1、遼寧省大連五校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .（分）對(duì)于常數(shù)m、，“ ”是“方程mx2 ny2的曲線是雙曲線的 ”（）1 5nmn 0=1A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件2（5 分）若 ab0，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）2b2ABC | a| | b|Da3（5 分）下列函數(shù)中，最小值為4 的是（）A y=log3x+4logx3By=ex+4e xC y=sinx+（0x）Dy=x+4（5 分）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足，則目標(biāo)函數(shù) z=x2y

2、 的最小值是（）A 9 B15C0D 105（5 分）下列命題中，說法錯(cuò)誤的是（）A “若 p，則 q”的否命題是 “若?p，則 ?q”B “pq 是真命題 ”是“pq 是真命題 ”的充分不必要條件C “? x2，x2 2x0”的否定是 “? x2，x2 2x0”D “若 b=0，則 f（ x） =ax2+bx+c 是偶函數(shù) ”的逆命題是真命題6（5 分）設(shè) a0，b0，若是 3a 與 32b 的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A5B6C7D87（5 分）已知 F1，F(xiàn)2 分別是橢圓+=1 的左、右焦點(diǎn)， P 是以 F1F 為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且 PF1F2=2PF2F1，則這個(gè)橢圓的離心

3、率是（）A1B2CD8（5 分）設(shè) Sn 為等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a2 8a5 =0，則=（）ABC2D17（分）等差數(shù)列n 中， Sn 是其前 n 項(xiàng)和，則 S11 （）9 5 a=A 11B 11C10D 1010（5 分）設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（a，b）若MF1F2=30，則雙曲線 C 的離心率為（）ABC2D11（5 分）設(shè) an 為等差數(shù)列，若，且它的前 n 項(xiàng)和 Sn 有最小值，那么當(dāng)Sn 取得最小正值時(shí)的 n 值為（）A18B19C20D2112（5 分）已知定義在 R 上的奇函數(shù)（x）+xf （x） xf（ x），則 f（x）在A5 B3 C1

4、 或 3 D1f（ x）的導(dǎo)函數(shù)為R 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（f（x），當(dāng)）x 0時(shí)， f （x）滿足， 2f二、填空題（每題13（5 分）函數(shù)5 分，滿分20 分，將答案填在答題紙上）的遞增區(qū)間為（分）在數(shù)列n 中， a2=， 3，且數(shù)列n+1 是等比數(shù)列，則 an=14 5 aa = na15（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)f （x）在區(qū)間 2，4 上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是16（5 分）拋物線y2=2px（ p 0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A， B 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AFB=120過弦 AB的中點(diǎn)M 作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN ，垂足為N，則的最大值為三、解答題（本大題共6 小題，共 70

5、 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10 分）若數(shù)列 an 滿足（1）求證：數(shù)列 an 1 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；.）（2）設(shè)bn=log2（ 1 an），若數(shù)列的前n 項(xiàng)和為Tn，求證： Tn 118（12 分）已知函數(shù) f（ x）=ax2（ a+1） x+1（ a 0）（1）若 f（x） 2 在 R 上恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（2）解關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 019（12 分）已知過點(diǎn) A（ 4，0）的動(dòng)直線 l 與拋物線 G：x2=2py（p0）相交于 B、C 兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率是時(shí)，（1）求拋物線 G 的方程；（2）設(shè)線段 BC的中垂線在

6、y 軸上的截距為 b，求 b 的取值范圍20 （ 12 分）已知數(shù)列 an ， bn ， Sn 為數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和， a2=4b1 ， Sn =2an 2 ，（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）證明為等差數(shù)列（3）若數(shù)列 cn 的通項(xiàng)公式為，令 pn=c2n1+c2nTn 為 pn 的前 n 項(xiàng)的和，求 Tn21（12 分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 的直線交橢圓于B， C 兩點(diǎn)（）求該橢圓的離心率；（）設(shè)直線AB 和 AC 分別與直線 x=4 交于點(diǎn) M，N，問： x 軸上是否存在定點(diǎn)P 使得 MPNP？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由22（12 分

7、）已知函數(shù)f（ x）=blnx， g（ x）=ax2 x（a R）（1）若曲線f （x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a， b 的值；（2）若a 0，b=1，且曲線f（ x）與g（x）總存在公共的切線，求正數(shù)a 的最小值參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .（分）對(duì)于常數(shù)m、，“ ”是“方程mx2 ny2的曲線是雙曲線的 ”（）1 5nmn 0=1A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解答】 解：若方程 mx2ny2 =1 的曲線是雙曲線，則

8、 mn 0，即“mn 0”是“方程 mx2ny2=1 的曲線是雙曲線 ”的充要條件，故選： C2（5 分）若 ab0，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）2b2ABC | a| | b|Da【解答】 解： a b 0， | a| | b| ，a2abb2因此 A， C， D 正確對(duì)于 B： a b 0 時(shí)，可得，因此 B 不正確故選： B3（5 分）下列函數(shù)中，最小值為 4 的是（）3xx+4e xA y=log x+4log 3By=eC y=sinx+（0x）Dy=x+【解答】 解： A.0 x 1 時(shí)， y0，不正確B ex0，=4，當(dāng)且僅當(dāng) x=ln2 時(shí)取等號(hào)，正確C令 sinx=t（ 0，1

9、），則 y=f（ t）=t+ ， y =10，因此函數(shù) f（ t）在（ 0，1）上單調(diào)遞減， f（ t） f（1）=5，不正確D x 0 時(shí)， y0，不正確故選： B4（5 分）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足，則目標(biāo)函數(shù) z=x2y 的最小值是（）A 9 B15C0D 10【解答】 解：如圖作出陰影部分即為實(shí)數(shù)x，y 滿足的可行域，由 z=x2y，得 y= x z，平移直線 y=xz，由圖象可知當(dāng)直線y=xz 經(jīng)過點(diǎn) A，直線 y=x z 的截距最大，此時(shí)z 最小，由得點(diǎn) A（ 3， 6），當(dāng) x=3，y=6 時(shí)， z=x2y 取最小值為 9故選： A5（5 分）下列命題中，說法錯(cuò)誤的是（）A “若

10、p，則 q”的否命題是 “若?p，則 ?q”B “pq 是真命題 ”是“pq 是真命題 ”的充分不必要條件C “? x2，x2 2x0”的否定是 “? x2，x2 2x0”2D “若 b=0，則 f（ x） =ax +bx+c 是偶函數(shù) ”的逆命題是真命題【解答】 解：對(duì)于 A， “若 p，則 q”的否命題是 “若?p，則 ?q”，故 A 正確；對(duì)于 B，若 pq 是真命題，則 P、q 均為真命題，則 pq 是真命題；反之， pq 是真命題，p 與 q 不一定都是真命題，則p q 不一定是真命題，“p q 是真命題 ”是 “pq 是真命題 ”的充分不必要條件，故B 正確；對(duì)于 C， “? x2

11、，x2 2x0”的否定是 “? x2，x2 2x0”，故 C 錯(cuò)誤；對(duì)于 D，命題 “若 b=0，則 f（ x）=ax2+bx+c 是偶函數(shù) ”的否命題為： “若 b0，則 f（x）=ax2+bx+c不是偶函數(shù) ”，是真命題，則 “若 b=0，則 f（x）=ax2+bx+c 是偶函數(shù) ”的逆命題是真命題，故 D 正確故選： C（分）設(shè)， ，若a與 32b的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）6 5a 0b0是 3A5B6C7D8【解答】 解： a0，b0，是 3a 與 32b 的等比中項(xiàng)， 3a 2b?3 =3 a+2b=1則=（a+2b）=4+4+2=8，當(dāng)且僅當(dāng) a=2b= 時(shí)取等號(hào)故選： D1，F(xiàn)

12、2 分別是橢圓+ =1 的左、右焦點(diǎn)， P 是以 F1F為直徑的圓與該橢圓的7（5 分）已知 F一個(gè)交點(diǎn)，且 PF1F2=2PF2F1，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A 1 B2CD【解答】 解： P 是以 F1F2 為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)， PF1F2 為直角三角形，且 P=90，PF1F2=2PF2F1， PF1F2=60， F1F2=2c，PF1=c，PF2 =c，由橢圓的定義知， PF1+PF2=c+c=2a，即=1離心率為1故選： A8（5 分）設(shè) Sn 為等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a2 8a5 =0，則=（）ABC2D17【解答】 解：根據(jù)題意，等比數(shù)列 an 中 a2 8

13、a5=0，即 a2=8a5，則有 a1q=8a1q4，即有 q3= ，解可得 q=，則=1+q4（）4；=1+=故選： A9（5 分）等差數(shù)列 an 中， Sn 是其前 n 項(xiàng)和，則 S11=（）A 11B 11 C10 D 10【解答】 解：，得，由，得，d=2，S11，=11故選 A10（5 分）設(shè)F1，F(xiàn)2 分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（a，b）若MF12，則雙曲線C的離心率為（）F =30ABC2D【解答】 解：由題意可得F1（ c，0）， M （a，b），直線 MF1 的斜率為 tan30 =，即有=，即 a+c= b，平方可得（ a+c）2=3b2=3（c2a2） =3（c+a）（

14、ca），化簡可得 a+c=3（ c a），即為 c=2a，可得 e=2故選： C11（5 分）設(shè) an 為等差數(shù)列，若，且它的前 n 項(xiàng)和 Sn 有最小值，那么當(dāng)Sn 取得最小正值時(shí)的 n 值為（A 18B19C20）D21【解答】 解： Sn 有最小值， d0，故可得 a10a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11） 0，S19=19a100S20 為最小正值故選 C12（5分）已知定義在R 上的奇函數(shù)f（ x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），當(dāng)x 0時(shí)， f （x）滿足， 2f（x）+xf （x） xf（ x），則f（x）在R 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A 5B3C1或3D1【解答】 解

15、：構(gòu)造函數(shù)F（x）=（x0），所以 F（x）= 2f（x）+xf（x） xf（ x） ，因?yàn)?2f（x）+xf （x） xf（ x），x0，所以 F（ x） 0，所以函數(shù) F（x）在 x 0 時(shí)是增函數(shù)，又 F（0）=0所以當(dāng) x0，F(xiàn)（x） F（0）=0 成立，因?yàn)閷?duì)任意 x0， 0，所以 f （x） 0，由于 f（x）是奇函數(shù)，所以x 0 時(shí) f（x） 0，即 f （x）=0 只有一個(gè)根就是 0故選： D二、填空題（每題13（5 分）函數(shù)5 分，滿分20 分，將答案填在答題紙上）的遞增區(qū)間為【解答】 解：函數(shù)，f （ x） = 2x2+3x1，令 f （x） 0，即 2x2+3x10，解得

16、：x1，故函數(shù)在遞增，故答案為：（分）在數(shù)列n 中， a2=， 3，且數(shù)列n+1 是等比數(shù)列，則 an=14 5 aa = na【解答】 解：數(shù)列 an 中， a2=， a3 = ，且數(shù)列 nan+1 是等比數(shù)列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，數(shù)列 nan+1 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，解得 an=故答案為：15（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)f （x）在區(qū)間 2，4 上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是【解答】 解函數(shù) e2， +）f （x）在區(qū)間 2， 4 上是單調(diào)遞增函數(shù)，f （x） 0 在區(qū)間 2， 4 上恒成立，即（ x1）ex+a 0 在區(qū)間 2，4 上恒

17、成立，記 g（x）=（x1）ex+a，則 g（x）min 0，g（x） =xex， x 2，4 ， g（x） 0，故 g（x）在 2，4 遞增，故 g（x）min=g（2）=e2+a0，解得： a e2，故實(shí)數(shù) a 的范圍是： a e2故答案為： e2， +）16（5 分）拋物線 y2=2px（ p 0）的焦點(diǎn)為 F，已知點(diǎn) A， B 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AFB=120過弦 AB的中點(diǎn) M 作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為 N，則的最大值為【解答】 解：設(shè) | AF| =a，| BF| =b，連接 AF、BF，由拋物線定義，得 | AF| =| AQ| ， | BF| =| BP| ，在

18、梯形 ABPQ中， 2| MN| =| AQ|+| BP| =a+b由余弦定理得，| AB| 2=a2 +b2 2abcos120=a2+b2+ab，配方得， | AB| 2=（a+b）2ab，又 ab（）2，（ a+b） 2ab（ a+b） 2（ a+b）2=（a+b） 2得到 | AB| （ a+b）=，即的最大值為故答案為：三、解答題（本大題共6 小題，共 70 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（10分）若數(shù)列n 滿足17 a（1）求證：數(shù)列 an 1 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) bn=log2（ 1 an），若數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Tn，求證： T

19、n 1【解答】 證明：（1） an =2an 1 1an1=2（ an 11），又 a1=1， a1 1= 2數(shù)列 an 1 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，（2）由（ 1）知：，所以18（12 分）已知函數(shù) f（ x）=ax2（ a+1） x+1（ a 0）（1）若 f（x） 2 在 R 上恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（2）解關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 0【解答】 解：（1） f（x） 2 在 R 上恒成立，即 ax2（ a+1） x 1 0 在 R 上恒成立，所以；（2）f（ x） 0? ax2（ a+1）x+1 0? （ ax1）（x 1） 0（* ）當(dāng) 0a1 時(shí)，（* ）

20、式等價(jià)于；當(dāng) a=1 時(shí)，（* ）式等價(jià)于（ x1）20? x ?；當(dāng) a1時(shí)，（* ）式等價(jià)于；當(dāng) a0時(shí)，（* ）式等價(jià)于或 x 1綜上，當(dāng) 0a1 時(shí)， f（x） 0 的解集為；當(dāng) a=1 時(shí)， f （x） 0 的解集為 ?；當(dāng) a1時(shí)， f（ x） 0 的解集為；當(dāng) a0時(shí)， f（ x） 0 的解集為19（12 分）已知過點(diǎn) A（ 4，0）的動(dòng)直線 l 與拋物線 G：x2=2py（p0）相交于 B、C 兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率是時(shí)，（1）求拋物線 G 的方程；（2）設(shè)線段 BC的中垂線在 y 軸上的截距為 b，求 b 的取值范圍【解答】 解：（1）設(shè) B（x1，y1），C（x2，y2），當(dāng)直

21、線 l 的斜率是時(shí)， l 的方程為，即 x=2y4，由得 2y2（ 8+p）y+8=0，又， y2=4y1，由這三個(gè)表達(dá)式及p 0 得 y1=1， y2=4，p=2，則拋物線的方程為x2=4y （ 5 分）（2）設(shè) l：y=k（x+4），BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ x0，y0），由得 x2 4kx16k=0，線段的中垂線方程為，線段 BC的中垂線在 y 軸上的截距為： b=2k2+4k+2=2（ k+1） 2，由 =16k2+64k0 得 k 0 或 k 4，b（ 2，+） （ 7 分）20（12分）已知數(shù)列 an ， bn ， Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a21 ， Snn 2 ，=4b=

22、2a（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）證明為等差數(shù)列（3）若數(shù)列 cn 的通項(xiàng)公式為，令 pn=c2n1+c2nTn 為 pn 的前 n 項(xiàng)的和，求 Tn【解答】 解：（1）當(dāng) n1 時(shí)，? an=2an 1當(dāng) n=1 時(shí)， S1=2a12? a1=2，綜上， an 是公比為 2，首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，則：（2）證明： a2=4b1，b1=1，綜上，是公差為 1，首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列（3）由（ 2）知： pn 2n1+c2n，=c=，兩式相減得：，21（12 分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 的直線交橢圓于B， C 兩點(diǎn)（）求該橢圓的離心率；（）設(shè)直線AB 和 AC 分別與直線 x=4 交于點(diǎn) M，N，問： x 軸上是否存在定點(diǎn)P