1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2.5拉氏變換與反變換機(jī)電限制工程所涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題較多,經(jīng)常要解算一些線性微分方程.根據(jù)一般方法解算比擬麻煩,如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程,可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,又能夠單獨(dú)地說(shuō)明初始條件的影響,并有變換表可查找,因而是一種較為簡(jiǎn)便的工程數(shù)學(xué)方法.2.5.12.5.1拉普拉斯變換的定義如果有一個(gè)以時(shí)間t為自變量的實(shí)變函數(shù)f),它的定義域是t20,那么f(t)的拉普拉斯變換定義為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換,它是一個(gè)復(fù)變函數(shù),通常也稱F(s)為f(t)的象函數(shù),而稱f(t)為F(s)的原函數(shù)；L是表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號(hào).式(2.10)說(shuō)明：拉氏變換是這樣一種

2、變換,即在一定條件下,它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(s)2.5.22.5.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換1 1.單位階躍函數(shù)1的拉氏變換單位階躍函數(shù)是機(jī)電限制中最常用的典型輸入信號(hào)之一,常以它作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入,這一函數(shù)定義為(t:二0)(t-0)單位階躍函數(shù)如圖2.7所示,它表示在t=0時(shí)刻忽然作用于系統(tǒng)一個(gè)幅值為的不變量.單位階躍函數(shù)的拉氏變換式為二一.1一,=01(t)edt=-e當(dāng)Re(s)0,那么timet0所以文案大全式中,s是復(fù)變數(shù),63 均為實(shí)數(shù)),Fs=Lftft尸dt(2.10)乎_st06稱為拉普拉斯積分；F(s)是F(s)=L1(

3、t)2 2.指數(shù)函數(shù),=丁的拉氏變換指數(shù)函數(shù)也是限制理論中經(jīng)常用到的函數(shù),其中白是常數(shù).F二4=也他=+1那么與求單位階躍函數(shù)同理,就可求得3 3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換設(shè)工二就血,我=Zfsin制=J.5m比#-山由歐拉公式,有實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔L1#0嚇-(TT(2.11(2.12)所以圖2.72.7單位階躍函數(shù)文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔=11esa囪產(chǎn)1/枇*2js-jo0s+j切AfAA1110一八-,一2,22js-js+j./s+0同理/T4.單位脈沖函數(shù)不的拉氏變換單位脈沖函數(shù)是在持續(xù)時(shí)間式一.期間幅值為71一作用時(shí)間的乘積等于1,即色.如圖2,8所示.圖2.82.8單位脈沖函數(shù)單位脈

4、沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為fof?許山?E用力1f1llim-ftZTzQg其拉氏變換式為Ak二川硝二呼,產(chǎn)出= =limlimee-5f-5fdZdZ此處由于時(shí),下力二,故積分限變?yōu)門?.2.13.13二.,mw2.14一十療的矩形波.其幅值和)tdt-0eJsj)t文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔5 5.單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù),又稱單位斜坡函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為單位速度函數(shù)的拉氏變換式為J J.利用分部積分法翼=/Vr-j令L-u,e e-5-5-lv-0時(shí)吧LT.,那么T；其拉氏變換式為2.5.32.5.3拉氏變換的主要定理根據(jù)拉氏變換定義或查表能對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反變換,一般的函數(shù)

5、可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化1 1.疊加定理拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性1齊次性設(shè)山二雄,那么工匠|(2.18)式中白一一常數(shù)文案大全(2.16)6 6.單位加速度函數(shù)的拉氏變換單位加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為0Q0)(2.17)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2疊加性設(shè)必0=耳,%=用,那么4/向十人二瓦十以2.19兩者結(jié)合起來(lái),就有式班僅十班二陰+此這說(shuō)明拉氏變換是線性變換.2 2彳散分定理設(shè)匚：一那么心一-二短_0式中丁0函數(shù)/在.二口時(shí)刻的值,即初始值.同樣,可得川的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換是2.20山-j-一上年=*-9了一歹一/IL=/尸-產(chǎn)/-產(chǎn)/,/T由I-式中尸,原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在二口時(shí)刻的值.如果函數(shù)/切及其

6、各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零稱為零初始條件,那么,力各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為必“:4r9F山隴卜產(chǎn)2.21J3 3.復(fù)微分定理假設(shè),力可以進(jìn)行拉氏變換,那么除了在網(wǎng)占的極點(diǎn)以外,文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔*dLtft1=-Fsds(2.22)式中,【-二二Lt2ft噂Fs上|了也卜!占同+SS(2.24)式中 _積分當(dāng)初始條件為零時(shí),對(duì)多重積分是JT/=二尸+/一5+工廠飛0M2.26當(dāng)初始條件為零時(shí),那么iJ-J電了=1尸IfL*2.275 5.延遲定理設(shè)4/卜不,且二二+三廣十331550)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔4=尸4=F(5)(5-3)U二二式后一4+2E134=30+2)L=ss4-2(s+2)-3)(3田斤

7、二即得尸=3十蛤*一十十聲也*+4&十十4帛4巧+汽54%g+凡網(wǎng).S+Pi0+%f嚼3 3一品/產(chǎn)+A.+尹/6+聲.6+為HP30+外)0+%)日+%_尸($)0+小)g+pja=5+A.(2.39)F=例2.2二一為,試求其局部分式.文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：由于FG=,中三口2.4.含有一對(duì)共腕復(fù)數(shù)極點(diǎn)=-眄+色和一個(gè)極點(diǎn)色=.,故可將式2.40因式分解成以下求系數(shù)4、4和用由式2.40和式2.41相等,有組4占+J4a卜當(dāng)次+效+J0依一叫N,+/+網(wǎng) r/-2.42用0+依+.陶-/乘以上式兩邊,并令s=-彝- ,得到理-十/545ret-ifiaa.一鞏-1%=4-碗加+4

8、一依一,上式可進(jìn)一步寫成-,%+J熊=-A網(wǎng)+4-謁%/網(wǎng)二一4網(wǎng)-4由上式兩邊實(shí)部和虛局部別相等,可得工聯(lián)立以上兩式,可求得A=-1馮二一2獨(dú)為了求出系數(shù)勺用s乘方程2.42兩邊,并令,將內(nèi)=胃1“代入,A1-=1得】JJ一；將所求得的&,&,豈值代入2.41,并整理后得尸的局部分式-To穌8+g+助9+獨(dú)一應(yīng)1s+強(qiáng)眄ss+他y+口；仁+:融產(chǎn)+說(shuō)文案大全尸二.盧寧&卜4(2.41)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔查拉氏變換表使得廠仍,結(jié)果見(jiàn)式3.16.尸二例2.3S+1式/+1求,.解：將的分母因式分解,得、占十144s+昌戶=-=+-,布、S1士什1式占+一+一8+一一一22224

9、二:41-=1十S+DLflJ411工二4二-)十均1.73122122利用方程兩邊實(shí)部、虛局部別相等得373三3-4)三-三解得$=_A=o所以5411S式/+ff+1)ST+E+1這種形式再作適當(dāng)變換:文案大全+1ff(sa+4-1)+71)5 5二%=卜卜十巧了卜伊-1)1LLJJ那么/=廠同加=冷丁+言舊】+-+4,廣陽(yáng)+A+RTQ+4廠Q三0)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔查拉氏變換表得亦*上+在5九(： 0)4 4戶局中含有重極點(diǎn)的拉氏反變換設(shè)七)=.有r個(gè)重根,那么尸=屁sw+/+,+1后+3.Ul1 1史XSn!(s+PoT(+7+1)-值-尸出)將上式展開(kāi)成局部分式尸=4i_匹3 3(s+pj

10、(s+pjT(s+pj(s+pjTA-%(2.43)式中,A-1,兒的求法與單實(shí)數(shù)極點(diǎn)情況下相同.公,加,出的求法如下：4n=忸1)值+小丫&二檢入心+川匚(2.44)例2.4解：文案大全,試求的局部分式含有2個(gè)重極點(diǎn),可將式2.45的分母因式分解得以下求系數(shù)4、人和且iLi將所求得的4工、3值代入式2.46,即得行的局部分式-(3+2)+1查拉氏變換表,得文案大全(2.46)4141- -sg+q)=一%Au(b)(s+2)2-2-F3瑛=-1一2十1+3期一磯占+2七十1心+2_值-3)k)k+3)(s+l)：=-2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔(2.45)擊苜呂十罐F=例2.5求+3s+2%s+l

11、的拉氏反變換.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔(t+ +2t2tr r(jf(jf Cl)Cl)5 5.用MATLABMATLAB展開(kāi)局部分式(1)(1)概述MATLA是美國(guó)MathWorks公司的軟件產(chǎn)品,是一個(gè)高級(jí)的數(shù)值分析、處理與計(jì)算的軟件,其強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算水平和完美的圖形可視化功能,使得它成為國(guó)際控制界應(yīng)用最廣的首選計(jì)算機(jī)工具.SIMULINK是基于模型化圖形的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真軟件,是MATLAB勺一個(gè)工具箱,它使系統(tǒng)分析進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段,它不需要過(guò)多地了解數(shù)值問(wèn)題,而是側(cè)重于系統(tǒng)的建模、 分析與設(shè)計(jì).具良好的人機(jī)界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和工程界所采用.(2)(2)用MATLABMATLAB進(jìn)行

12、局部分式展開(kāi)MATLAEW一個(gè)命令用于求B(s)/A(s)的局部分式展開(kāi)式.設(shè)s的有理分式為以 G_陽(yáng)+可+二十勾一工(0一屋4%十-14一十小式中題(i=L/)和(j=L2/)的某些值可能為零.在MATLAB勺行向量中,num和den分別表示F(s)分子和分母的系數(shù),即num=-den=1：命令r,p,k=residue(num,den)MATLAB!按下式給出F(s)局部分式展開(kāi)式中的留數(shù)、極點(diǎn)和余項(xiàng)：r(l)r(2)r(/i)(s)=+L+把(硝s-p(J)S-p(2)F-P上式與式(2.37)比擬,顯然有p(1)=-p1,p(2)=-p2,p(n)=-pn；r(1)=A,r(2)=A,

13、r(n尸A;k(s)是余項(xiàng).例2.6試求以下函數(shù)的局部分式展開(kāi)式、54+lk3+39s2+52S+26尹=-32S4+10?-h35s2+50s+24解：對(duì)此函數(shù)有num=111395226den=110355024命令r,p,k=residue(num,den)于是得到以下結(jié)果r,p,k=residue(num,den)r=1.0000文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2.5000-3.00000.5000P=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1J+1得+39/+52+2&12.5-30.50.5. .F二工,T=+1/+101+351+50s+24+4二+3s+2s+1

14、如果F(s)中含重極點(diǎn),那么局部分式展開(kāi)式將包括以下諸項(xiàng)P)r(j+l)-U+T)s-產(chǎn)MrCOF式中,P(j)為一個(gè)q重極點(diǎn).例2.7試將以下函數(shù)展開(kāi)成局部分式八s2+6+4-F6?=-7R-=15解：對(duì)于該函數(shù)有num=0146den=1331命令r,p,k=residue(num,den)將得到如下結(jié)果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000P=-1.0000-1.0000-1.0000k=所以可得蘇+也+612331+1),&+1+(5+1?+值+爐注意,本例的余項(xiàng)k為零.文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2.2.5.5.5應(yīng)用拉氏變換解線性微分

15、方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程時(shí),采用以下步驟：(1)對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換,使微分方程變?yōu)?2)解代數(shù)方程,得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；(3)用拉氏反變換得到微分方程的時(shí)域解.整個(gè)求解過(guò)程如圖2.12所示.2.8設(shè)系統(tǒng)微分方程為學(xué)1十5竽十出of假設(shè)瓦=電,初始條件分別為其、/,試求小O解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換照-喉6%創(chuàng)=6w利用迭加定理將上式逐項(xiàng)相加,即得方程左邊的拉氏變換竽+5誓+6%卜守+X+$比-他+必+刎對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換夕+5審+6乂-區(qū)+5反(.+K升陽(yáng)J;今聽(tīng)幽寫成一般形式4=金耳+翡應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出4=1+5總+6=0是微分方程的特征方程,也是該系統(tǒng)的特征方程.利用局部分式將工1)展開(kāi)為v=1