1、統(tǒng)計(jì)量/（X，x）,x）是樣本x，X2,x的 不含任何未知數(shù)的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。由于正態(tài)總體是最常見(jiàn)的總體，因此這里主要討論 正態(tài)總體下的抽樣分布.由于這些抽樣分布的論證要用到較多的數(shù)學(xué)知識(shí),故在本節(jié)中，我們主要給出有關(guān)結(jié)論，以供應(yīng)用.U分布正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體XN（q2）.,X,J是X的一個(gè)樣本，則樣本均值服從正態(tài)分布1- -支 X. 一uTV (0,1)b/ yjn d 7n概率分布的分位數(shù)（分位點(diǎn)）定義 對(duì)總體X和給定的a （Ovavl）,若存在Ka，使尸Xa =a，則稱為X分布的上側(cè)a分位數(shù)或上側(cè)臨界值.如圖.y若存在數(shù)4、冬，使P玲兒=?XW4=

2、氣 則稱丸1、4為X分布的雙Pxxa =a側(cè)a分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.雙側(cè)a分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例當(dāng)X的分布關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，若存在Xa/2 ,使P|X|N%/2 = a，則稱Xa/2為*分布的雙側(cè)a分位數(shù)或雙側(cè)臨界值如圖.U分布的上側(cè)分位數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量UN(O,1)和給定a的，上側(cè)a分位數(shù)是由：pUu =+0J a 九即尸UV% =1一。(J =1一。確定的點(diǎn)a例如，00.05,而 尸UN1.645 =0.05所以，0.05 =1.645.U一分布的雙側(cè)分位數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量UN(0,1)和給定府, 稱滿足條件=a的點(diǎn) o/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)。分位數(shù)或雙側(cè)臨界值如圖.“a/2 a/2

3、 XW2 可由 F8o/2=a/2 即(a/2)=1-。/2 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到, 例如，求“0.05/2， Pt/1.96=0.05/2 得“0.05/2=L96標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，a常取0.1、0.05. 0.01.常用到下面幾個(gè)臨界值:“0.05 =L645，0.0i =2.326u 0.05/2=1 96， go 1/2=2 575數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所用的分布除正態(tài)分布外，還有 三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即力2分布t分布 數(shù)理跳計(jì)的三大分布（都先連續(xù)型）.F分布J etn都與正志分布有鑼切的賒系. 在本章中待別要求掌握對(duì)正態(tài)分布、力?分布、, 6布、方分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用

4、. etn是后面*節(jié)的基礎(chǔ).7分布定義 設(shè)總體XN（O,1），（七,丫2，丫）是X 的一個(gè)樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量/2 = X；+X； +X；服從自 由度為n的/分布，記作彳2彳2（九）自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，df=n/（）分布的密度函數(shù)為;! n/2-le-y/2 qy0/（y）= (n) = a/分布茨(附表5(尸175)X 2分布的上a分位數(shù)上a分位數(shù)或上側(cè)臨界值,滿足 P /() 短) = J；/G)dy = a 的數(shù)兄(氏72分布的 用)；其幾何意義見(jiàn)圖55所示._其中/G)是42分布的概率密度.O 顯然，在自由度取定以后，刀()的值只與a有關(guān).例如，當(dāng)=21, g0.05時(shí)，由附表5

5、(Pi75)可查得，%;05(21) =32.67 即 P 72(21) 32.67) = 0.05.x 2分布的雙側(cè)a分位數(shù)力2之(“=食分布的雙側(cè)a 分位數(shù)把滿足尸/ 亞/)=尸 的數(shù)力：2()，北(嬴為八*2N/(X)八或雙側(cè)臨界值.見(jiàn)圖.顯然，a比()為力2分布的上登分位數(shù).年)琮/)為分布的上1 -受分位數(shù)1-產(chǎn)2乙如當(dāng)=8, 30.05 時(shí)，2；_/）=點(diǎn)975（8） =2.18 4（）=Zo.O25（8）=17.54% 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)力2爐()，則后(/)=，D(2)=2n.% 2分布的可加性設(shè)片 /(%)，必72(%),且/：, 必相互獨(dú)立, 則 4； + / / I

6、 + %)性質(zhì) 設(shè)(占，2,，招)為取自正態(tài)總體XN(，a2)的樣本，則豆區(qū)-4)2a2/()證明由已知，有XiN(n，。2)且X, X2,，X相互獨(dú)立, 則 王二幺N(OJ)且各乙二幺相互獨(dú)立， 由定義5.3得，z22 Z(Xl)2xn).定理 設(shè)(占，X29，X)為來(lái)自正態(tài)總體XN。2)的樣本，貝IJ(1)樣本均值又與帶本方差名相互獨(dú)立；(2)(DS =山,(2)式的 自 護(hù)度為工么Jtn-1 ?從表面上看，X (Xj - X了是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量Xr X的平方和, 但實(shí)際上它們奉獨(dú)立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：X(x,K = Xx,iV=o這表明，當(dāng)齒斗個(gè)正態(tài)隨猶羞量中有M-1個(gè)取值給

7、定時(shí)，剩下 的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這項(xiàng)平方和中只有M-1 項(xiàng)是獨(dú)立的.所以(2)式的自由度是-1定理 設(shè)(X,瑪，鼠)為來(lái)自正態(tài)總體X8/，。2)的樣本，貝IJZ(X.-x)22Z2(-l)(1)樣本均值又與樣本方差g2相互獨(dú)立；M二CT與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較：性質(zhì)設(shè)(X1，X2,，X”)為取自正態(tài)總體XN(，b2)的樣本，則a2 z2()三、t分布設(shè)隨機(jī)變量XN(0, 1), y42()，且X與y相互 獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量7V n服從自由度為的1分布(Student)分布，記作T().分布的概率密度圖數(shù)為.) f2_nlf(t) = (1 + M 2，(一8 t 30時(shí)，分布與標(biāo)準(zhǔn)

8、正態(tài)分布N（0, 1）就非常接近.但對(duì)較小的值，分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間有較大差異.且口171/“因當(dāng),其中1），即在1分 布的尾部比在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部有著更大的概率.1分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補(bǔ)充）設(shè)T，()，則E(T)=0, Z(T)= n . (n 2) II 一乙定理 設(shè)（X，太2,，X）為來(lái)自正態(tài)總體XN亞 b2）的樣本，則統(tǒng)計(jì)量T =第 -1）（5.9）證由于XkS2相互獨(dú)立，且u=與* N（0,D,（*?S 22d）a/y/na由定義得定理設(shè)(品，xp和(匕，丫2,，42)分 別是來(lái)自正態(tài)總體M1，O2)和M2,/)的樣本，且 它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量T = X-F二四二 (% +

9、%-2)(5.10)S /I“V % 2M + 2s；、s；分別為兩總體的樣本方差.t分布的上a分位數(shù)對(duì)于給定的a(Ovavl),稱滿足條件PTta(n) = QfW = a的數(shù)S( )為分布的上a分位數(shù)或上側(cè)臨界值,其幾何意義見(jiàn)圖.t分布的雙側(cè)a分位數(shù)由于分布的對(duì)稱性，稱滿足條件p|r|ra/2（n） = a （5.12）的數(shù)2（ ）為t分布的雙側(cè)a分位數(shù)或雙側(cè)臨界值，其幾何意義如圖所示.一%2（） %2（）在附表4 （尸174）中給出了1分布的臨界值表.例如，當(dāng)=15,。=0.05時(shí)，查分布表得，o.O5（15）=L753o.o5/2（15）= 2.131其中%,05/2（15）由尸，（1

10、5）30.025（15）=0.025查得但當(dāng)45時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替分布查匕（H）的值.即 Za（w）-wa, n45.一般的1分布臨界值表中，詳列至二30,當(dāng) 30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）來(lái)近似.八F分布定義 設(shè)隨機(jī)變量x2（1）、yz2（H2）,且 與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量FY/n2服從第一自由度為 1，第二自由度為2的尸分布，概率密度函數(shù)22 , yNO j 0記作F-F(nv %)(A?-明 n.、 f(y) = Ay (1 + 7Ty) o, 2其小不限其圖形見(jiàn)圖5-性質(zhì)：若X/（1，n2）,則土b（2，%1）.產(chǎn)分布的上a分位數(shù)對(duì)于給定的a（Ovavl）

11、,稱滿足條件P b（/,2）之戶a（l，2） = J： ）fWy = OC的數(shù)方a（l，2）為方分布的上。分位數(shù)或上側(cè)臨界值，幾（1，2）工其幾何意義如圖57所示. 心）八 其電母）是歹分布的概率密度.OF分布的上a分位數(shù)Fa（n 2）的值可由方分布表查得.附表6（尸 177尸 182）分 a=0l、a=005、a=0.01 a=0.025、a=0.005、a=0.001、給出 了方分布的上 a分位數(shù).杳表時(shí)應(yīng)先找到相應(yīng)的a值的表.當(dāng)時(shí)尸2, “2=18時(shí)，有歹0.01（2,18）= 6.01在附表6中所列的a值都比較小，當(dāng)a較大時(shí)，可用下面公式 丹_/%,2）=例如，尸0.99（18,2）=五0。（2,18） = O1F分布的雙側(cè)a分位數(shù)鄴滿足條件P 尸 V 尸 1_號(hào)（1，2）尸之喔（1，2）=食或雙側(cè)臨界值.見(jiàn)圖. 顯然，/(y)t a/2的a（%，乙），戶0（1，2次方分布的雙側(cè)a分位數(shù)，-22,（42）為方分