1、第一講 實(shí)數(shù)一、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念：1.實(shí)數(shù)的分類(lèi)：2. 偶數(shù)： 奇數(shù)：3. 相反數(shù) 只有符號(hào)不相同的兩個(gè)數(shù)（“0”的相反數(shù)是“0”）表示：表示一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，就是在這個(gè)數(shù)的前面加“”號(hào)如：aa；ab（ab）=ba性質(zhì)特征：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，和為零。4. 倒數(shù)乘積為“1”的兩個(gè)數(shù)（“0”沒(méi)有倒數(shù)）表示：a特征：互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為“1” （若a與b互為倒數(shù)，則ab=1）5. 絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等)a=a；ab=baa= 6.平方根、算術(shù)平方根、立方根：(1) 一個(gè)正數(shù)的平方等于,即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根.(記作).(2) 一個(gè)數(shù)的平方

2、等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根.(3) 正數(shù)有兩個(gè)平方根（±），它們互為相反數(shù)；其中正的平方根（ 0）是它的算術(shù)平方根.(4) “0”的平方根只有一個(gè)，就是“0”;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.(5)完全平方數(shù)平方根是整數(shù)的數(shù)如：0，1，4，9，16，(6)立方根（）,正數(shù)的立方根是正數(shù); “0”的立方根是“0”;負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)二、數(shù)軸:1.數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度2.數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng);任意一個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上都有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng),但數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)不一定有一個(gè)有理數(shù)與之對(duì)應(yīng).(無(wú)理數(shù)點(diǎn))三、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及有效數(shù)字：1科學(xué)記數(shù)法： 精確度：（1）保留幾位有效數(shù)字 ；（2）精

3、確到那一位2近似數(shù)：用四舍五入精確到某一位的數(shù)3有效數(shù)字：四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：1.實(shí)數(shù)運(yùn)算法則：2.實(shí)數(shù)大小的比較利用數(shù)軸進(jìn)行比較；作差法；作商法；平方法. 3.除法 4.乘方 典型例題一例01下面命題中，正確的是（ ）A不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)B有絕對(duì)值最大的數(shù)，也有絕對(duì)值最小的數(shù)C任何實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)D無(wú)理數(shù)一定是無(wú)限小數(shù)分析 圓周率是不帶根號(hào)的數(shù)，但它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以它是無(wú)理數(shù)，可見(jiàn)命題A不正確. 實(shí)際上，可以寫(xiě)出很多不帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)，如0.101001000100001就是一個(gè)無(wú)理數(shù)；不存在最大的正數(shù)（對(duì)任何正數(shù)a，都不如大），導(dǎo)致不存在絕對(duì)值最大的數(shù)，所以B是假命題；實(shí)數(shù)0的絕

4、對(duì)值不是正數(shù)，可見(jiàn)命題C也不正確. 解答 D說(shuō)明 考查實(shí)數(shù)的意義. 典型例題二例02下列說(shuō)法中正確的是（ ）A無(wú)理數(shù)是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)B無(wú)限小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)C無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)D一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是無(wú)理數(shù)分析 實(shí)數(shù)可分為無(wú)理數(shù)和有理數(shù). 有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù). 開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)一定是無(wú)理數(shù)，但無(wú)理數(shù)還包含了其他數(shù)，如，任何有理數(shù)都枳經(jīng)成分?jǐn)?shù)形成. 所以A、B、D都是錯(cuò)的. C正確. 解答 C說(shuō)明 考查實(shí)數(shù)的分類(lèi)及定義無(wú)理數(shù)主要有3種表現(xiàn)形式：開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；一些常數(shù)，如、e等；無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001典型例題三例03實(shí)數(shù)，3.1416，0

5、.2020020002（每?jī)蓚€(gè)2之間多一個(gè)零）中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)分析 其中無(wú)理數(shù)有：，0.202002解答 B說(shuō)明 考查無(wú)理數(shù)的定義及有關(guān)的數(shù)都是無(wú)理數(shù). 典型例題四例04點(diǎn)A在數(shù)軸上和原點(diǎn)相距個(gè)單位，點(diǎn)B在數(shù)軸上和原點(diǎn)相距2個(gè)單位，則A，B兩點(diǎn)間的距離是_. 分析 在數(shù)軸上和原點(diǎn)相距個(gè)單位的點(diǎn)A有兩個(gè)，即和兩個(gè)點(diǎn). 點(diǎn)B和原點(diǎn)相距2個(gè)單位，則點(diǎn)B的坐標(biāo)或. 如圖所示. 所示A、B兩點(diǎn)間距離是：，. 故或. 解答 或. 說(shuō)明 點(diǎn)A在數(shù)軸上的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)的距離是. 典型例題五例05若實(shí)數(shù)a和b互為相反數(shù)，則；若實(shí)數(shù)a，b互為倒數(shù)，則；分析

6、因?yàn)閍、b互為相反數(shù)，則. 若互為倒數(shù)，則. 又因故解答 0；1；. 典型例題六例06判斷下列說(shuō)法是否正確，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由（1）實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù). （2）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù). （3）有理數(shù)都是有限小數(shù). （4）不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù) . （5）帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù). （6）數(shù)軸上的任何一點(diǎn)都可以表示實(shí)數(shù). 解答 （1）實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù). 正確. 因?yàn)閷?shí)數(shù)就是由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的，二者必居其一. （2）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù). 正確. 無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)當(dāng)然都是無(wú)限小數(shù). （3）有理數(shù)都是有限小數(shù). 不正確. 有理數(shù)中也有無(wú)限小數(shù)，例如是有理數(shù)，但它卻是，是無(wú)限循環(huán)小數(shù). （

7、4）不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù). 不正確. 這個(gè)數(shù)不帶根號(hào)，我們都知道它是無(wú)理數(shù). （5）帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù). 不正確. 是一個(gè)帶根號(hào)的數(shù)，可是它是一個(gè)有理數(shù). （6）數(shù)軸上的任何一點(diǎn). 都可以表示實(shí)數(shù). 正確. 數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的. 說(shuō)明 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，有了無(wú)理數(shù)才使數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，這些是我們判斷某些說(shuō)法是否正確的依據(jù). 不要去試圖確立無(wú)理數(shù)的其他定義或標(biāo)準(zhǔn)，只有緊扣無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)這個(gè)定義，才能避免錯(cuò)誤. 典型例題七例07計(jì)算（精確到0.01）（1）； （2）解答 （1）原式 （2）原式說(shuō)明 在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，有理數(shù)中的運(yùn)算法則和運(yùn)算

8、定律同樣適用，在無(wú)理數(shù)運(yùn)算中，常用其近似值去代替無(wú)理數(shù). 典型例題八例08化簡(jiǎn) 解答 ，說(shuō)明 關(guān)鍵在于根據(jù)絕對(duì)值的定義，正確地去掉絕對(duì)值的符號(hào)，以便進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算中還要注意防止發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤. 典型例題九例09比較與的大小. 分析 若，則；，則；若，則，反之亦然. 解答 當(dāng)時(shí)，顯然，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)， ，即. 綜上，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)和時(shí). 典型例題十例10設(shè)x，y是有理數(shù)，并且x，y滿足等式，求的值. 分析 利用實(shí)數(shù)等于零的條件，即有理數(shù)和無(wú)理數(shù)部分分別是零. 解答 又x，y都是有理數(shù). 和都是有理數(shù). 而由于0是有理數(shù)，必為有理數(shù). 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 典型例

9、題十一例11怎樣運(yùn)用作圖的方法，在數(shù)軸上找出表示的點(diǎn). 分析 我們可以借助勾股定理來(lái)找出表示的線段長(zhǎng). 如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是1和和，那么它的斜邊長(zhǎng)就是. 解答 如圖，作一個(gè)直解邊分別是3和1的直角三角形，以原點(diǎn)O為圓心，三角形斜邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，它與數(shù)軸負(fù)半軸的交點(diǎn)C即為表示的點(diǎn). （）說(shuō)明 這個(gè)直角三角形也可以作在其他地方，但必須使它1個(gè)單位長(zhǎng)度與數(shù)軸所取的單位長(zhǎng)度一致. 另外與學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)相同數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，故在原點(diǎn)左邊. 典型例題十二例12化簡(jiǎn)下列各式（1） （2）（3） （4）解答 （1）（2） （3）（4） 原式= 說(shuō)明 要化簡(jiǎn)帶絕對(duì)值符號(hào)的式子，首先按絕

10、對(duì)值定義，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，再去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)，或進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算. 典型例題十三例13下列說(shuō)法是否正確？為什么？（1）無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；（2）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；（3）有理數(shù)都是有限小數(shù)；（4）不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；（5）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；（6）實(shí)數(shù)有正實(shí)數(shù)與負(fù)實(shí)數(shù)兩種解答：（1）不正確，因?yàn)橹挥袩o(wú)限不循環(huán)小數(shù)方是無(wú)理數(shù)，而無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，如是有理數(shù)（2）正確，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；（3）不正確，因?yàn)闊o(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，因此有理數(shù)不一定是有限小數(shù)，如；（4）不正確，如不帶號(hào)，但是無(wú)理數(shù)；（5）正確，因?yàn)槊恳粋€(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都

11、可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示（6）不正確，因?yàn)閷?shí)數(shù)除了有正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)外，還包括0說(shuō)明：要理解無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念，掌握實(shí)數(shù)的分類(lèi)，分類(lèi)要有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)后不漏不多.典型例題十四例14下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？0.5，3.14，0分析：判定一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，不能只看它的形式，還要看算出的結(jié)果，應(yīng)先將含有根號(hào)的數(shù)化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行判斷解答： ，；有理數(shù)有：0.5，3.14，0；無(wú)理數(shù)有：，典型例題十五例15計(jì)算：（1）（精確到0.01）；（2）（保留三個(gè)有效數(shù)字）解答：（1）；（2）說(shuō)明：近似值的計(jì)算過(guò)程中，所取近似值的小數(shù)位，必須比題目要求的精確度多取一位進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果

12、按題目要求取近似值典型例題十六例16比較下列數(shù)的大?。海?）和3.1415； （2）和分析：比較大小首先判斷數(shù)的正負(fù)，再比較數(shù)的絕對(duì)值的大小. 解答：（1）， （2），而，則說(shuō)明：比較無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的大小，一種是將無(wú)理數(shù)轉(zhuǎn)化為近似值的有理數(shù)比較，另一種采用算術(shù)平方根的比較法，即被開(kāi)方數(shù)間比較大小. 典型例題十七例17求下列各式的x：（1）； （2）分析：根據(jù)絕對(duì)值的概念：正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)看作整體求解. 解答：（1）（2），即或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 選擇題1選擇題（1）下列說(shuō)法正確是A無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù) B帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)C無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù) D

13、無(wú)理數(shù)是開(kāi)不盡方的數(shù)（2）和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)集是A整數(shù)集 B有理數(shù)集C無(wú)理數(shù)集 D實(shí)數(shù)集（3），這六個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D6個(gè)（4）下面關(guān)于0的判斷正確的是A0是小數(shù) B0是整數(shù)C0是無(wú)理數(shù) D0是質(zhì)數(shù)（5）實(shí)數(shù)中算術(shù)平方根最小的數(shù)是A1 B0 C非負(fù)數(shù) D不存在2選擇題（1）若有算術(shù)平方根，則的取值范圍是A B C D一切實(shí)數(shù)（2）根式有意義，的取值范圍是A一切實(shí)數(shù) B C D（3）下列語(yǔ)句中正確的是A帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)B不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)C無(wú)理數(shù)一定是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)D無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)（4）是有理整數(shù)，是A有理數(shù) B負(fù)的實(shí)數(shù) C完全平方數(shù) D完全平方數(shù)

14、的相反數(shù)（5）實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根是A BC D（6）下面式子成立的是A BC D3選擇題（1）若與它的絕對(duì)值之和為0，則的值是A B1 C D（2）若實(shí)數(shù)滿足，則等于A B C D1（3）使有意義的的取值范圍是A BC D且（4）下列語(yǔ)句中正確的是A任何實(shí)數(shù)都有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根B零的立方根就是零C帶根號(hào)的數(shù)就是無(wú)理數(shù)D9的平方根是34選擇題（1）下列命題中：帶有根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)；無(wú)理數(shù)是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；無(wú)論取何實(shí)數(shù)，都有意義；絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零.正確的命題有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)（2）已知、為實(shí)數(shù)，下列命題中正確的是（ ）A，則 B，則C,則 D，則參考答案：1（1）

15、C （2）D （3）A （4）B （5）B2（1）C （2）A （3）C（4）D（5）D（6）C3（1）B （2）B （3）D （4）B4（1）B（2）B填空題1填空題（1）_. （2）的相反數(shù)為_(kāi).（3）的倒數(shù)為_(kāi). （4）絕對(duì)值最小的數(shù)為_(kāi).（5）若，則_.（6）的倒數(shù)的絕對(duì)數(shù)為_(kāi).（7）絕對(duì)值為的數(shù)為_(kāi).（8）的平方為_(kāi).（9）比較大?。篲 ；_ .（10）數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)距離是_.參考答案：（1） （2） （3）3 （4）0 （5） （6） （7） （8）15（9） （10）填空題1填空題（1）的相反數(shù)為_(kāi).（2）_.（3）比較大小：_ （4）有意義，則的取值范圍是_.（5）平方根

16、等于本身的數(shù)為_(kāi).（6），則_.（7）有意義，則取值范圍是_.（8）若，則_.（9）比小且比大的整數(shù)為_(kāi).（10）_.參考答案：（1）3 （2） （3） （4） （5）0 （6） （7）全體實(shí)數(shù)（8） （9）2 （10）9填空題1填空題（1）若，則的取值范圍是_.（2）若，則的范圍是_.（3）當(dāng)_時(shí)，有意義.（4）當(dāng)，_時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.（5）若，則_.（6）當(dāng)_時(shí)，有最大值是_.（7）計(jì)算：_.（保留三個(gè)有效數(shù)字）（8）若，則_.（9）比較大小_.（10），則的算術(shù)平方根為_(kāi).參考答案：（1） （2） （3）且 （4） （5）2 （6）0 （7） （8）4或2 （9） （10）1或填空題1填空題（1）小于的所有正整數(shù)為_(kāi).（2）_.（3）的相反數(shù)為_(kāi).（4）比較大?。篲.（5）若有算術(shù)平方根，則的取值范圍是_.（6）若，則_.（7）某數(shù)的立方根的絕對(duì)值為5，則這個(gè)數(shù)為_(kāi).（8）若，則的取值范圍是_.（9）大于的負(fù)整數(shù)為_(kāi).（10）化簡(jiǎn)_.參考答案：（1）1，2，3，4，5，6， （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）4，3，2，1 （10）解答題1計(jì)算題（精確到）（1） （2）（3） （4）（5） （6）2計(jì)算題（精確到）（1） （2）（3） （4）（5） （6）