1、南京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué) A-2試題(A、閉)卷解答2021-2021學(xué)年第2學(xué)期 使用班級(jí) 江浦09級(jí)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每題3分,總計(jì)15分)1、(A)2、(C) 3、(D)4 、(C)5 、(B)二、填空題(本大題共5小題,每題3分,總計(jì)15分)2,"1、x3yz4=02、- 3、一 30a4、0 ： p 1 5、y y-y-y=.三、解答以下各題(本大題共4小題,每題7分,總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟 ) 1、設(shè)數(shù)量場(chǎng) f (x, y, z) = x2 + 2y2 +3z2 - 4x 一6y -8z + 5求：(1)函數(shù)f在點(diǎn)(2,1,2 )處的梯度.(2)函數(shù)

2、f在點(diǎn)(2,1,2 )處方向?qū)?shù) 紅 的最大值. 31解：(1) gradf = 12x-4,4y-6,6z-8;gradf (2,1,2) =(0,-2,414 分(2) gradf ,2 g =2而,故f在點(diǎn)(2,1,2 )處方向?qū)?shù) 學(xué)的最大值為207分(2, 1,2/,1 112、計(jì)算二次積分 j"dy fn膽dx.“占 '二:x52二： ：；.sin x 二 x 二 sin x斛：d dy dx = d dx f dy4 分:y -二 x 0,: x=sin xdx=27 分- 03、求微分方程y + 2y'-3y =e'x的通解.特征方程r2 +2

3、r -3 = 0= 口 =1,b=-3 ,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1ex+C2e'x (其中C1C2為任意常數(shù))4分因九=-3是特征根,設(shè)特解為 y* = Axex,其中A為待定常數(shù),代入原方程,得 Au-2nyu-lxex 6 分441從而得通解 y=C1ex+C2e xe 7分424、計(jì)算積分 | = J(e sin x +3y - cosy)dx 十(xsin y - y )dy,其中 L 是從點(diǎn) A(n ,0)沿L曲線y =sin x到點(diǎn)B(n,0)的弧段.2解：這里 P=e sinx+3ycosy , Q=xsiny - y .二 pQ二 p 二 Q由于 =3 +sin y

4、, =sin y ,可見一P =Q不成立.2分.y二 x二 y二 x2記 P =e sinx-cosy ,那么 I = jpdx+ Qdy + J3ydx£ I1+I2, (I2 = 3ydx).LLL那么曲線積分11滿足與路徑無關(guān)的條件,選擇與L起終點(diǎn)相同的直線段 y = 0 ,有二2I1 = ( (e« sinx 1)dx = 2n,而 I2 =13ydx =_3sin xdx = 06分3T一nL故所求積分I = 2元.7分四、解答以下各題(本大題共4小題,每題7分,總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟 )1、設(shè)z = f (x2 _y2, xy ),其中函數(shù)f具有二階

5、連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),試求:z;:X鏟z .；x；:yz:z解：一 =2xf1 yf2：X-2v z.-2_2 l-4xyf11,！2x - 2y f12xyf22 f2、.:x.:y計(jì)算曲面積分I = 2xz2dydz ' yz 1 dzdx 9 - z3 dxdy其中工為曲面z = x工2 +y2 +1 (1 Mz M2),取下側(cè).解：取平面工1： z=2,取上側(cè).那么 工與乙構(gòu)成封閉曲面, 域?yàn)镃,由Gauss公式,得I ii if取外側(cè).令工與巳所圍空間區(qū)三三 三2_ 3= jn(z-1)dz - 9(9-2 dxdy =3、求哥級(jí)數(shù)£61解：ann1 2n 1(1)2| 小

6、-,R =lim12n -1n-an書x2n的收斂域及和函數(shù),并數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)=1, x = ±1時(shí)原級(jí)數(shù)為cdzn 1odZn 1(-1)上的和.2n -1n)收斂,故此哥級(jí)數(shù)的收2n -1二(一1廣 設(shè) s(x)='、x n 1 2n -1二(-1)nJcs(x)=x nn 1 2n -12n,(_1MX、1),那么; r 1、n u-(-I) 2n JX A Xnw 2n -12 x n J ,(-x ) dx)co x=X 0 仁(-2 n 4x ) )dx) = x arctan x,( -1 - x - 1)n 1n 1故 7 二 s(1)二一nm 2n -144、設(shè)f

7、(x)是周期為2冗的周期函數(shù),且f(x) = x ( -H 葉級(jí)數(shù).W X 冗),試將f (X)展開成傅立解：所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,它在點(diǎn) x (X = (2k +1)江)處不連續(xù),因此,f (X)的傅H +( 一冗) _,一一一一=0,在連續(xù)點(diǎn)x (X # (2k+1)n)收斂于f(x).2假設(shè)不計(jì)x = (2k +1)n ,那么f(x)是周期為2n的奇函數(shù).an =0. (n = 0,1,2,)bn二,、.,2f (x)sin nxdx 二 一)ji1f (x) = 2(sin x - - sin 2x二2xsin nxdx = (T) (n = 1,2,3,)0n1(-1)(n1)

8、.、sin 3x -sin nx )3n(x R,且x豐土兀,±3以)五、解做題(此題8分)曲線過點(diǎn)(1,1),曲線上任一點(diǎn)P(x,y)處的切線交y軸于點(diǎn)Q,以PQ為直徑所作的圓 均過點(diǎn)F(1,0),求此曲線的方程.解：過點(diǎn)P(x, y)的切線方程Y y=y (X x),令 X =0得丫 = 丫xy ,即 Q(0, y xy ),一、222由題意,PF| +QF| = PQ得(x 1)2 +y2 十 1 十(y xy')2 =x2 + (xy')2,化簡(jiǎn),2dy y 1 - x dy 11 一 x 、如= ,即上 _ y = ,y( Bernoulli 萬程)dx xy dx x x令 z = y2,得任22 = 21-x) ,其通解為 z = 2x -1 + cx2 dx x x故原方程通解為y2 =2x -1 +cx2 ,又y(1) = 1 ,得c = 0.所以該曲線的方程為 y2=2x1. 8分六、證實(shí)題(此題6分)正項(xiàng)級(jí)數(shù)£an收斂,證實(shí)數(shù)列(1 +&X1 + a2 Mli 41 + an »收斂. n 1證實(shí)：記xn =(1+a1 X1+a2 ) III (1+an)8因正項(xiàng)級(jí)數(shù) 工an收斂,故liman =0,又lim - n ,n ：n 1H "an) = 1 ,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法的極an限