1、中考數學輔導之相似三角形 本次我們一起來復習初二幾何中的相似三角形,這一部分知識在中考中占有很重要的地位,而幾乎所有初三同學復習到此內容時往往都感到非常困難,希望同學們認真復習這一部分知識,找出規(guī)律.一、基本知識及需要說明的問題:(一)比例的性質 1.比例的基本性質:此性質非常重要,要求掌握把比例式化成等積式、把等積式轉化成比例的方法.2.合、分比性質:注意:此性質是分子加（減）分母比分母,不變的是分母.如:已知證明: 3.等比性質:若則.4.比例中項:若的比例中項.(二)平行線分線段成比例定理 1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例. 已知l1l2l3, A

2、D l1 B E l2 C F l3 可得等.2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例. A D E B C 由DEBC可得：.此推論較原定理應用更加廣泛,條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例. A D E B C說明:此定理和平行線分線段成比例定理的異同 相同點:都是平行線 不同點:平行線分線段成比例定理

3、的推論是兩條平行線截其它兩邊所成的對應線段成比例,即AD與AE,DB與EC,AB與AC這六條線段,而此定理是三角形的三邊對應成比例.即，只要有圖形中的,它一定是ADE的三邊與ABC的三邊對應成比例.注意:條件(平行線的應用)在作圖中,輔助線往往做平行線,但應遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.如:如圖（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC A F A A F F E E G E B D C B D C B D G C 圖（1） 圖（2） 圖（3） 輔助線當然是添加平行線。但如圖（2），如果過D作DGBF,則在FC中插入了G點,不利求結論AF

4、:FC；如圖（3）如果過F做FGAD交CD于G時,在CD上插入G,條件BD:DC=2:3就不好用了。因此應過D做DGAC交BF于G,此輔助線做法既不破壞BD:DC,又不破壞AE:ED,還不破壞AE:FC.解: 過D做DGAC交BF于GBD:DC=2:3 BD:BC=2:5 A則DG:CF=2:5 設DG=2 CF=5 FAE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2=3:4 G EAF=1.5 AF:FC=1.5:5=3:10 B D C(三)相似三角形 1、相似三角形的判定 兩角對應相等的兩個三角形相似(此定理用的最多); 兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似; 三邊對應成比例的兩個三

5、角形相似; 直角邊和斜邊對應成比例的兩個直角三角形相似.2、直角三角形斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似. 3、相似三角形的性質 相似三角形對應角相等、對應邊成比例. 相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比)二、本次練習:(一)判斷題:1. 已知.( )2. 已知.( )3. 若的比例中項. ( )4. 如圖:DEBC,EFAB,則( ) A D E B F C5. 在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,則.( )6. 有一組鄰邊對應成比例的兩個矩形相似. ( )7. 如圖已知DEBC,CD,EB交于O, A SPOE:SCOB

6、=4:9,則.( ) D E B C8. 已知ABC中,BAC=Rt,ADBC,AB=2AC,則AD:BC=2:5. ( )9. 所有的等腰直角三角形都相似. ( )10.兩個相似多邊形的面積比為5,周長比是m,則.( )(二)填空題:1. 已知的第四比例項是_.2. 如圖:ABC=CDB=90,AC=a, BC=b, C 當BD=_時,ABCCDB. A D B 3.若,則.4.已知在RtABC中,C=90,CDAB于D,若CD=6,AB=13,則CD分AB所成 的兩條線段是_. A D5.矩形ABCD中,E是DC上一點,BEAF, 若BE=10cm,AF=4cm,則S矩形=_cm2. F

7、E B C6.如圖:EFBC,若SAEF=S四邊形,則=_. A E F B C7.兩個相似三角形面積之比是9:25,較大的三角形的周長是20cm,則較小的三 角形的周長是_cm.8.將一個矩形紙片對折,得到的矩形與原矩形相似,則原矩形的長:寬=_.9.如圖:BC=120,高AD=80,ABC的 A 內接矩形EFGH中,EH:EF=2:1,則 矩形EFGH的周長是_. E M H B F D G C 10.ABC中,D,E分別是AB,AC上的點, A 且BD=CE,DE的延長線交BC延長線 于F,若AB:AC=3:5, D E EF=12cm,則DF=_cm. B C F 11.如圖:ABC中

8、,EFBC,AE:EB=1:2, D A SADE=S,則SAEF=_S. E F B C 12.如圖BD:CD=2:3,DEAC, A DFAB,SABC=S,則SAEF=_S. F E B D C(三)單選題:1. 如圖:PQBC,若SAPQ=3, A SPQB=6,則SCQB等于: P QA.20 B.18 C.16 D.9 B C2. ABC中,BD,CE分別是AC,AB邊上的中線 A 并且BDCE,BD=4,CE=6,則SABC等于: A.12 B.14 C.16 D.18 E D B C3. 在 ABCD中,AF:FD=1:3,E是AB中 D C 點EF交AC于M,則AM:MC等于

9、: F M A E 4. 如圖:DEBC,EFAB,在下面的比例式中,正確的有: A D E B F C A. B. C. D.(四)證明題: 1.D是ABC的AC上一點,E是BC延長 A 線上一點,ED交AB于F,且AC:BC=EF:FD D求證:AD=EB. F E B C 2.如圖:E是梯形ABCD上底DC中點, G BE交AC于F交AD的延長線于G求證:EFGB=BFGE D E C F A B 3.已知:在ACB中,ACB是Rt,M是 A AB中點,MDAB交AC于E,BC 的延長線于D M 求證:AB2=4MEMD E B C D 4.AD是ABC(ABAC)的角平分線, A AD

10、的中垂線和BC的延長線交于點E求證:DE2=BECE B D C E 5.AD,BE是ABC的高,AD,BE, A A 是ABC的高,且 求證:ADBE=ADBE E E B D C B D C 6.如圖:AH是RtABC的斜邊BC上的高, D A E 以AB和AC做等邊三角形ABD和 等邊ACE,連結DH,EH求證: AEHBDH B H C 7.如圖:已知四邊形ABCD是正方形, A E D E是AD中點,BF=3AF,EGCF于G, 求證:EG2=FGCG F G B C三、本次練習答案(一)判斷題: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.(二)填空題: 1. 2. 3. 4.9和4 5.40 6. 7.12 8. 9. 10.20 11. 12.(三)選擇題: 1.B 2.C 3.C 4.D(四)證明題:1.