1、量子力學題庫Company number ： 0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108量子力學題庫簡答題1試寫了德布羅意公式或德布羅意關系式，簡述其物理意義答：微觀粒子的能量和動量分別表示為：其物理意義是把微觀粒子的波動性和粒子性聯(lián)系起來。等式左邊的能量和動量是描 述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長則是描述波的特性的量。2簡述玻恩關于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波答：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是：波函數(shù)在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該 點找到粒子的幾率成正比。按這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。3根據(jù)量子力學中波函數(shù)的幾率解釋，說明量子力學中的波函數(shù)

2、與描述聲波、光波等其 它波動過程的波函數(shù)的區(qū)別。答：根據(jù)量子力學中波函數(shù)的幾率解釋，因為粒子必定要在空間某一點出現(xiàn)，所以粒子 在空間各點出現(xiàn)的幾率總和為1,因而粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空 間各點的相對強度而不決定于強度的絕對大小；因而將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫 的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動過程所沒有的。4設描寫粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫成 =°仍其中J和Q為復數(shù)，0和外為粒 子的分別屬于能量片和弓的構成完備系的能量本征態(tài)。試說明式子收=。留卸?的含 義，并指出在狀態(tài)-中測量體系的能量的可能值及其幾率。答： =的含義是：當粒子處于外和心的線性疊加態(tài)少時，粒子是既處于外態(tài)，

3、又處于心態(tài)?；蛘哒f，當例和外是體系可能的狀態(tài)時，它們的線性疊加態(tài)也是 體系一個可能的狀態(tài)；或者說，當體系處在態(tài)勿時，體系部分地處于態(tài)的、外中。在狀態(tài)W中測量體系的能量的可能值為4和G,各自出現(xiàn)的幾率為hl2和卜o5什么是定態(tài)定態(tài)有什么性質答：定態(tài)是指體系的能量有確定值的態(tài)。在定態(tài)中，所有不顯含時間的力學量的幾率密 度及向率流密度都不隨時間變化。6什么是全同性原理和泡利不相容原理兩者的關系是什么答：全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的 改變。泡利不相容原理是指不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài)。兩者的關系是由全同性原理出發(fā)，推論出全同粒子體系的波函數(shù)有確

4、定的交換對稱性， 將這一性質應用到費米子組成的全同粒子體系，必然推出費米不相容原理。7試簡述波函數(shù)中的標準條件。答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內應滿足三個條件：有限性、連續(xù)性和單值性。8為什么表示力學量的算符必須是厄米算符答：因為所有力學量的數(shù)值都是實數(shù)。而表示力學量的算符的本征值是這個力學量的可 能值，所以表示力學量的算符的本征值必須是實數(shù)。厄米算符的本征值必定是實數(shù)。所 以表示力學量的算符必須是厄米算符。9請寫出微擾理論適用條件的表達式。答：萩*7而M'g?。?0試簡述微擾論的基本思想。答：復雜的體系的哈密頓量育分成冷。與身'兩部分。育°是可求出精確解的，而身&#

5、39;可看成時冷° 的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的 近似解。11簡述費米子的自旋值及其全同粒子體系波函數(shù)的特點，這種粒子所遵循的統(tǒng)計規(guī)律 是什么答：由電廣、質廣、中子這些自旋為"的粒千以及自旋為&的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒r體系的波函 22數(shù)是反對稱的，這類粒/服從費米(Fermi) 狄拉克(Dirac)統(tǒng)計，稱為費米子。12通常情況下，無限遠處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為什么態(tài)一般情況下，這種態(tài) 所屬的能級有什么特點答：束縛態(tài)，能級是分立的。13簡述兩個算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說明(要

6、求寫出本征函 數(shù)系)。在這些態(tài)中，測量這兩個算符對應的力學量時，兩個測量值是否可以同時確定 答：兩個算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符對易。例如， /工=0,這兩個算符有共同的完備本征函數(shù)系憶”(8。)。14若兩個力學量的算符不對易，對這兩個力學量同時進行測量時，一般地它們是否可 以同時具有確定值它們的均方偏差之間有什么樣的關系答：不可能同時具有確定值。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關系。15請寫出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。答：/= / 一/ = ±116指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。4,葉；£d大交解：4/4是線性算符 dx-不是線性算符

7、之是線性算符/C-117指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。18下列函數(shù)哪些是算符二的本征函數(shù)，其本征值是什么1 x2, sinx, 4 3cosx,sinx + cos工解:京I、2不是小的本征函數(shù)?！癲Kdxr不是"的本征函數(shù)其對應的本征值為I。一7 (sin x) = (cosx) = -sinx dx- dx可見是9的本征函數(shù)其對應的本征值為-1。©cosx) = (-3sin x) = - 3 cos x - (3 cos x) dx-dx3cg是條的本征函數(shù)，其對應的本征值為Th -T (sin x + cosx) = (cos x-sinx) = -sin

8、 x- cos x加dx= -(sinx + cosx). sin' + cosx是充的本征函數(shù)其對應的本征值為-1。19問下列算符是否是厄米算符：.泣解：1 JV；（即= J弘:（九%）”.:“不是厄米算符。 j（泣+=1j "（玳）匕+1j *g）w小乙乙乙；（即x +仇£）是厄米算符。20全同粒子體系的波函數(shù)應滿足什么條件答：描寫全同粒子體系的波函數(shù)只能是對稱的或是反對稱的，且它們的對稱性不隨時間 改變。二、證明題1已知粒子在中心力場中運動，試證明。（角動量在x方向的分量）是守恒量。證：因為粒子在勢函數(shù)為U的中心力場中運動時，哈密頓算答是因為。與6、夕有關而與

9、廠無關，且4,2? = 0所以，方=02試證：對于一維運動，設有兩個波函數(shù)由及憶是對應于同一級量E的解，則%匕-匕% =常數(shù)。其中，是對x的微商。-212證：因為一丁三+。一心,所以2m ax湊全微分得：（%，2,2%）=0積分得：必2% =常數(shù)3試證明：一維運動的束縛態(tài)都是不簡并的。證明：設義和憶是對應于同一能級E的不同本征態(tài)，則必%-k八=常數(shù)。在特例下，令WWWM=。'即由此得： = C，2所以g和憶描述同一個態(tài)。4試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況d，為厄密算符，2幽為厄密算符，/為實數(shù)心劉為厄密算符宣=/+戶為厄密算符5已知軌道角動量的兩個算符唐和均共

10、同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為。、取 八八八A八£±二4土遼尸試證明：4幾也是W和勾共同本征函數(shù),對應本征值分別為：本斗1?，,(制土1帆證邛乂=。2(£±刈=£±(£%)=*+中電品二£士幾是不的對應本征值為m+D的本征函數(shù)區(qū)七是工的對應本征值為(加士仍的本征函數(shù)6 .證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關。證：對于定態(tài)，可令可見了與f無關。7在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U(-x) = U(x),證明粒子的定態(tài)波函數(shù) 具有確定的宇稱。證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為 -212一 j J W(x) +

11、 U (x)(x) = E w(x)12 dx-將式中的X以(-工)代換，得一'二叭一 X)+ u (-x)(-x) = E (一x)2 &利用 u(x) = U(x),得比較、式可知，(-X)和(幻都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此 (-X)和以X)之間只能相差一個常數(shù)C。方程、 可相互進行空間反演(X - X)而得其對方，由I經Xf-X反演，可得,=必x) = tv(x)由再經-Xf X反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。=叭x) = c叭一 X)乘，得可見，C2 =1當c = +l時，(-x) = (x),一必幻具有

12、偶宇稱,當(7 = -1時，必-x) = ,(x),=必幻具有奇宇稱,當勢場滿足u(-x) = u(x)時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。8證明家原子中電子運動所產生的電流密度在球極坐標中的分量是證：電子的電流密度為V在球極坐標中為式中可、% 卻為單位矢量中的和8部分是實數(shù)。A = - 5Q(一而加非一加)£ = 一一竺”方帆“W f部2" sin 6prsnO可見，J ” = J e6 =。9如果算符原方滿足關系式胡-命=1,求證/-后=2/&肉_淞=3祉證：1 ap - p-a = （1 + Pa） - Pa胡3 _鏟& =（2/ + pa）p-滬&a

13、mp;10 證明：SQQ=i證：由對易關系伉伉.-3、a=2汶 及對易關系SQy + 慶仇=0 , 得 上式兩邊乘仇，得八 八 八八2八2 .7=1人 八 人- =i11證明公和z組成的正交歸一系。證:6"/"=%/2（5收）力 1/2（S2z） + %,2（S1z），1/2（S2z）=Zl/2（2z）Zl/2（2z）= 1=Zl/2（2z）Zl/2（lz）Z-l/2（,lz）Z-l/2（2z）=。=，%；2。及）工“式 SQ + 0 = 0同理可證其它的正交歸一關系。12對于無限深勢阱中運動的粒子（如圖所示）證明并證明當nT8時上述結果與經典結論一致。解寫出歸一化波函數(shù)：

14、%邛sin”（1）V a a先計算坐標平均值： 利用公式:r . r xcos px sin px小xsn pxdx = -+ ；(2)JP 1廠zB r】 xsin px cospx小得 xcos pxdx = - + (3)JP 1廠計算均方根值用(x - Q2 = 1 - (力1以知,可計算1利用公式 * cos pxdx =x2 sin px + -xcospxrsin px (5)P，P=-(6)12 2/儲在經典力學的一維無限深勢阱問題中,因粒子局限在(0. a)范圍中運動，各點的幾率密度看作相同，由于總幾率是1,幾率密度© = 1。 a故當 T 8時二者相一致。13設9

15、, =汕JS)是q的可微函數(shù)，證明下述各式：一維算符1(1)除2/(4)=2切'.(證明)根據(jù)題給的對易式及辰/9) = 0； 以 時(q)pl = ih(/q+pf)(證明)同前一論題" J(")p2 = 2血證明同前一題論據(jù)：(4)Ip，p2f(q)l = 2p2fi I證明根據(jù)題給對易式外，另外應用對易式(5) lp,pf(q)pl = pf'pI(證明)論據(jù)同(4)I（證明）論據(jù)同（4）：14設算符A, B與它們的對易式A, B都對易。證明（甲法）遞推法，對第一公式左方，先將原來兩項設法分裂成四項，分解出一個因式,再次分裂成六項，依次類推，可得待證式

16、右方，步驟如下：按題目假設重復運算n-1次以后，得15證明"房寸;）是厄密算符證明）本題的算符可以先行簡化，然后判定其性質是厄密算符，因此原來算符也是厄密的。另一方法是根據(jù)厄密算符的定義：用于積分最后一式：前式二說明題給的算符滿足厄密算符定義。16定義仄囪+三人與+而（反對易式）證明：其中6, 與4,2對易。人 A 人4 人人人 人人人人人人人人.人人人 人人人人人（證明）第一式等號右方=A8C + AC8 - 8C4 C8A + CA8 + C8A - AC8 CA8二第一式等號左方第二式等號右方=（ab + baAB - BA） +1 （ab - ba）（AB + BA）2 ,2

17、因 G , 與 4 ,啟對易，bA = Ab , ciB = Ba前式="益-笳”=aA.bB17證明力學量A （不顯含，）的平均值對時間的二次微商為：rr-A= -A,H,H(H 是哈密頓量)dr(解)根據(jù)力學量平均值的時間導數(shù)公式，若力學量4不顯含L有z/T 1 = -AH(1)dt訪將前式對時間求導，將等號右方看成為另一力學量】A"l的平均值,則有： in / A 11 人 人 A1 人 人 47 =式匕4"1，"= -尸4”,(2)dr ，方訪Tr此式遍乘方2即得待證式。18試證明：一維運動的束縛態(tài)都是不簡并的。證明：設心和心是對應于同一能級E的

18、不同本征態(tài)，則八6-，2%=常數(shù)。在特例下，令內心一力，1=0，即由此得： = C 2所以仍和憶描述同一個態(tài)。19證明泡利矩陣滿足關系b,b、q=i。/吟+吟?！?#176;證.V I4% - oq ="520試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況京為厄密算符，- 2幽dx2為厄密算符，,為實數(shù)'（X）為厄密算符二食=今+次為厄密算符21已知軌道角動量的兩個算符W和&共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為二，取 £±二工土4尸試證明：£士幾也是不和工共同本征函數(shù)，對應本征值分別為： *+1»2,戰(zhàn)士*證邛乂=。尸仁

19、刈二£±（£乜）二川+用也均。二£士七 是乎的對應本征值為1+1）的本征函數(shù),區(qū)幾是工的對應本征值為（清上仇的本征函數(shù)2222證明：描寫全同粒子體系的波函數(shù)的對稱性不隨時間改變證明：設，時刻波函數(shù)是對稱的，用、.表示，因為方是對稱的，所以血s在，時刻也是對稱的，由知，也在，時刻也是對稱的，故在下一時刻的態(tài)函數(shù)： dt+濁也是對稱的5 dt以此類推，波函數(shù)在以后任意時刻都是對稱的。同理可證，若某一時刻波函數(shù)反對稱，則以后任一時刻的波函數(shù)都是反對稱的。三、計算題1由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度:從所得結果說明也表示向外傳播的球面波，匕表示向內（即向原點）傳播

20、的球面波。在球坐標中 V = + e. -+ e ）-° or d vdO 9 rsnOd（pr與亍同向。表示向外傳播的球面波?？梢?，辦與尸反向。表示向內（即向原點）傳播的球面波。2 一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。解：U（x）與/無關，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程在各區(qū)域的具體形式為 2 j £I : XV。 一:：t%(x) + U(x)%(x) = E%(x)2m dx"方2 .2II : o < X < a 一二一=2m收 一 方2 d2III ： x>aC y/3(x) + U (x)3 (x) = E “3 (x)2m

21、 4尸由于（1）、（3）方程中，由于U（x） = 8,要等式成立，必須即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程可變?yōu)镴 V2(x)+ 2mEdx2rrq(x) =。令攵2=3得其解為U式工)=4sinkx+Bcoskx 4根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A, B,由連續(xù)性條件，得“2（°）=必（°）%()= %(")=3 = 0=Asin%4 = 0= Asin-x a由歸一化條件得 A2 f sin2，xdx = 1Jo a1 . m 兀.n 7i , a由 sinx * sin xdx = omnaa 22去2=En=三二2 ( = 123,)可見E是量子化的。2i

22、na對應于E”的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為3求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 ct-解：-2axe -2yJ7T令曾=0,得ax由叼(X)的表達式可知，x = 0,x = ±8時，CD(X)= 0 o顯然不是最大幾率的位置?？梢奨 = ±L = 土 區(qū)是所求幾率最大的位置。a iG -空-4 一維諧振子處在基態(tài)0%) =1方6 2 2 ,求：勢能的平均值；療/ ；(2)動能的平均值歹=?；24解：(1)U =HO)1 x2ea x dxQ)了 =57 = /匚或 T = E-U = -tico-Tico = -Tico 244(3) c(p)=J；(x)(x)"

23、x動量幾率分布函數(shù)為5家原子處在基態(tài)(幾&9)=二6-打。5%(1*的平均值;勢能一幺的平均值； r(3)最可幾半徑；(4)動能的平均值；(5)動量的幾率分布函數(shù)。解：尸=J J re2r：a r snOdrdOd(p加0(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內出現(xiàn)的幾率為人dco(r) 八八令=0, = 7, = 0, a =6, a = gdr當八=0, & =8時，0) = 0為幾率最小位置，= ”()是最可幾半徑。而二景:一獷V2=- 尸d工 d 13 . q d 1 d 1dr drsin 0 d0 d0siiv6 加一 c(p) = J必”(心a9)八動量幾率分布函數(shù)6設t=

24、。時，粒子的狀態(tài)為求此時粒子的平均動量和平均動能。解：y/(x) = Asin: x+yCosH) = A4(l -cos2x) + ycos/rx可見，動量p”的可能值為0 2kti -2kti kh -kh動能工的可能值為o 竺蘭 絲蘭姿 察222/對應的幾率必應為上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得A = 1/癡動量p的平均值為7設室原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力 學量的平均值。解：在此能量中，氫原子能量有確定值角動量平方有確定值為角動量Z分量的可能值為其相應的幾率分別為1_34 14其平均值為8試求算符尸=的本征函數(shù)。dx解

25、：F的本征方程為。=叱-叱"(戶是尸的本征值)9設波函數(shù)（x） = sinx,求（；）肝勿-口；=? dxax解：原式= （；岡ax dxdx dx10證明：如果算符3和方都是厄米的，那么（4 +G）也是厄米的| 必(A + B)i/2dr = J ；A if/ydr + J i/Bi/1drA + B也是厄米的。人 人A Aii 求 lr-pl=?人 人人 人人八一八八八解:lxpx-pxlx=（泡-zPy）Px-Px（yP：-卅）=012 求 L x-xL = ? L x - xL = ? Lx 一 £工=?解:Lxx-xLx=（yP, - zPy）x-x（yP.-羽）

26、=013求在動量表象中角動量L的矩陣元和心的矩陣元。I , 0 /» r .-/> /解：（4）源=（）"（）心一叫）6力dr 乙7m14求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。對角元：產 2. 2 mn f a= xsin xax =J。a a 2xl/n.2 產/ mn 、/ “九、j當時，m n xmn = (sinx) x (sin )axa J" aa15求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。解"=，力2+1寸=-弦4 +T2 &2 2 卜16求連續(xù)性方程的矩陣表示解：連續(xù)性方程為一 訪J =(質7 w * V7 獷

27、)-iTi而 V - J =V (四 w * V w)2Qcd人人ih = W*TW-班 *)寫成矩陣形式為17設一體系未受微擾作用時有兩個能級：Ji及&2,現(xiàn)在受到微擾育'的作用，微擾矩陣元為；)="；1=??；a、辦都是實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正 值。解：由微擾公式得得以)="=/,E：；=H%=b能量的二級修正值為18計算家原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。解：1=爺土匕 3方c由選擇定則£ = ±1,知2s- 1s是禁戒的故只需計算2f 1s的幾率而回=島+|)+履小2P有三個狀態(tài)，即%I。，憶u，匕一(1)先計算2的矩陣

28、元Z = rcosO(2)計算x的矩陣元x = rsindcosp = ：sin 6(e,<p +e,<p)(3)計算y的矩陣元y = rsin6sin0 = rsin 0el<p2i（4）計算/19求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則解:4一=除f 4 1 r k ,k + l二 x服=-I-A-i + q -A+i 1a V 2 V 2= "? = Z±1 時，xmk即選擇定則為zX/77 = m k = ±120 一維無限深勢阱（0vxv“）中的粒子受到微擾作用，試求基態(tài)能級的一級修正。解：基態(tài)波函數(shù)（零級近似）為能量一級修正為21求在自旋態(tài)4（

29、s。中，C*和的測不準關系：解：在6：表象中4（1）、然的矩陣表示分別為 一在4（1）態(tài)中討論：由6八6V的對易關系Sx, Sy = /<、1-2f 4要求畫了后了N9函不行=看 不 方在（冬）態(tài)中，sz=g«,）兇尸之" 1O可見式符合上式的要求。22求4=3（；：）及目當:小的本征值和所屬的本征函數(shù)。解：S的久期方程為人力1的本征值為±5。設對應于本征值！的本征函數(shù)為力/2 =八方由本征方程5xZI/2=Z1/2 ,得 乙由歸一化條件 Zi%Z1/2 = 1,得即2同-=1 對應于本征值）的本征函數(shù)為 石/2 =1./設對應于本征值-的本征函數(shù)為Zh/2

30、 = /23由本征方程 Z.1/2 =-yZ-i/2223J由歸一化條件，得對應于本征值-g的本征函數(shù)為7T/2 =E1 I同理可求得3的本征值為士1。其相應的本征函數(shù)分別為23求自旋角動量（cosa,cos/7.cos力方向的投影本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測量員有哪些可能值這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)巾的平均值是多少解：在無表象,卻的矩陣元為其相應的久期方程為即：A1 2 * 4 -3cos2 y- (cos2 c? +cos2 0) = 0所以*的本征值為土3。* / 設對應于S“= =的本征函數(shù)的矩陣表示為y(5“)=:,則21由歸一化條件，得 叩 |1 + cos/ /曰

31、， cosa + zcos/7 取 a = 7一；一 ，付 b= ；'2,2(1 +cosy)可見，6,的可能值為?- 2z22相應的幾率為1 + cos/ cos-R2(r)Y(0.(p)24設家的狀態(tài)是 =2 a + cos2 p _ 1 - cos/22(1 + cos/) 2同理可求得 對應于S“=-g的本征函數(shù)為在此態(tài)中,§.的可能值為44222相應的幾率為匕羅 22£的可能值為g22相應的幾率|G為|一 z 2 z 2 4 /425 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的 單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個它們的波函數(shù)怎樣

32、用單粒子波函數(shù)構成解：體系可能的狀態(tài)有4個。設兩個單粒子態(tài)為痣，打，則體系可能的狀態(tài)為26設體系處于9+C2y20態(tài),求(1)1的可能測值及其平均值。(2)戶的可能測值及相應的幾率。(3) lxJy,的可能測值。(解)(1)按照習慣的表示法 匕”(80表示角量子數(shù)為/,磁量子數(shù)m的，(產工)的 共同本征函數(shù)，題材給的狀態(tài)是一種產/的非本征態(tài)，在此態(tài)中去測量產/都只有不 確定，下面假定|q|2 +|c2|2 =1從河夕 9)= cJl +C2y20看出，當體系處在態(tài)時，。的測值方，處在態(tài)時，4的測值為零。在態(tài)中的平均值(2)又從波函數(shù)看出，/也可以有兩種值，體系處九態(tài)中時產測值為當體系處在態(tài)時/

33、2的測值為相應的幾率即表示該態(tài)的展開式項系數(shù)的復平方：|q|二的并態(tài)獷中的平均值（3）關于在獷態(tài)中L，。的可能測值可以從對稱性考慮來確定，當使用直角坐標表示算 符時，M L有輪換對稱性，由于在態(tài)中尸可有二種量子數(shù)，=1,2所以將4輪換 4的結果，知道。的可能測值只能是/ = 2方，方，0, 一方，一2方同理，4.的可能測值也是這此值/、. = 2力，方，0, h , 一2%27設粒子處在寬度為。的無限深勢阱中，求能量表象中粒子坐標和動量的矩陣表示。解一維無限深方勢阱的歸一化波函數(shù)是：這波函數(shù)是能量本征函數(shù)，任何力學量戶的矩陣元是：此公式用于坐標矩陣： 此式不適用于對角矩陣元，后者另行推導。當m

34、=n時，得對角矩陣元：動量矩陣元（非對角的）2 加 77r 產 m7IX n7tx ,/八7丁卜1n 丁爾丁小。(4)28粒子在二維無限深勢阱中運動，已知q°<x<a,0<y<«其他區(qū)域與出第一激發(fā)態(tài)的能級；問第一激發(fā)態(tài)的能級是否簡度，若是簡并，是幾重簡并 以下的線不知如何去掉 解：（1）二維無限深勢阱中運動的粒子，其能級為方2乃2?。?；+卬3.所以其基態(tài)能級為而第一激發(fā)態(tài)能級為耳2=石2（2）粒子的波函數(shù)為所以/20外1，第一激發(fā)態(tài)是二重簡并的。29求一維諧振子的坐標及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。提示：可利用公式：及旦=&G

35、+ 解：線性諧振子的能級為 I 2）/中 WW - ff vp 對應的能量本征函數(shù) R,L利用公式30質量為4的粒子在一維勢場q =j0,中運動。設狀態(tài)由波函數(shù)C 8, X<0, XXI描述。求（1）粒子能量的可能值及相應的幾率；（2）粒子的平均能量斤；（3）寫出 狀態(tài)在能量表象中的波函數(shù)。/1 4 . /71X2 /71X（1） =sin（一）cos （一）yJa a a而一維無限深勢場中的能量本征函數(shù)為七=A；-sin ,對應的本征值為E.=上工V。 a2pcr-2*2Q"2 為 2所以本題中，粒子的能量的可能值是用=，品="4，出現(xiàn)的幾率均為1/2。21M2n后

36、=+舞）=咨（也可由石1*X）觸求出）2 2f.ur *2pa（3）由（1）得，所以，在能量表象中,31設在在° （無微擾時的哈密頓算符）表象中，龍的矩陣表示為其中鷗53,試用微擾論求能級二級修正。解：在表象中，32求在狀態(tài)中算符3的本征值。解：J.y/ = （L.+S.）y/所以，算符人的本征值為33已知厄密算符4和后是二行二列矩陣，且W二密二1, AS+SA=O （1）求算符4©的 本征值，（2）在A表象下求算符4啟的矩陣表示。解：（1）4 二自2=1設4的本征值為工，本征函數(shù)為可，則J4T = AT學中=前乎=A2T又 A2 =1=A A二A2 = 1 A =

37、77;1同理算符的本征值也為土 1.（2）在A 式象，算符的矩陣為對角矩陣，對角元素為本征值，即1 0 5 = 0 %、L。- U 設 22>利用八A A CABBA = O:. Wai 0人為厄密算符b十二B0 % Jo 叫即I% 0 ） I瓦之。J ：. % =%fo研（。研=】又穿二1必1 。兒Z1。J.-.NJ =1 ?。喉?1二%34粒子在二維無限深方勢阱U= °，一:<"/一黑'：，請寫出能級和能量 S,具他區(qū)域本征函數(shù)；（2）加上微擾”=的，求最低能級的一級微擾修正。2去2解：無微擾時，E黑2= 土二（；+芯）2一（2）最低能級為基態(tài)能級片

38、基態(tài)非簡并，所以35試在3為對角的表象中,（1）求i的本征值和所屬的本征函數(shù)；（2）在£的本征 J）AA方八解：（1）設鼠的本征態(tài)及所屬的本征值為/= 1由此可得：A = ±1, a2=b2 乙由 K/ = l得:，/苗=1當 4 = 2 時'a = b=41' zrv2（i當行圈時，b=&,弋=四（一）和人則值為的本征態(tài)中，求S,的平均值；（3）在"的本征值為:的本征態(tài)中，測S'的可 能值及相應的幾率。(2) 1的本征值為-&的本征態(tài)為/ =-U| 2- V2 V-1/所以，Sy = z_ （3）將6,的本征值4= 兩邊相

39、等，得1-2 vz-+1-2g的本征態(tài)展開為:所以，當S時幾率同2=g當=J時幾率怛=: 乙乙36證明¥（x） = Aexp（-=）是方=-4 + /的一個本征函數(shù)并求出相應的本征值； 2dx-（2）求x在乎"）態(tài)中的平均值。觸=（-2+一）念力解：*即觸二W1中（劉是狂的本征函數(shù)。本征值為=1 37 一維諧振子在£二。時的歸一化波函數(shù)為所描寫的態(tài)中 K30）二，1%（力十殍乂工）十CmO）式中，爐式力是諧振子的能量 本征函數(shù)，求（1）q的數(shù)值；已）在態(tài)中能量的可能值,相應的概率及平均 值；（3） £>0時系統(tǒng)的波函數(shù)。0（兀°）二z I

40、 cj = 1解ND«, wG，0）歸.化，«,；+；+0二1 q 小(2)穌4當二2-5(3)£ >0時,爐式元i) = %SA '所以:底（工。=Z7/？/'=38已知體系的能量算符為,=2+必£十就心其中七0>>工:0, £為軌道的角動 量算符。視工項為微擾項，求能級至二級近似值。計算過程中可用公式：£ J勵,二,Q + 幽）。-幽+ 1）| /,幽-1）一 ： Jq_的）,十加+1），附+1）無°的精確解為本征函數(shù)本征能量£想二建+#+制啰按微擾論啥二伽值版）=油湫聞網(wǎng)=o利用r公式能量二級修正為在二級近似下% 與 +喏+球）39 l(x)>=-lul(x)>+C2lu2(x)>,求 g 的值 乙> =+1 C2 I2./ - 2十一解:由|子(幻 的歸一化條件得：l = <vP(x)lvP(x)所以，6=±；或02 = 40求在球諧函數(shù)幾”(8#)所描述的態(tài)中，力學量4和4的平均值。解：因為%=濟九所以,£=部/厚一也)立 人 人人 人人同理，LLfig另解：八人人人