1、小升初奧數(shù)百雞問(wèn)題解題指導(dǎo)及例題解析張丘建算經(jīng)中有這樣一題：公雞每只值 5文錢(qián)，母 雞每只值3文錢(qián)，小雞每3只值1文錢(qián)?，F(xiàn)在用100文錢(qián)買(mǎi) 100只雞，公雞、母雞、小雞各有多少只 ？這是中國(guó)古代算術(shù)中的一類(lèi)典型問(wèn)題百雞問(wèn)題，現(xiàn)代數(shù)學(xué)用不定方程求解，在小學(xué)階段，不少同學(xué)都是用拼湊 的辦法來(lái)解決。這里介紹一種新方法，對(duì)小學(xué)生很適用。1、 求倍數(shù)。每只公雞值5文錢(qián)，每只母雞值 3文錢(qián)， 每只小雞值1/3文錢(qián)。以最便宜的小雞為標(biāo)準(zhǔn)，公雞和母雞 的價(jià)格分別是小雞的 5- 1/3=15倍和3- 1/3=9倍。2、算超額。假設(shè)100文錢(qián)全部買(mǎi)小雞，可買(mǎi)100 + 1/3=300只，超出實(shí)有三種雞總數(shù)300-

2、100=200只。3、組等式。由于公雞置換成小雞可多出自身只數(shù)的15-1=14倍，母雞置換成小雞可多出自身只數(shù)的9-仁8倍。不難理解，上述假設(shè)中多出的200只即為公雞和母雞置換成小雞后一共增加的只數(shù)，關(guān)系式為：公雞只數(shù)X14+母雞只數(shù)X 8=200.4、試結(jié)果。一般來(lái)說(shuō)，不定方程的正整數(shù)解按關(guān)系式就可以觀察得到。我們也可以先把等式變形，觀察起來(lái)更為 容易。方法是，在等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），得到等式右邊為整數(shù)，左邊只有一項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式。在上式兩邊同時(shí)除以 8,得到：公雞只數(shù)X 7/4+母雞只 數(shù)=25.顯然，公雞只數(shù)必須是 4的倍數(shù)。這樣，從“ 4”起， 依次用4的倍數(shù)去試算

3、，可以得出三種情況：公雞 4只，母 雞18只，小雞78只;或公雞8只，母雞11只，小雞81只; 或公雞12只，母雞4只，小雞84只。下面再舉一例來(lái)驗(yàn)證。大數(shù)學(xué)家歐拉曾提出過(guò)這樣的問(wèn)題：一頭豬321(312)銀幣，一只山羊131(113)銀幣，一只綿羊 21(1/2)銀幣。有 人用100個(gè)銀幣，買(mǎi)了 100頭牲畜。問(wèn)：豬、山羊、綿羊各 多少？豬的單價(jià)是綿羊的 312- 1/2=7倍，山羊的單價(jià)是綿羊 的113+ 1/2=223倍，豬和山羊分別置換成綿羊，可多出自 身只數(shù)的7-1=6倍和223-仁123倍。如果100個(gè)銀幣都買(mǎi)綿 羊，可買(mǎi)100 + 1/2=200只，超出實(shí)有牲畜頭數(shù) 200-10

4、0=100 頭，這100頭就是豬和山羊換成綿羊后多出的頭數(shù)，列式： 豬X 6+山羊X 123=100.顯然，山羊的只數(shù)應(yīng)是“3”的倍數(shù)， 可以推算得到：豬15頭，山羊6只，綿羊79只;或豬10頭， 山羊24只，綿羊66只；或豬5頭，山羊42只，綿羊53只。上述解法，我們可以用代數(shù)知識(shí)來(lái)幫助分析。在第一題里，設(shè)公雞、母雞、小雞分別有X、丫、Z只，列出兩個(gè)方程(方程組)X+Y+Z=100 5X+3Y+13Z=100，將方程乘以 3,就是15X+9Y+Z=30Q 與方程相減（消去Z），得出14X+8丫=200,兩邊同時(shí)除以8, 就是74X+Y=25.顯然X只能是4的倍數(shù)，依次試算，就能得 到與前面相同的答案來(lái)。這樣一來(lái)，我們就會(huì)明白，所謂的“新法”，其實(shí)也并不新鮮，不過(guò)就是先用“消元法”把“三元”不定方程組演 變成一個(gè)“二元”不定方程，然后有意識(shí)地將這個(gè)方程的某 一個(gè)求知數(shù)的系數(shù)變成分?jǐn)?shù)形式，便于觀察這個(gè)未知數(shù)