PBD=APQ+QPB，即PAC+PBD=P，P=30，PAC+PBD=30（2）GCHD，EAC=EBD，PAE=P+ABP，PAC=PBD+P，PACPBD=30；（3）G

31、CHD，1=PBD，1=P+CAP，PBD=PAC+P，即PBDPAC=PP=3015如圖，直線ab，直線AC分別交a、b于點(diǎn)B、點(diǎn)C，直線AD交a于點(diǎn)D若1=20，2=65，求3的度數(shù)分析：根據(jù)兩直線ab推知，內(nèi)錯(cuò)角2=4；然后由三角形的外角性質(zhì)及等量代換求得3的度數(shù)即可解答：解：ab，2=4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又4=1+3（外角定理），1=20，2=65，3=21=45，即3=4516（1）如圖（1），ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，若B=40，D=15，則BPD=25（2）如圖（2），ABCD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，則B，BPD，D之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）在圖（2）

32、中，將直線AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)M，如圖（3），若BPD=90，BMD=40，求B+D的度數(shù)分析：（1）由ABCD，B=40，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得BOD的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，可求得BPD的度數(shù)；（2）首先過點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，可得ABPECD，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得BPD=1+2=B+D；（3）首先延長BP交CD于點(diǎn)E，利用三角形外角的性質(zhì)，即可求得B+D的度數(shù)解答：解：（1）ABCD，B=40，BOD=B=40，P=BODD=4015=25故答案為：25；（2）BPD=B+D證明：過點(diǎn)P作PEAB，ABCD，ABPEC

33、D，1=B，2=D，BPD=1+2=B+D（3）延長BP交CD于點(diǎn)E，1=BMD+B，BPD=1+D，BPD=BMD+B+D，BPD=90，BMD=40，B+D=BPDBMD=9040=5017（2012樊城區(qū)模擬）下面是有關(guān)三角形內(nèi)外角平分線的探究，閱讀后按要求作答：探究1：如圖（1），在ABC中，O是ABC與ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)：BOC=90+A（不要求證明）探究2：如圖（2）中，O是ABC與外角ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析BOC與A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由探究3：如圖（3）中，O是外角DBC與外角ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則BOC與A有怎樣的數(shù)

34、量關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：BOC=90A分析：（1）根據(jù)提供的信息，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用A與1表示出2，再利用O與1表示出2，然后整理即可得到BOC與O的關(guān)系；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出OBC與OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解解答：解：（1）探究2結(jié)論：BOC=A，理由如下：BO和CO分別是ABC和ACD的角平分線，1=ABC，2=ACD，又ACD是ABC的一外角，ACD=A+ABC，2=（A+ABC）=A+1，2是BOC的一外角，BOC=21=A+11=A；（2）探究3：OBC=

35、（A+ACB），OCB=（A+ABC），BOC=1800BCOCB，=180（A+ACB）（A+ABC），=180A（A+ABC+ACB），結(jié)論BOC=90A18（2011宜興市二模）操作示例如圖1，ABC中，AD為BC邊上的中線，則SABD=SADC實(shí)踐探究（1）在圖2中，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則S陰和S矩形ABCD之間滿足的關(guān)系式為；（2）在圖3中，E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則S陰和S平行四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為；（3）在圖4中，E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則S陰和S四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為；解決問題

36、：（4）在圖5中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個(gè)小三角形的面積和，即S1+S2+S3+S4=20分析：（1）利用E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，分別求得S陰和S矩形ABCD即可（2）利用E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，分別求則S陰和S平行四邊形ABCD即可（3）利用E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，分別求得則S陰和S四邊形ABCD即可（4）先設(shè)空白處面積分別為：x、y、m、n由上得，分別求得S1、S2、S3、S4然后S1+S2+S3+S4=S陰即可解答：解

37、：（1）由E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，得S陰=BFCD=BCCD，S矩形ABCD=BCCD，所以；（2）同理可得；（3）同理可得；（4）設(shè)空白處面積分別為：x、y、m、n（見右圖），由上得，S1+x+S2+S3+y+S4=S1+m+S4+S2+n+S3=，（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S四邊形ABCD（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S陰S1+S2+S3+S4=S陰=20故答案分別為：（1）；（2）；（3）；（4）2019如圖，在BCD中，BE平分DBC交C

38、D于F，延長BC至G，CE平分DCG，且EC、DB的延長線交于A點(diǎn)，若A=33，DFE=63（1）求證：DFE=A+D+E；（2）求E的度數(shù)；（3）若在上圖中作CBE與GCE的平分線交于E1，作CBE1與GCE1的平分線交于E2，作CBE2與GCE2的平分線于E3，以此類推，CBEn與GCEn的平分線交于En+l，請用含有n的式子表示En+l的度數(shù)（直接寫答案）分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得出DCE=A+D，DFE=DCE+E，將第一式代入第二式即可得證；（2）根據(jù)角平分線及三角形外角的性質(zhì)得出ECG=DCG=（D+DBC），ECG=E+EBC=E+DBC，則

39、D=2E，再利用上題結(jié)論DFE=A+D+E，將已知條件代入，即可求出E的度數(shù)；（3）先根據(jù)角平分線及三角形外角的性質(zhì)得出E1=E，同理得出E2=E1，則E2=E=E，由此得出規(guī)律En+l=E解答：（1）證明：DCE=A+D，DFE=DCE+E，DFE=A+D+E；（2）解：DCG=D+DBC，CE平分DCG，ECG=DCG=（D+DBC），BE平分DBC，EBC=DBC，ECG=E+EBC=E+DBC，E+DBC=（D+DBC），E=D，D=2EDFE=63，A=33，DFE=A+D+E，D+E=DEFA=6333=30，2E+E=30，E=10；（3）ECG=E+EBC，CE1平分ECG，E

40、1CG=ECG=（E+EBC）BE1平分EBC，E1BC=EBCE1CG=E1+E1BC=E1+EBC，E1+EBC=（E+EBC），E1=E同理：E2=E1，E2=E=E，En+l=E20已知：ABC中，ADBC，AE平分BAC，請根據(jù)題中所給的條件，解答下列問題：（1）如圖1，若BAD=60，EAD=15，求ACB的度數(shù)（2）通過以上的計(jì)算你發(fā)現(xiàn)EAD和ACBB之間的關(guān)系應(yīng)為：ACBB=2EAD（3）在圖2的ABC中，ACB90，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？分析：（1）先求出BAE=BADEAD=45，再根據(jù)角平分線的定義，得出BAC=90，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出ACB=90

41、B，故求出B的度數(shù)即可而在直角ABD中，B=90BAD=30；（2）由（1）的計(jì)算發(fā)現(xiàn)EAD和ACBB之間的關(guān)系應(yīng)為：ACBB=2EAD；（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及垂直的定義，得出ACBB=BADCAD，再由角平分線的定義得出結(jié)論ACBB=2EAD解答：解：（1）BAD=60，EAD=15，BAE=BADEAD=45，AE平分BAC，BAC=2BAE=90ADBC，BAD=60，B=30，ACB=9030=60；（2）（1）中EAD=15，ACBB=6030=30，發(fā)現(xiàn)ACBB=2EAD，推測ACBB=2EAD；（3）在圖2的ABC中，ACB90，那么（2）中的結(jié)論仍然成立理由如下：在AB

42、C中，ADBC，AE平分BAC，ADC=ADB=90，BAE=CAE，ACBB=90CAD（90BAD）=BADCAD，又BAD=BAE+EAD，CAD=CAEEAD，ACBB=2EAD21如圖（甲），D是ABC的邊BC的延長線上一點(diǎn)ABC、ACD的平分線相交于P1（1）若ABC=80，ACB=40，則P1的度數(shù)為30；（2）若A=，則P1的度數(shù)為；（用含的代數(shù)式表示）（3）如圖（乙），A=，ABC、ACD的平分線相交于P1，P1BC、P1CD的平分線相交于P2，P2BC、P2CD的平分線相交于P3依此類推，則Pn的度數(shù)為（）n（用n與的代數(shù)式表示）分析：由P1CD=P1+P1BC，ACD=A

43、BC+A，而P1B、P1C分別平分ABC和ACD，得到ACD=2P1CD，ABC=2P1BC，于是有A=2P1，同理可得P1=2P2，即A=22P2，因此找出規(guī)律解答：解：P1B、P1C分別平分ABC和ACD，ACD=2P1CD，ABC=2P1BC，而P1CD=P1+P1BC，ACD=ABC+A，A=2P1，P1=A，（1）ABC=80，ACB=40，A=60，P1=30；（2）A=，P1的度數(shù)為；（3）同理可得P1=2P2，即A=22P2，A=2nPn，Pn=（）n故答案為：30，（）n22在ABC中，CB，AE是ABC中BAC的平分線；（1）若AD是ABC的BC邊上的高，且B=30，C=7

44、0（如圖1），求EAD的度數(shù)；（2）若F是AE上一點(diǎn)，且FGBC，垂足為G（如圖2），求證：；（3）若F是AE延長線上一點(diǎn)，且FGBC，G為垂足（如圖3），中結(jié)論是否依然成立？請給出你的結(jié)論，并說明理由分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得A=1803070=80，再根據(jù)角平分線定義得EAC=80=40，由AD是ABC的BC邊上的高，得ADC=90，計(jì)算出DAC=9070=20，則EAD=EACDAC=4020=20；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得A=180BC，再根據(jù)角平分線定義得EAC=（180BC）=90（B+C），而DAC=90C，可計(jì)算得EAD=EACDAC=90（B+C）90C=（CB）

45、，然后利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；（3）與（2）證明方法一樣解答：（1）解：B=30，C=70，A=1803070=80，AE是ABC中BAC的平分線，EAC=80=40，AD是ABC的BC邊上的高，ADC=90，DAC=9070=20，EAD=EACDAC=4020=20；（2）證明：過A點(diǎn)作高AD，如圖，A=180BC，AE是ABC中BAC的平分線，EAC=（180BC）=90（B+C），而DAC=90C，EAD=EACDAC=90（B+C）90C=（CB），F(xiàn)GBC，EFG=EAD，EFG=（CB）；（3）中結(jié)論依然成立理由如下：過A點(diǎn)作高AD，如圖，在（2）中得到EAD=（CB），F(xiàn)GB

46、C，EFG=EAD，EFG=（CB）23已知，如圖，在ABC中，AD平分BAC，DE，DF分別是ADC的高和角平分線（CDAC），若B=80，C=40（1）求DAE的度數(shù)；（2）試猜想EDF、C與DAC有何關(guān)系？并說明理由分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的角平分線的定義即可求出DAE的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義求出CDF=（180DACC），再由直角三角形兩銳角互余得出CDE=90C，則根據(jù)EDF=CDFCDE即可得出EDF=（CDAC）解答：解：（1）在ABC中，B=80，C=40，BAC=1808040=60，AD平分BAC，DAE=BAC=30；（2）EDF=（CDAC）理由如下：在DAC中，ADC+DAC+C=180，ADC=180DACC，DF平分ADC，CDF=ADC=（180DACC），DE是ADC的高，CDE=90C，EDF=CDFCDE=（180DACC）（90C）=（CDAC）故EDF=（CDAC）24如圖，在ABC中，已知ACB=67，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F(xiàn)是BE和CD的交點(diǎn)，DCB=45，求ABE和BFC的度數(shù)分析：根據(jù)三角形高的定義得到CDB=90，BEC=90，先利用三角形內(nèi)角和定理得DBC=1809045=45，EBC=180ECBBEC=18067