1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、偏導(dǎo)數(shù)的求法1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法在求時，應(yīng)將看作常量，對求導(dǎo)，在求時，應(yīng)將看作常量，對求導(dǎo)，所運(yùn)用的是一元函數(shù)的求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式. 2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法設(shè)，則，幾種特殊情況：1），則2），則，3），則，3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法1）一個方程的情況設(shè)是由方程唯一確定的隱函數(shù)，則 ， 或者視，由方程兩邊同時對求導(dǎo)解出.2）方程組的情況由方程組兩邊同時對求導(dǎo)解出即可.二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接兩邊同時求微分，解出即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性： 三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法1）設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 ，則當(dāng)時，在曲線上

2、對應(yīng)點(diǎn)處的切線方向向量為，切線方程為 法平面方程為 2）若曲面的方程為，則在點(diǎn)處的法向量 ，切平面方程為 法線方程為 若曲面的方程為，則在點(diǎn)處的法向量，切平面方程為 法線方程為 四、多元函數(shù)極值（最值）的求法1 無條件極值的求法設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由，解出駐點(diǎn)，記，.1）若，則在點(diǎn)處取得極值，且當(dāng)時有極大值，當(dāng)時有極小值.2） 若，則在點(diǎn)處無極值.3） 若，不能判定在點(diǎn)處是否取得極值.2 條件極值的求法函數(shù)在滿足條件下極值的方法如下：1）化為無條件極值：若能從條件解出代入中，則使函數(shù)成為一元函數(shù)無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)，其中為參數(shù)，解方程組求出駐點(diǎn)坐標(biāo)

3、，則駐點(diǎn)可能是條件極值點(diǎn).3 最大值與最小值的求法若多元函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的駐點(diǎn)，計(jì)算出在這些點(diǎn)處的函數(shù)值，并與區(qū)域的邊界上的最大（最小）值比較，最大（最?。┱撸褪亲畲螅ㄗ钚。┲?主要:1、偏導(dǎo)數(shù)的求法與全微分的求法；2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法3、最大值與最小值的求法第九章 重積分積分類型計(jì)算方法二重積分平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積（1） 利用直角坐標(biāo)系X型 Y型 （2）利用極坐標(biāo)系 使用原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2) 被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡單( 含, 為實(shí)數(shù) ) （3）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函

4、數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對稱時，（關(guān)于x軸對稱時，有類似結(jié)論）計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)1 畫出積分區(qū)域2 選擇坐標(biāo)系 標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù) 關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3 確定積分次序 原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限 方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5 計(jì)算要簡便 注意：充分利用對稱性，奇偶性三重積分空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積(1) 利用直角坐標(biāo)投影（2） 利用柱面坐標(biāo) 相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo) 適用范圍:積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單；如 旋轉(zhuǎn)體被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量易分離.如（3）利用球面坐標(biāo) 適用范圍:積分域表面用球面坐標(biāo)表示時

5、方程簡單;如，球體，錐體.被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量易分離. 如，（4）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十章 曲線積分與曲面積分積分類型計(jì)算方法第一類曲線積分曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度弧長參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（1） （2） （3）平面第二類曲線積分變力沿曲線所做的功（1） 參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）條件：L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D） P，Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：（3）利用路徑無關(guān)定理（特殊路徑法）等價條件： 與路徑無關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)具有原函數(shù)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法） （4）兩類曲線積分的聯(lián)系空間第二類曲線積分

6、變力沿曲線所做的功（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）條件：L封閉，分段光滑，有向 P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：第一類曲面積分曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積投影法： 投影到面類似的還有投影到面和面的公式第二類曲面積分流體流向曲面一側(cè)的流量（1）投影法：，為的法向量與軸的夾角前側(cè)取“+”，；后側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角右側(cè)取“+”，；左側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角上側(cè)取“+”， ；下側(cè)取“”，（2）高斯公式 右手法則取定的側(cè)條件：封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè) P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 結(jié)論： 應(yīng)用：（3）兩類曲面積分之間

7、的聯(lián)系轉(zhuǎn)換投影法：所有類型的積分：定義：四步法分割、代替、求和、取極限；性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性；對坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)傅立葉級數(shù)冪級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)用收斂定義，存在常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì) 若級數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂. 兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂.注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.去掉、加上或改變級數(shù)有限項(xiàng), 不改變其收斂性. 若級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變。 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 注：收斂級數(shù)去括號后未必收斂

8、.（必要條件） 如果級數(shù)收斂, 則萊布尼茨判別法若且，則收斂則級數(shù)收斂.和都是正項(xiàng)級數(shù)，且.若收斂，則也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散.比較判別法比較判別法的極限形式和都是正項(xiàng)級數(shù)，且，則若,與同斂或同散;若,收斂,也收斂；如果，發(fā)散，也發(fā)散。比值判別法根值判別法是正項(xiàng)級數(shù)，,則時收斂；()時發(fā)散；時可能收斂也可能發(fā)散.收斂性和函數(shù)展成冪級數(shù),缺項(xiàng)級數(shù)用比值審斂法求收斂半徑的性質(zhì)在收斂域上連續(xù);在收斂域內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo);和函數(shù)在收斂域上可積分，且可逐項(xiàng)積分.(不變,收斂域可能變化).直接展開:泰勒級數(shù) 間接展開:六個常用展開式 收斂定理 是連續(xù)點(diǎn),收斂于;是間斷點(diǎn),收斂于周期延拓為奇函數(shù)，正弦級數(shù)

9、，奇延拓；為偶函數(shù)，余弦級數(shù)、偶延拓.交錯級數(shù)第十二章 微分方程解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應(yīng)解法求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：方程編號類 型一 般 形 式解 法備 注1型可分離變量方程或分離變量法有些方程作代換后可化為1型2型齊次方程或令為1型求解有時方程寫成令化為1型求解3型線性方程或1 常數(shù)變易法2 湊導(dǎo)數(shù)法：同乘有時方程不是關(guān)于線性方程，而是關(guān)于線性方程4型貝努里方程或令或化為3型求解有時方程不是關(guān)于的貝努里方程，而是關(guān)于貝努里方程5型全微分方程其中 為原函數(shù)有時乘以一個積分因子可化為5型 二階微分方程的解法小結(jié)：類 型特 征 求 解 方 法 備