1、1一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)21. 1. 函數(shù)的增量函數(shù)的增量0000( )(, )(, ),f xU xxU xxxxxx ，自變量 在點(diǎn)設(shè)在內(nèi)有定義，稱為的增量.0( )()(.)yf xf xf xx ，稱相應(yīng)于的增量為xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性32. 2. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義0,xxx 設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx就是就是).()(00 xfxfy 就是就是xy0)(xfy 0 xxx 0 x

2、 y 0000000( )(, )limlim ()()0,()(xxf xU xyf xxf xf xxf xx 設(shè)在內(nèi)有定義，若，稱為則定義 1：在點(diǎn)連續(xù)稱的連續(xù)點(diǎn).4000,0,( )().xxf xf x使當(dāng)時(shí) “ 恒有”語言：2)(xxf如如)2(4lim)(lim222fxxfxx點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)連續(xù)。在在2)(2xxxfxy0)(xfy 0 x0000( )(, )lim( )(),( )xxf xU xf xf xf xx設(shè)在內(nèi)有定義，若在定義 2：則稱點(diǎn)連續(xù).5說明：0( )f xxx在點(diǎn)連續(xù)下列三條件同時(shí)成立：0( )(, )f xU x(1在) 內(nèi)有定義；0lim( )xxf

3、x(2)存在；00lim( )().xxf xf x（3）61sin,0,( )0.0,0,xxf xxxx例1 試證在處連續(xù)證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 73. 3. 左右連續(xù)左右連續(xù)0000( )( )( ,()()ff xa xxxfxf x，若在內(nèi)有定義且在則稱處左連續(xù);00000( )( )()()().f xxf xxf xf xf x在處連續(xù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，即，定理：0000( ), )()().( )f xxf xxbf xf x若在內(nèi)有定義，且，則稱在處右連續(xù)

4、82,0,( )0.2,0,xxf xxxx例2 討論在處的連續(xù)性解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù), ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf93,0( )03,0 xxf xxxx例3 討論在處的連續(xù)性。解：解：)0(3)3(lim)(lim00fxxfxx)0(3) 3(lim)(lim00fxxfxx右連續(xù)且左連續(xù)右連續(xù)且左連續(xù) ,.)(處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù)0 xxf10,cos ,0,( )0.,0,axxf xxaxx例4 當(dāng) 取何值時(shí)在處連續(xù)解解

5、xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()0()0(fff要使1( )0.af xx故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在處連續(xù), 1 a114. 4. 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).( )( , )( )f xa bf xxxbbaa若在開區(qū)間內(nèi)連續(xù), 且在左端點(diǎn)處右連續(xù), 在在閉區(qū)間右端 , 點(diǎn)處左連續(xù),則稱上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .1200( )( ).f xxxf x則稱在

6、點(diǎn)處, 并不連續(xù)(或間斷)不連續(xù)點(diǎn)(或?yàn)榈拈g斷點(diǎn))稱1. 間斷點(diǎn)（不連續(xù)的點(diǎn)）二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)0(1)xx；在無定義0( )(, )( )f xU xf x設(shè).若具有下列三種情在內(nèi)有定義形之一：00lim( )xxxxf x，不(2) 在有定義但存在；0000lim( )lim( )().xxxxxxf xf xf x，（3） 在有定義且存在但132. 間斷點(diǎn)的分類0( )f xx第一類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)的左右極限都存在?？扇ラg斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)如無窮和震蕩間斷點(diǎn)0( ).f xx第二類間斷點(diǎn):在處的左、右極限至少有一個(gè)不存在14(1) (1) 跳躍間斷

7、點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)0000( )()()( ).f xxf xf xxf x若在點(diǎn)處左，右極限都存在，但，則稱為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn),0,6( )0.1,0,xxf xxxx例討論在處的連續(xù)性解解:, 0)0(f, 1)0(f),0()0( ff.0為跳躍間斷點(diǎn) xoxy15(2) (2) 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)00( )( ).f xxxf x若在間斷點(diǎn)處的左右極限存在相等，則稱為的可去間斷點(diǎn)01,2,7( )11,1,1,1.xxf xxxxx例討論在處的連續(xù)性oxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1 (f, 2)1 (f2)(lim1xfx),1(f 0.x 故，為可去間斷點(diǎn)注意注

8、意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .16第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)00( )( )f xxxf x若在點(diǎn)處的左、右極限至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)為的第二類間斷點(diǎn).1,0( )0.,0 xf xxxxx例8 討論， 在處的連續(xù)性解解oxy, 0)0(f,)0(f0( )xf x 為的第二類間斷點(diǎn).這種情況稱為.無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)171( )sin0.f xxx例9 討論在處的連續(xù)性解解xy1sin ( )0f xx 在處沒有定義,01limsin.xx且不存在0.x 為第二類間斷點(diǎn)這種情況稱為的.

9、振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x181932,0sin10( )1ln(1)sin,01.xxxxf xxxx例求的間斷點(diǎn)，并指出類型, 3, 2, 1 x,0時(shí)當(dāng)x, 012x由1 x, 3, 2, 1, 1)(處間斷在xxf.0處可能間斷在分段點(diǎn)x解解：,0時(shí)當(dāng) x0sinx由2001,x 在處不存在，由于)(lim1xfx.)(10的第二類間斷點(diǎn)是所以，xfx ）存在，矛盾存在，故，由于存在，存在，即，假設(shè).11sinlim)1ln(lim11sin)1ln(li

10、m)(lim(211211xxxxxfxxxx01,x 在處xxxxfxxsinlim)(lim311ttttttxsin)2)(1(lim01 2的第一類可去間斷點(diǎn)；是)(10 xfx2102, 3,x 在處xxxxfxxxxsinlim)(lim30002, 3,( ),xf x 是的無窮間斷點(diǎn)， 即 第二類間斷點(diǎn)；00,x 在處xxxxfxxsinlim)(lim300 xxxx30lim 111sin)1ln(lim)(lim200 xxxfxx1sin的第一類跳躍間斷點(diǎn)。是)(00 xfx 三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.