1、一次函數(shù)中的分段函數(shù)【重點難宜易錯點點點精通】分段函數(shù)的基本模型1. 分段記費問題（如收取水費、電費、通信費等類型）：我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一。為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用 水采用以戶為單位分段計費辦法收費，即一月用水 io 噸以內(nèi)（包括 io 噸）的用戶，每噸 收水費a元；一月用水超過 io 噸的用戶，io 噸水仍按每噸元收費，超過 io 噸的部分， 按每噸b元（ba）收費。設(shè)一戶居民月用水x噸，應(yīng)收水費y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。求出 a 和 b 值。解析：根據(jù)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)利用解析式分析求值，解題關(guān)鍵是弄清函數(shù)圖象的意義。答案：a=i.5,b=2。2. 行程

2、中的分段計算問題：由速度或時間的不同而產(chǎn)生的不同計算。如圖是小明從學(xué)校到家里行進的路程s （米）與時間 t （分）的函數(shù)圖象，觀察圖象，從圖中能得到什么信息呢？（結(jié)合背景對圖象含義 進行理解）解析：考查函數(shù)圖象的讀圖能力.要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函 數(shù)的類型和所需 要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論。答案：小明行進總路程為 iooo 米，行進時間為 20 分鐘，前 io 分鐘的行進速度比后 io 分鐘的行進速度慢。3. 與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)：由圖形的運動變化所產(chǎn)生的線段、面積等的不同產(chǎn)生的分段計算。如圖 i,在矩形 ABCD中，AB= 3, BC= 4，動點 P 從點

3、 A 開始按 A 宀 CD的方向運動到 D。如圖 2,設(shè)動點 P 所經(jīng)過的路程為 x,AAPD 的面積為 y。（當(dāng)點 P 與 A 或 D 重合時，y = o）,寫出 y 與 x 的 函數(shù)關(guān)系式并畫出圖象。2解析：利用點運動到不同位置產(chǎn)生對應(yīng)值解決問題。圖象如圖。2x0_x_3-2x 207 _x _104. 商品銷售中的分段計算：根據(jù)數(shù)量將商品進行分段銷售。如：某書定價25 元，如果一次購買 20 本以上，超過20 本的部分打八折，試寫出付款金額y (單位：元)與購書數(shù)量 x (單位：本)之間的函數(shù)關(guān)系。解析：考查了分段函數(shù)，理解分段收費的意義， 明確每一段購書數(shù)量及相應(yīng)的購書單價 是解題的關(guān)

4、鍵，要注意 x 的取值范圍.丄25x0：x 20y =。500 20(x - 20) x 20總結(jié)：(1) 要特別注意相應(yīng)的自變量變化區(qū)間，在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng) 取值范圍；(2) 分段函數(shù)的圖象是由幾條線段(或射線)組成的折線。其中每條線段(射線)代 表某一個階段的情況；(3) 分析分段函數(shù)的圖象，要結(jié)合實際問題背景對圖象的意義進行認識和理解，尤其 要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實際意義。(4) 本節(jié)運用的數(shù)學(xué)思想有分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。例題 甲、乙兩人在一段長為 1200 米的筆直路上勻速跑步，甲、乙的速度分別為4m/s和 6m/s，起跑前乙在起點，甲在乙前面

5、100 米處。若同時起跑，甲、乙兩人在從起跑至其中一人先到達終點的過程中，他們之間的距離y (m)與時間 t (s)的函數(shù)圖象如圖所示。0 _x _36* 一3解析：根據(jù)圖象可知，當(dāng) ti時，y = 0,即 6t = 4t + 100，求出即可；分為兩種情況：則 ti=s, y2=4甲在乙的前面，y =( 4t + 100) 6t，乙在甲的前面，y= 6t ( 4t + 100),求出即可。 答案：解：當(dāng) y= 0 時，6t = 4t + 100,解得：t = 50,即 ti= 50,當(dāng) 0WtV50 時，甲在乙的前面， y= 4t + 100 6t = 2t + 100, 1200-6= 2

6、00,當(dāng) 50Vt 200 時，乙在甲的前面， y= 6t ( 4t + 100)= 2t 100,當(dāng) t = 200 時,y2= 2X200 100= 300。故答案為：50s, 300m。點撥：考查了分段函數(shù)與函數(shù)的圖象的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和觀察圖象的能力，用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想。幾何圖形中的分段計算例題如圖，在矩形 MNPQK MN= 6, PN= 4，動點 R 從點 N 出發(fā)，沿 NRiCHM方向運動至點 M 處停止。設(shè)點 R 運動的路程為 x, MNR 的面積為 y,(1)_ 當(dāng) x = 3 時，y =;當(dāng) x = 12 時，y=_;當(dāng) y = 6 時，x =

7、;分別求當(dāng) 0wxV4、4Wx 10、10VxW14 時，y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。時分別求出即可；(2)利用當(dāng) 0Wxv4、4Wx 10、10Vx 125 運用待定系數(shù)法分別表示出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式即可。答案：解：(1)由題意，得 60X2.5 = 150 (元)；(2)由題意，得 a =( 325-75X2.5 )-( 125- 75), a= 2.75 ,二 a+ 0.25 = 3,設(shè) OA 的解析式為 y1=k1X(k,=0)，則有 2.5X75=75k1,：k1=2.5,7線段 OA 的解析式為 y1= 2.5x (0Wxw75)；8r18L 5=T5k2+b由圖象，得辱1和

8、尹b，解得:線段 AB 的解析式為：y2= 2.75x 18.75( 75vx 125)（答題時間：45 分鐘）、選擇題1.（永州中考）某市打市話的收費標(biāo)準(zhǔn)是：每次3 分鐘以內(nèi)（含 3 分鐘）收費 0.2 元，以后每分鐘收費 0.1 元（不足 1 分鐘按 1 分鐘計）。某天小芳給同學(xué)打了一個6 分鐘的市話，所用電話費為 0.5 元；小剛現(xiàn)準(zhǔn)備給同學(xué)打市話6 分鐘，他經(jīng)過思考以后，決定先打 3 分鐘,掛斷后再打 3 分鐘，這樣只需電話費 0.4 元。如果你想給某同學(xué)打市話，準(zhǔn)備通話 10 分鐘,則你所需要的電話費至少為（）A. 0.6 元B. 0.7 元C. 0.8 元D. 0.9 元2. （瀘

9、州中考）為了節(jié)能減排，鼓勵居民節(jié)約用電，某市將出臺新的居民用電收費標(biāo)準(zhǔn):（1 ）若每戶居民每月用電量不超過100 度，則按 0.50 元/度計算；（2）若每戶居民每月用電量超過 100 度，則超過部分按 0.80 元/度計算（未超過部分仍按每度電0.50 元計算）。現(xiàn)假設(shè)某戶居民某月用電量是x （單位：度），電費為 y （單位：元），貝 U y 與 x 的函數(shù)關(guān)系用*3.在一次遠足活動中， 小聰和小明由甲地步行到乙地后原路返回，小明在返回途中的丙地時發(fā)現(xiàn)物品可能遺忘在乙地，于是從丙地返回乙地，然后沿原路返回。兩人同時出發(fā)，步行過程中保持勻速。設(shè)步行的時間為t （ h）,兩人離甲地的距離分別為S

10、1（km）和 S2（km）,圖中的折線分別表示 S1、S2與 t 之間的函數(shù)關(guān)系。則下列說法中正確的是（）設(shè)線段 AB 的解析式為k2 =2.75b 18.75y2= k2x + b(k2 - 0),9A. 甲、乙兩地之間的距離為20kmB. 乙、丙兩地之間的距離為4km5C.小明由甲地出發(fā)首次到達乙地的時間為5小時61D.小明乙地到達丙地用 了丄小時8*4.（黃岡模擬）如圖所示，一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車 同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為x（h）,兩車之間的距離為y （km）,圖中的折線表示 y 與 x之間的函數(shù)關(guān)系。 下列說法中錯誤的是（A. 甲，乙兩地相距B. B

11、點表示此時兩車相遇2C. 快車的速度為 166 km/h3D. B - C- D 段表示慢車先加速后減速最后到達甲地*5.（哈爾濱道里區(qū)一模）甲、乙兩輛汽車沿同一路線趕赴距出發(fā)地 甲出發(fā)不久因故停車檢修，修好后甲車?yán)^續(xù)向前行駛。乙車比甲車 開始計時）。圖中折線 OABC 線段 DE 分別表示甲、乙兩車所行路程 時）之間的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的圖象。根據(jù)圖象中所提供的信息， 2 小時出發(fā)； 度為每小時（ ）A. 1480 千米的目的地，晚出發(fā)（從甲車出發(fā)時 y（千米）與時間 x （小有下列說法：乙車比甲車晚 甲車修好后行駛了1.5 小時與乙車在途中第二次相遇；乙車行駛的平均速48 千米；甲、乙兩車到達目

12、的地所用的時間相同。符合圖象描述的說法有1011、填空題:*6.（孝感模擬）某市自來水公司為鼓勵用戶節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費：月用水量不超過 40 噸的部分，按每噸 1 元收取水費，超過 40 噸的部分，按每噸 1.5 元收取水費。另 外每噸用水加收 0.2 元的城市污水處理費。若某戶水表有故障，每次用水只有60%己入用水量，這樣在 3 月份交水費 43.2 元，該用戶 3 月份實際應(yīng)交水費元。*7.（秀洲區(qū)二模）某城市居民用水實行階梯收費，每戶每月用水量如果未超過20 噸，按每噸 2.5 元收費。如果超過 20 噸，未超過的部分按每噸 2.5 元收費，超過的部分按每噸 3.3 元收費。設(shè)

13、某戶每月用水量為x 噸，應(yīng)收水費為 y 元。（1） 分別寫出每月用水量未超過 20 噸和超過 20 噸，y 與 x 間的函數(shù)關(guān)系式。 _（2）_ 若該城市某戶 4 月份水費平均為每噸 2.8 元，求該戶 4 月份用水_噸。*8.（黃陂區(qū)模擬）在一條直線上依次有A、B C 三個港口，甲、乙兩船同時分別從AB 港口出發(fā)，沿直線勻速駛向 C 港，最終達到 C 港。設(shè)甲、乙兩船行駛 x（ h）后，與 B 港的 距離分別為 yi、y2（ km ，yi、y?與 x 的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若兩船的距離不超過10km 時能三、解答題：*10.下圖表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，各時間段的平均速度v （千

14、米/小時）隨時間 t （分）變化的圖象（全程），根據(jù)圖象提供的信息：（1）求這次比賽全程是多 少千米；ATCE運動，到達 E 點即停止運動，若點 P 經(jīng)過的路程為 x, APE 的面積記為1，并求出當(dāng) y = 時，x 的值為之間的函數(shù)解析式y(tǒng)，試求出 y 與 x乙P 從點 A 出發(fā)，沿*9夠相互望見，則甲、乙兩船可以相互望見時x 的取值范圍為12（2）求比賽開始后多少分鐘兩人相遇。13譏千米耐）AJO -孫-1.15*11.(衡陽中考)為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，鼓勵市民節(jié)約用電，我市從2012 年 7月 1 日起，居民用電實行“一戶一表”的“階梯電價”，分三個檔次收費，第一檔是用電量不超過

15、180 千瓦時實行“基本電價”，第二、三檔實行“提高電價”， 具體收費情況如下折線圖，請根據(jù)圖象回答下列問題；(1)當(dāng)用電量是 180 千瓦時時，電費是 _ 元;(2)_ 第二檔的用電量范圍是；(3)_ “基本電價”是元/千瓦時；*12.(荊州中考)某個體戶購進一批時令水果，20 天銷售完畢。他將本次銷售情況進行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖所示的函數(shù)圖象，其中日銷售量y(千克)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖甲所示，銷售單價p(元/千克)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示。(1) 直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 分別求出第 10 天和第 15 天的銷售金額；(3)

16、若日銷售量不低于 24 千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過程中“最佳 銷售期”共有多少天？在此期間銷售單價最高為多少元？甲乙（4）1081020 x （天）圖乙小明家141. B解析：由 已知通過分析可得：根據(jù)小剛通話的方式進行，需要電話費最少，即先打 3 分鐘，掛斷后再打3 分鐘，再掛斷打 10-3-3 = 4 分鐘，則費用為：0.2 + 0.2 + 0.2 +0.1 = 0.7。故選 B。2. C解析：根據(jù)題意，當(dāng)0Wxw100 時，y = 0.5x，當(dāng) x 100 時，y= 100X0.5 + 0.8縱觀各選項，只有 C 選項圖形符合。故選 C。3. C解析：根據(jù)圖中信息，甲、乙

17、兩地之間的距離為10km,乙、丙兩地之 間的距離為2km；故選項AB 錯誤；根據(jù)小明到達丙時所用時間為1 小時，所行路程為(10 + 2) km,51即 V2=( 10+ 2)- 1= 12km/h, 5 = 10- 12= (小時)，t2= 2- 12=(小時)，故小明66由甲地出發(fā)首次到達乙地用了-小時，故選項 C 正確，由乙地到達丙地用了丄小時，故 D6 6選項錯誤。故選 Co4. D 解析：解：A、由圖象知 x = 0 時，y = 1000，即甲、乙兩地的距離為1000km=故 A正確；B. B 點表示此時兩車在此處相遇，所用時間是4 小時，故 B 正確；C.快車速度為：型0-000=

18、 1662。故 C 正確；D. B C D 段表示快、慢車相遇后行駛一段時間快車到4123達乙地，慢車?yán)^續(xù)行駛，慢車共用了12 小時到達甲地，故本選項錯誤。故選D。5. C 解析：結(jié)合圖象即可得出：D 點即是乙車比甲車晚出發(fā)的時間，乙車比甲車晚2小時出發(fā)，故此說法正確；根據(jù)兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)F 的橫坐標(biāo)為 6, B 點橫坐標(biāo)為 4.5 ,即可得出甲車修好后行駛了1.5 小時與乙車在途中第二次相遇，故此說法正確；乙車行駛的平均速度為每小時 48 千米；根據(jù)乙行駛時間為：10 2= 8 小時，路程為 480km,故 480-8=60km/h ,故此說法錯誤；甲、乙兩車到達目的地所用的時間相同，根據(jù)

19、兩車所用時間均為 8 小時，故此說法正確。故正確的有： 3 個。故選Co6. 82 解析：設(shè)實際用水 x 噸，根據(jù)題意得 60%x 1.2 = 43.2 解得：x= 60 故實際繳費 40X1.2 + 20X1.7 = 48 + 34 = 82 元，故答案為 82。7.(1)y =1(2) 32 解析：(1)當(dāng) xI3.3x-16 (XA20)20 時，y = 3.3 ( x 20)+ 50 , y = 3.3x 16 ； ( 2)：該戶 4 月份水費平均為每噸 2.8 元， 該戶 4 月份用水超過 20 噸。設(shè)該用戶 4 月份用水 a 噸，得 2.8a = 3.3a 16,解得 a= 32。

20、248.wxw蘭 解析：由圖象可知，甲船的速度為：30-0.5 = 60 千米/時，乙船的速度33為：90* 3= 30 千米/時，由此可得：所以，甲、乙兩船離 A 港口的距離為 s甲=60 x, s乙= 30 x + 30,當(dāng)甲船在乙船前面 10 千米時，s甲一 s乙=10,即：60 x ( 30 x + 30)= 10,解4得 x=，當(dāng)甲船在乙船前面 10 千米時，s乙一 s甲=10,3224即: 30 x + 30 60 x = 10,解得 x =，所以，當(dāng)兩船的距離不超過 10km 時，彳wxw333(x 100)= 50 + 0.8x 80 = 0.8x 30,所以，y 與 x 的函

21、數(shù)關(guān)系為y=0.5x(0乞x100?0.8x-30(x100)15x (0蘭x蘭2)11149.yx 3 (2空x乞4)x = 或 解析：當(dāng) P 在 AB 上，即 0vx2時，如圖233X 5 (4乞x乞5)111, y =APX AD= xX2= x ;當(dāng) P 在 BC 上，即卩 2vx4時，如圖 2, y= S正方形ABCDSAADE221111SACEPSAABP，2X1 _X1X(4x) _X2X(x2)= _x+3 ;當(dāng) P22223,y=1EPAD= -X(61x)X2=x+5;2 212.解：(1)分兩種情況：當(dāng) 0 x 15 時，設(shè)日銷售量 y 與銷售時間 x 的函數(shù)解析式 為

22、 y= k1X(k1在 CE 上，即卩 4vx5時，如圖x (OEx蘭2)11yx 3 (2空x乞4)。當(dāng) y=時,23-x 5 (4 _ x _ 5)1= x 或1=丄x + 3 或-=x + 5，解得:332310.解：(1)這次比賽全程為圖24815X= 12 千米;60(2)設(shè)甲行駛的路程為 y甲，乙行駛的路程為 y乙，則 y甲=-t (0vt 15) , y甲=丄t39101191110+ ( 15vt 33) , y甲= t (33vt 43), y乙= t，當(dāng) 15vt 33 時，由一 t +32249311191=-t，解得 t = 24,當(dāng) 33vt 43 時，由一 t = - t，解得 t = 38,.比賽開始后 24422411.解：(1)由函數(shù)圖象，得當(dāng)用電量為 180 千瓦時，電費為：108 兀。故答案為：108;vx450;(3)基本電價是：108- 180= 0.6 ;故答案為：0.6 ;364.5=540k+b(4)設(shè)直線BC 的解析式為 y= kx + b(k=0)，