1、直線與二次曲線黃梅縣第五中學 李旭東二次曲線是高中數(shù)學中的重點和難點內(nèi)容，還是高考必考內(nèi)容，且比重大。下面是我多年任教二次曲線的一點心得。直線與二次曲線的題型可分為四個部分解決:一.弦長問題例1.設橢圓6x2+2y2=12中有一內(nèi)接三角形PAB,過O,P的直線的傾斜角為(1)試證過A,B的直線的斜率是定值;(2)求PAB面積的最大值.解:例2.點C的軌跡與直線y=x2交于D，E兩點，求線段DE的長。答案：(1)設點C（x，y），則|CA|CB|=±2根據(jù)雙曲線的定義，可知點C的軌跡是雙曲線，依題意，設其方程為： 0，直線與雙曲線有兩個交點D、E，設D(x1，y1)，E（x2，y2），

2、則x1+x2=4，x1x2=6二.對稱問題例3.在以O為原點的直角坐標系中，點A(4,-3)為OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|,且點B的坐標大于零。(2)求圓x2-6x+y2+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；(3)是否存在實數(shù)a, 使拋物線y=ax2-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍。答案：例4.給定橢圓C:x2+4y2= 4.(1)若A,B是曲線C上關(guān)于坐標軸不對稱的任意相異兩點,求這兩點的對稱軸L在x軸上的截距t的取值范圍;(2)對于(1)中的t的取值范圍內(nèi)的to,過點M (to,0)作直線L,設L是曲線C上關(guān)于坐標軸不對稱的兩點A

3、,B的對稱軸,求直線L的斜率k的取值范圍.解:三.成比例線段例5.相交于A、B兩點，且C分有向線段的比為2.（）用直線l的斜率k(k0)表示OAB的面積;（）當OAB的面積最大時，求橢圓E的方程.答案：（）設橢圓E的方程為(ab0)，由e=a2=3b2 故橢圓方程x2+3y2=3b2 1分設A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點C（1，0）分有向線段的比為2，即 由消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0 由直線l與橢圓E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)兩點 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB= （）因SOAB=,當且僅當SOAB取得最大值 此時

4、x1+x2=1,又=1 x1=1,x2=2 將x1,x2及k2=代入得3b2=5橢圓方程x2+3y2=5 例6.(1)判斷曲線的形狀, 簡單說明理由 ；求曲線M的方程;解:當c>3時,為雙曲線;當0<c<3時,為橢圓.(3)略.四.與向量有關(guān)例7.設x、yR， i、j為直角坐標平面內(nèi)x、y 軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,a+b=8.(1)求點M(x,y)的軌跡C的方程；(2)過點(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形?若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由.

5、答案：(1)解法一：a=xi+(y+2)j, b=xi+(y-2) j，且a+b=8，點M(x,y)到兩個定點F1(0，-2)，F(xiàn)2(0，2)的距離之和為8.(2)l過y軸上的點(0，3)，若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點.=0，P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾.直線l的斜率存在，設l方程為y=kx+3，A(x1,y1),B(x2,y2) 此時，=(18k)2-4(4+3k2)(-21)0恒成立，四邊形OAPB是平行四邊形.若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OAOB，即OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，x1x2+y1y2=0例8.橢圓x2+2y2=8和點P(4,

6、1),過P作直線交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB上解:即Q點軌跡方程是:2x+y=4 (在橢圓內(nèi)部的部分,不含端點)練習1已知拋物線C：=-0.5x2+6,點P（2，4），A、B在拋物線上，且直線PA、PB的傾斜角互補；（）證明：直線AB的斜率為定值；（）當直線AB在軸上的截距為正數(shù)時，求PAB的面積S的最大值及此時直線AB的方程.答案：()易知點P在拋物線C上,設PA的斜率為k,則直線PA的方程是-4=k(x-2)此時方程應有根xA及2，由韋達定理得：2xA=-4(k+1)xA=-2(k+1)A=k(xA-2)+4=-2k2-4k+4A(-2(k+1),-2k2-4k+4)

7、由于PA與PB的傾斜角互補，故PB方程的斜率為-k.同理可得：B(-2(-k+1),-2k2+4k+4)kAB=2 ()由（）得直線AB的方程為：=2x+b,b0，2.如圖點F(a，0),(a>0),點P在y軸上運動,M在x軸上,N為動點,(1)求點N的軌跡C的方程；(2)過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點， 答案：（1）（方法一)y2=4ax即為所求.(方法二）設N（x，y），M（x0，0），P（0，y0）則（2）設l的方程為y=k（xa），設A(x1，y1),B(x2，y2),則y1y2=4a2，3如圖，A、B為兩個定點，且 | AB | =2，動點M到A

8、的距離為4，線段MB的垂直平分線L 交MA于點P，請你建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?（1）求點P的軌跡C的方程；（2）設直線x-y+1=0與曲線C交于E、F兩點，O為坐標原點，試求OEF的面積. 答案：（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系；則A（-，0），B（，0），| AP | + | PB | = | PA | + | PM | =42，P點的軌跡為以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（4分）2a=4，2c=2，a=2，c=，b=1，P點的軌跡方程為+y2=1.（6分）（2）設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）即5y2-2y-3=0.解得y1=-，y2=1，設直線x-

9、y+1=0與x軸的交點為P（-1，0）SOEF=SOPE+SOPF=| OP | | y1 | +| OP | · | y2 |=| OP | ·（| y1 | + | y2 |）=×1×.4.已知曲線C的方程為：（）若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；（）若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60°，求此雙曲線的方程；（）滿足（）的雙曲線上是否存在兩點P，Q關(guān)于直線l：y=x-1對稱，若存在，求出過P，Q的直線方程；若不存在，說明理由。答案：（I）當k=0或k=-1或k=4時，C表示直線；當k0且k-1且k4時方程為(1)方程(1)表示橢圓的

10、充要條件是即是0<k<2或2<k<4（）方程（1）表示雙曲線的充要條件是 即k<-1或-1<k<0或k>4（i）當k<-1或k>4時，雙曲線焦點在x軸上，其一條漸近線的斜率為得k=6（ii）當-1<k<0時，雙曲線焦點在y軸上，其一條漸近線的斜率為，得k=6（舍）綜上得雙曲線方程為（）若存在，設直線PQ的方程為：y=-x+m消去y，得（2）設P，Q的中點是，則，M的直線l上，解得,方程(2)的>0，存在滿足條件的P Q,直線PQ的方程為5.如圖，直線y=x+b與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，O為坐標原點，求當b為

11、何值時，OAOB？ 答案：把y=x+b代入y2=2x并整理得：x2+(2b2)x+b2=0， 3分由=(2b2)24b2>0得b<。設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1), B(x2, y2),由韋達定理得x1+x2=22b, x1·x2=b2，y1·y2=(x1+b)·(x2+b)=x1·x2+b(x1+x2)+b2 =b2+b(22b)+b2=2b, y1+y2=2， OAOB，OA·OB=0。即x1·x2+y1·y2=0 b2+2b=0, 解得b=0或b=2。由題意，b0，當b=2時，OAOB6. 答案：

12、e=，b2=2a2，雙曲線方程可化為2x2-y2=2a2設直線方程為y=x+m 由x2-2mx-m2-2a2=0 2x2-y2=2a2=4m2+4（m2+2a2）0，直線一定與雙曲線相交設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2，xR=0，x1=-3x2（以下有兩種解法）x2=-m，-3x22=-m2-2a2，消去x2得，m2=a2=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=m2-4a2=-3m=±1，a2=1，b2=1，直線方程為y=x±1，雙曲線方程為x2-=1或解：由x1+x2=

13、2m，x1=-3x2，得x2=-m，x1=3m，=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=x1x2= -3m2=-3m=±1，a2=1，b2=2，直線方程為y=x±1，雙曲線方程為x2-=17.的直線L過右焦點F2與雙曲線交于A、B兩點，與y軸交于點M.若點B分MF2的比值為2. (1)求雙曲線離心率e的值; 答案：得，x2-9ax+14a2=0. 弦AB的中點橫坐標為8.拋物線的準線為雙曲線的右準線. （）試求雙曲線C的方程； （）設直線l:y=2x+1與雙曲線C 交于A、B兩點，求|AB|； （）對于直線y=kx+1,是否存在這樣的實數(shù)k，使直線l與雙曲

14、線C的交點A、B關(guān)于直線y=ax(a為常數(shù))對稱，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由.答案：（）由拋物線y2=2x-4,即y2=2(x-),可知拋物線頂點為（,0）,準線方程為x=.在雙曲線C 中，中心在原點，右焦點（，0），右準線x=,雙曲線c的方程3x2-y2=1（）由|AB|=2（）假設存在實數(shù)k,使A、B關(guān)于直線y=ax對稱，設A(x1,y1)、B(x2,y2),則由 由，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 由知：x1+x2=代入整理得ak=3與矛盾，故不存在實數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對稱. 9.雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為答案：(5b2

15、-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0 設其兩根為x1,x2,若5b2-3a2=0不符代入整理得：3a4+8a2b2-3b4=0,即時(a2+3b2)(3a2-b2)=0,所以b2=3a2,c=2a10.(1)求橢圓上的點到直線2x+3y+8=0距離的最大值；答案：a2=4,b2=1 根有元方程為+y2=1設根有元上點P（2cos，sin）則P到直線2x+3y+8=0的距離 d=當且僅當 sin（+4）=1時，根有元上點P的直線2x+3y+8=0距離最大為（2）cosF1PF2=又cosF1PF2=4 12=（）2-2-·2=16-2-= cosF1PF2= sinCF1PF2=SPF1F2=sincF1PF2=··=11.