1、專題四第一講1. （2017 唐山模擬）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 $，若Si= 22,則a3+a?+a*=導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134475 ( D )A. 18C. 9解析本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.+ 2d+a1+ 6d+a1+ 7d= 3(a1+ 5d) = 6，故選 D.2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S.若S= 3,S = 15,則S= 導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134476 （ C ）A. 31B. 32C. 63D. 64解析解法一：由條件知:an0，且a1+a2=3,a1+q= 3,1a1+a2+a3+a4=15,a11+ q+q2+q3= 15,- q=2.1-2-a1= 1,S6

2、= 63 .1 2解法二：由題意知，S2,S4S2,SS4成等比數(shù)列，即（Ss）2=S（SS4），即 122=3（S 15）, S6= 63 .13 . （2017 山西四校聯(lián)考）已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1,-a3,2a2成等差十空+a10數(shù)列，則a7+a8=導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134477(C )A. 1 +邊B. 1-邊C. 3 +2逗D. 3 2 花解析本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列.1 1課后強(qiáng)化訓(xùn)練B. 12D. 6由題意得Sn = a1+an211為+10d2=22，即a1+ 5d= 2,所以a3+a7+a8=a12/ a1,歹3,2a2成等差數(shù)列， 尹3乂 2=a1+ 2a

3、2,即a1q2=a+ 2 眄，二q2= 1 + 2q,解得q= 1 + . 2 或q= 1 2（舍）,3a9+aioaiq8 +q a7+a807+q4.已知數(shù)列an滿足 3an+1+an= 0,a2= 3，則an的前 10 項(xiàng)和等于|導(dǎo)學(xué)號(hào) 5213447831-(C )A.- 6(1 310)C. 3(1 310)14解題提示由已知可得，數(shù)列an是以一-為公比的等比數(shù)列， 結(jié)合已知a2= 玄可求33a,然后代入等比數(shù)列的求和公式可求.解析因?yàn)?3an+1+an= 0,Sb+1所以=an1所以數(shù)列an是以一3為公比的等比數(shù)列.34因?yàn)?a2= -，所以 a = 4,由等比數(shù)列的求和公式可得,

4、11041 -S0=-1- = 3(1 310).1+-則-+-的最小值為 導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134479 (q2= (1 + 2)2= 3 + 2 2.110B.9(1 3 )D. 3(1 + 310)5.正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：as=a2+ 2a1,右存在am,an,使得2 *am -an= 16a1,m n N ,4A.B.16C.114D.解析c n 1a12設(shè)數(shù)列an的公比為q,22小n+ n 2,aman= 16a1?a12a3=a2+ 2a1?q=q+ 2?q= 1(舍)或q= 2,.an: =16a1?m+n= 6,vm nN*，二(m n)可取的數(shù)值組合為(1,5)1911,(2,4

5、) , (3,3) , (4,2) , (5,1)，計(jì)算可得，當(dāng)m= 2,n= 4 時(shí)，市齊取最小值 匚已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，若a2,as,a?成等比數(shù)列，且 2a1+a2= 1,則2 -a1= _3_,d= 1 .導(dǎo)學(xué)號(hào) 5213448032解析由題可得(a1+ 2d) = (a1+d)(a1+ 6d)，故有 3a + 2d= 0，又因?yàn)?2a1+a2= 1,52即 3ai+d= 1,聯(lián)立可得d= 1,ai= 3.37.已知an為等差數(shù)列，ai+a3+a5= 105,a?+a4+a6= 99,以S表示an的前n項(xiàng)和,則使得$達(dá)到最大值的n是_20_. I 導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134481

6、解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3= 35,a4= 33，故d= 2,an= 35 + (n 3)x( 2)=41 2n,易知數(shù)列前 20 項(xiàng)大于 0，從第 21 項(xiàng)起為負(fù)項(xiàng)，故使得 $達(dá)到最大值的n是 20.8.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且S= 4anp(nN)，其中p是不為零的常數(shù).|導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134482(1) 證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2) 當(dāng)p= 3 時(shí)，若數(shù)列b滿足bn+1=an+bn(n N), b= 2,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.解析證明：因?yàn)?S= 4anp(n N*),貝U S1= 4an 1p(n N*,n2),所以當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn 1= 4dn 4Sn1,4整理得an

7、= 3an1.3p由Sn= 4anp,令n= 1,得a= 4a1p,解得a= .3p4所以an是首項(xiàng)為 3，公比為 3 的等比數(shù)列.4n,因?yàn)閍1= 1，則an= (-)1,3當(dāng)n2時(shí)，由累加法得bn= b+ (b2b1)+ (b3b2)+ + (bnbn 1)n 14=34n,當(dāng)n= 1 時(shí)，上式也成立.bn= 3 ( 3) 1.39.(文)(2017 蚌埠質(zhì)檢)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a3=3,S3=9. | 導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134483(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；由bn +1=an+bn( Pl= 1,2 ,)，得bn+ 1bn=(耳n 1634(2) 設(shè)bn=

8、 log2,且bn為遞增數(shù)列，若 6=，求證：C1+C2+C3+Cn1 .a2n+ 3bnbn+ 17解析(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q, 1 1則根據(jù)題意有 3 (1 +q+了) = 9,從而 2q2q 1 = 0,1解得q= 1 或q= 2 -當(dāng)q= 1 時(shí)，an= 3;1 1當(dāng)q= 2時(shí),an= 3 (2)n3.證明：若an= 3,則bn= 0，與題意不符,1故an= 3( 23,12n此時(shí)a2n+ 3= 3 ( 2), bn=2n,符合題意.4Cn=22n+21=Mn+ 1_ 1 1n n+ 1，1從而 * C2+C+Tcn=1市4?2n + 22n + 12n + 2解析(1)y= (

9、x+1) = (2n+ 2)x，曲線y=x+1 在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為 2n+2,從而切線方程為y 2= (2n+ 2)(x 1).令y= 0,解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(2)證明：由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果知2 2 2Ti=X1X3x2n 1=Xn= 1 1n+ 1nn+1.81當(dāng)n= 1 時(shí)，Ti= 4；當(dāng)n2時(shí),S69 所以S4=4$,S= 9S2,=-.S442.（文）設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前S6n項(xiàng)和，且4a3ae= 0，則導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134486A. 5B. 3C. 3D. 5解析25/ 4a3as=0, 4ag=ag ,Ta1*0,qz0,1 qa13L q1 q61q .

10、3_3= 1 +q= 5 .1 q =3Ssq=4,-S；=a11q6（理）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,已知SB= a2+ 10ai,a5= 9，則ai=1B3導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134487因?yàn)閄2n 1=22n-12廠2?n 1 2n 2n 12n2n n所以Tn 22XfX2n-1 12 3n4n，綜上可得，對(duì)任意的nN,均有Tn/ .1 .已知S為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S= 1,S4=4,則冒的值為D. 4導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134485解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S4-S6-S4成等差數(shù)列，由S4S4S2S2=4得飛廠=3，910D.解析S3=82+ 10ai，ai+82+a3=32+ 10ai,2

11、283= 9ai=aiqq= 9,又85= 9,9=83q= 983,.83= 1 ,又83= 981,故81= 9.3. (2017 鎮(zhèn)江模擬)已知公差不等于 0 的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,如果$=21,87是81與85的等比中項(xiàng)，那么在數(shù)列nan中，數(shù)值最小的項(xiàng)是 導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134488 ( B )A.第 4 項(xiàng)C.第 2 項(xiàng)解析 設(shè)等差數(shù)列8n的公差為d,則由S3=81+82+83= 382= 21 ,得82= 7,又2 2由87是81與85的等比中項(xiàng)，得87=8185,即(82+ 5d) = (82d)(82+ 3d),將82= 7 代入,23*結(jié)合 0,解得d= 2,貝Un8n

12、=n82+ (n 2)d = 2n 11n,對(duì)稱軸方程n=氣，又n N ,結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)n= 3 時(shí)，na 取最小值，即在數(shù)列 5 列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng).2 *4. (2017 南昌二模)數(shù)列8n的前n項(xiàng)和Sn= 2n3n(n N)，若pq= 5,貝U8P8q=導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134489 ( D )A. 10C. 5D. 2022解析 當(dāng)n2時(shí)，8n=SnSn 1= 2n 3n 2(n 1) + 3n 3 = 4n 5,81=S= 1 適合上式，所以8n= 4n 5,所以8p8q= 4(pq)，因?yàn)閜q= 5,所以8p8q= 20.5. (2017 吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))設(shè)數(shù)列8n的前

13、n和為Sn,且81=82= 1, nS+ (n+ 2)8n為等差數(shù)列，則8n=導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134490(A )nn+ 1A,n1B小 n 1.2 + 12n 1n+ 1C. 2n 1D. gn*1解析 設(shè)bn=nS+ (n+ 2)8n，則b1= 4,b2= 8,bn為等差數(shù)列，所以bn= 4n,即nS+(n+ 2)8n= 4n,2S+ (1 +_)8n= 4 .c.B.第 3 項(xiàng)D.第 1 項(xiàng)B. 1511n22丿n+ n+當(dāng)n2時(shí)，SS-1+ (1 +_)8n (1 +)8n- 1= 0 ,所以8n=8n-1,即nnvnn1a a ia1a1al2=n-，又因?yàn)?=1，所以J 是首項(xiàng)為 1，

14、公比為專的等比數(shù)列，所以-=(1)n1(n nn1 1n2n2*n* N) ,an=尹(n N).故選 A.6.(2017 沈陽質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且a1= 1,禺+1= 2S+3,貝US=66. I 導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134491解析本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和.依題an= 2S-1+ 3(n2)，與原式作差得，an+1an= 2an,n2,即卩an+1= 3an,n2,3可見，數(shù)列an從第二項(xiàng)起是公比為3 的等比數(shù)列，32= 5，所以S4= 1 +13 = 66.7.若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a11+a9a12= 2e,則 lna1+ lna2+ lna2o=50.I導(dǎo)

15、學(xué)號(hào) 52134492解析-a10an+a9a12= 2e，a1a20=e.又.Tna1+ lna2+ Ina20= ln( aa?a?。)=ln(a1a20)(a2a19)(a10an)=ln(e) = lne= 50.注意等比數(shù)列性質(zhì)：若m+n=p+q,貝Uam -an=apaq,對(duì)數(shù)的性質(zhì) logad=nlogam&設(shè)數(shù)列an(n= 1,2,3，)的前n項(xiàng)和 S 滿足$= 2ana1,且a1,a2+ 1,a3成等差數(shù)列.|導(dǎo)學(xué)號(hào) 52134493(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；記數(shù)列1的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn 1|1000 成立的n的最小值.解析(1)由已知 Si = 2ana1,有an=SS-1= 2an 2an- 1(n2),即an= 2an 1(n2).從而a2= 2a