1、11.3.1 函數(shù)的單調(diào)性教師：羅華榮教師：羅華榮2 德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究. .他經(jīng)過測試，得他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：到了以下一些數(shù)據(jù)：測試時間測試時間 t剛記剛記憶完憶完畢畢20分分鐘后鐘后60分分鐘后鐘后8-9小時小時后后1天天后后2天天后后6天天后后一個一個月后月后記憶保留記憶保留量量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶保留量以上數(shù)據(jù)表明，記憶保留量y y是是時間時間t t的函數(shù)的函數(shù). . 艾賓浩斯根據(jù)

2、這艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩艾賓浩斯遺忘曲線斯遺忘曲線”, ,如圖如圖. .123tyo204060801003思考思考1:1:觀察觀察“艾賓浩斯遺艾賓浩斯遺忘曲線忘曲線”，你能發(fā)現(xiàn)什么，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？規(guī)律？tyo20406080100123函數(shù)的單調(diào)性思考思考2:2:我們發(fā)現(xiàn)隨著時間我們發(fā)現(xiàn)隨著時間t t的增加，記憶保留量的增加，記憶保留量y y在不在不斷減少；從圖象上來看，斷減少；從圖象上來看，從左至右圖象是在逐漸下降從左至右圖象是在逐漸下降的。的。4xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2)

3、 ( )f xx 1.從左至右圖象從左至右圖象 2.在區(qū)間在區(qū)間 (-, +)上，隨上，隨著著x的增大，的增大，f(x)的值隨的值隨著著 2.(0,+)上上從左至右圖象從左至右圖象上升上升， 當(dāng)當(dāng)x x增大增大時時f(x)f(x)隨著隨著增大增大 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上從左至右圖象從左至右圖象 當(dāng)當(dāng)x x增大增大時時f(x)f(x)隨著隨著 減小減小思考思考1：畫出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)：畫出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)自變量自變量x的值增大時的值增大時,相應(yīng)函數(shù)值是如何變化的？相應(yīng)函數(shù)值是如何變化的？5xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-

4、2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx1 1 在某一區(qū)間內(nèi)，在某一區(qū)間內(nèi)，當(dāng)當(dāng)x的值增大時的值增大時,函數(shù)值函數(shù)值y也增大也增大圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；當(dāng)當(dāng)x的值增大時的值增大時,函數(shù)值函數(shù)值y反而減小反而減小圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性思考思考2：通過上面的觀察，如何用通過上面的觀察，如何用圖象上動點圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)的變化來說明上升或下降趨勢？的橫、縱坐標(biāo)的變化來說明上升或下降趨勢？6思考思考3：如何用數(shù)學(xué)符號語言定義函：如何用數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)

5、所具有的這種性質(zhì)？數(shù)所具有的這種性質(zhì)？7圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x01 2221y方案1：在區(qū)間（0, )上取自變量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 圖象逐漸 上升 8方案二：1212( )( , )( )( )( )( ),( )( , )f xa bxaxxbf af xf xf bf xa b函數(shù)在區(qū)間上有無數(shù)個自變量 ，使得當(dāng)時，有由此能否說明該函數(shù)在上的圖象一直保持上升趨勢？請你說明理由（舉例或者畫圖）9對區(qū)間對區(qū)間D內(nèi)內(nèi) 任意任意 x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有 f(x1)f

6、(x2)圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f (x1)f (x2)方案1：在區(qū)間（0, )上取自變量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 圖象逐漸 上升方案2:(0,+ )取無數(shù)組自變量，驗證隨著x的增大，f(x)也增大。方案3:在在(0,+)內(nèi)取任意的內(nèi)取任意的x1，x2 且且x1x2時，都有時，都有f(x1)f(x2) y10對區(qū)間對區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)都都設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I,區(qū)間區(qū)間D I. 定義定義 任

7、意任意如果對于如果對于區(qū)間區(qū)間D上的上的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有f(x1 ) f(x2 )， D稱為稱為 f (x)的的單調(diào)單調(diào)增區(qū)間增區(qū)間. 那么就說那么就說 f (x)在區(qū)間在區(qū)間D上上 是單調(diào)是單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)，區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升0 x1 1f (x1)f (x2)1 2221y11 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定

8、義單調(diào)減函數(shù)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù). .xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間D上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間D上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都

9、有都有f(x1 ) f(x2 ) ，當(dāng)當(dāng)x1單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) y y = =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)數(shù)，那么就說函數(shù) y y = =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D上具有單調(diào)性。上具有單調(diào)性。12（1 1）函數(shù)單調(diào)性是針對某個）函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間區(qū)間而言的，是一個而言的，是一個局部性質(zhì)局部性質(zhì); ;判斷判斷1 1：函數(shù)函數(shù) f (x)= x2 在在 是單調(diào)增函數(shù)；是單調(diào)增函數(shù)；, xyo2yx（2 2） x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性判斷判斷2 2：定義

10、在：定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) f ( (x) )滿足滿足 f (2) (2) f(1)(1)，則，則函數(shù)函數(shù) f ( (x) )在在R上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；yxO12f(1)f(2)13解解:函數(shù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有5,2）, ,2,1) ，1，3), 3，5.例例1 1. 如圖是定義在閉區(qū)間如圖是定義在閉區(qū)間 5 5, ,55上的函數(shù)上的函數(shù) y = f(x)的圖象的圖象, 根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 以及在每一單調(diào)區(qū)間上以及在每一單調(diào)區(qū)間上, 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？函數(shù)？ 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間2，1)，3，5

11、上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；說明說明:1.:1.區(qū)間端點處若有定義寫開寫閉均可區(qū)間端點處若有定義寫開寫閉均可. . 2. 2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況 在區(qū)間在區(qū)間5，2），），1，3)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .( )yf x- -432154312- -1- -2- -1- -5- -3 - -2xyO14 練一練練一練 根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). ( )yf x2544xyO- -1321解解:函數(shù)函數(shù)y

12、=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有1,0）,0,2) ，2，4), 4，5.其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間0，2)，4，5上是增函數(shù)上是增函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間1，0），），2，4)上是減函數(shù)上是減函數(shù).15例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) f(x) = 3 x2在區(qū)間在區(qū)間R上是增函數(shù)上是增函數(shù)16例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) f(x) = 3 x2在區(qū)間在區(qū)間R上是增函數(shù)上是增函數(shù)設(shè)設(shè) x1，x2 是是 R上任意兩個實數(shù)，且上任意兩個實數(shù)，且x1x2 證明：證明：則則 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)= 3（x1-x2）由由 x1x2 ，得，得 x1 - x20于是于是

13、 f(x1) - f(x2) 0即即 f(x1) f(x2)所以所以 f(x)=3x+2在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù) 作差作差設(shè)值設(shè)值變形變形定號定號下結(jié)論下結(jié)論17用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：（1）設(shè)值）設(shè)值:在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個實在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個實 數(shù)數(shù) 1212,.x xxx且（2）作差）作差（3）變形）變形 作差作差 ：常通過：常通過“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等等 手段將差式變形為因式乘積或平方和形式手段將差式變形為因式乘積或平方和形式 )()(21xfxf 判斷判斷 的符號的符號12( )()f xf x（4）結(jié)論）結(jié)論:并

14、作出單調(diào)性的結(jié)論并作出單調(diào)性的結(jié)論18設(shè)量設(shè)量判斷差符號判斷差符號作差變形作差變形下結(jié)論下結(jié)論課堂小結(jié)課堂小結(jié)1 1. . 兩個定義：增函數(shù)、減函數(shù)的定義兩個定義：增函數(shù)、減函數(shù)的定義；(定義法定義法)證明函數(shù)單調(diào)性，步驟證明函數(shù)單調(diào)性，步驟: :圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增增函數(shù)的圖象從左到右函數(shù)的圖象從左到右減減函數(shù)的圖象從左到右函數(shù)的圖象從左到右上升上升下降下降3.一個數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合一個數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合2：兩種方法：兩種方法19 例例2、物理學(xué)中的玻意耳定律、物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，

15、壓減小時，壓強強p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。)( 為正常數(shù)kVkp 20證明:12341.設(shè)值;2.作差變形;3.定號;4.下結(jié)論21 ？畫出函數(shù)畫出函數(shù) 圖象，寫出定義域并寫出單調(diào)區(qū)間圖象，寫出定義域并寫出單調(diào)區(qū)間：x1yxy1yx的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,), ,討論：討論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義1(0)(,0)(0,)yxx能不能說在定義域上是單調(diào)減函數(shù)?定義域為函數(shù)xy1), 0()0 ,(拓展探究拓展探究x1y221( )f xxyOx 在在 (0 0,+) 上上任取任取 x1、 x2 當(dāng)當(dāng)x12x2( )f x1( )f x1x231( )f xxyOx- -11- -11 取自變量取自變量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)不不能說能說 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是減減函數(shù)函數(shù) 要寫成要寫成(- -,0 0)，(0 0,+ +)的形式。的形式。1yx逗號逗號隔開隔開 鞏固24對區(qū)間對區(qū)間D內(nèi)內(nèi) 任意任意 x1，x2