實(shí)驗(yàn)02用單擺測量重力加速度

苴，實(shí)驗(yàn)梳理

【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?/p>

1.學(xué)會用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

2.能正確熟練地使用停表。

【實(shí)驗(yàn)設(shè)計】

1.實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)擺角很小時，單擺做簡諧運(yùn)動，其運(yùn)動周期為7=2兀\],它與偏角的大小及擺球的質(zhì)量

無關(guān)，由此得到g=誓。因此，只要測出擺長/和振動周期T,就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀?/p>

度g的值。

2.實(shí)驗(yàn)器材

帶有鐵夾的鐵架臺、中心有小孔的金屬小球、不易伸長的細(xì)線（約1米）、停表、毫米刻度尺

和游標(biāo)卡尺。

【實(shí)驗(yàn)步驟】

1.做單擺

取約1m長的細(xì)線穿過小鋼球上的小孔，并打一個比小孔大一些的結(jié)，然后把線的另一端用

鐵夾固定在鐵架臺的上端，并把鐵架臺放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下

垂。實(shí)驗(yàn)裝置如圖。

2.測擺長

用毫米刻度尺測量懸掛點(diǎn)與小球上端之間的距離I',用游標(biāo)卡尺測出小鋼球直徑D,則單擺

的擺長1=1'+-0

2

3.測周期

將單擺從平衡位置拉開一個角度（小于5°）,然后釋放小球，記下單擺做30次?50次全振動

的總時間，算出每一次全振動的平均時間，即為單擺的振動周期。反復(fù)測量三次，再算出測

得周期數(shù)值的平均值。

4.改變擺長，重做幾次實(shí)驗(yàn)。

【數(shù)據(jù)處理】

1.公式法

將測得的幾次的周期7和擺長/的對應(yīng)值分別代入公式g=袋中算出重力加速度g的值，

再算出g的平均值，即為當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠?/p>

2.圖像法

由單擺的周期公式？=2兀、口可得r=^2z,因此以擺長/為橫軸、以n為縱軸作出的r-

\igg

/圖像是一條過原點(diǎn)的直線，如圖所示，求出斜率左，即可求出g值。左=&8=姆，所以g

'A/g

_4K2

k°

【誤差分析】

1.系統(tǒng)誤差

主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即懸點(diǎn)是否固定，擺球是否可看作質(zhì)點(diǎn)，球、線是

否符合要求，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)振動以及測量哪段長度作為擺長等。

2.偶然誤差

主要來自時間（即單擺周期）的測量。要從擺球通過平衡位置開始計時，不能多計或漏計振動

次數(shù)。為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行多次測量后取平均值。

【注意事項(xiàng)】

1.選擇材料時應(yīng)選擇細(xì)、輕又不易伸長的線，長度一般在1m左右，小球應(yīng)選用密度較大的

金屬球，直徑應(yīng)較小，最好不超過2cm。

2.單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線下滑、

擺長改變的現(xiàn)象。

3.注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角不超過5%

4.擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。

5.計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)從擺球通過最低位置時開始計時，擺球每次從同一方向通過最

低位置時進(jìn)行計數(shù)，且在數(shù)“零”的同時按下秒表，開始計時計數(shù)。要測〃次全振動的時間

t,然后通過計算求出它的周期的測量值。

總要點(diǎn)點(diǎn)撥

要點(diǎn)1實(shí)驗(yàn)原理與操作

［例1］某同學(xué)用單擺測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示。

(1)對測量原理的理解正確的是O

A?由g=^可知，7一定時，g與/成正比

B?由g=^可知，/一定時，g與。成反比

C.單擺的振動周期T和擺長I可用實(shí)驗(yàn)測定，由g=誓可算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?/p>

(2)為了利用單擺較準(zhǔn)確地測出重力加速度，應(yīng)當(dāng)選用的器材有=

A.長度為10cm左右的細(xì)繩

B.長度為100cm左右的細(xì)繩

C.直徑為1.8cm的鋼球

D.直徑為1.8cm的木球

E.最小刻度為1mm的刻度尺

F.停表、鐵架臺

(3)進(jìn)行以下必要的實(shí)驗(yàn)操作，請將橫線部分內(nèi)容補(bǔ)充完整。

①測量單擺的擺長，即測量從擺線的懸點(diǎn)到的距離；

②把此單擺從平衡位置拉開一個小角度后釋放，使擺球在豎直面內(nèi)擺動，測量單擺全振動

30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺振動的周期；

③適當(dāng)改變擺長，測量幾次，并記錄相應(yīng)的擺長和周期；

④根據(jù)測量數(shù)據(jù)畫出圖像，并根據(jù)單擺的周期公式，由圖像計算重力加速度。

Z/m

(4)該同學(xué)分別在北京和廈門兩地做了此實(shí)驗(yàn)，比較準(zhǔn)確地探究了單擺的周期T與擺長I的關(guān)

系，然后將這兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制成。一/圖像，如圖所示，在北京測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對應(yīng)的圖

線是(選填或"8”)。

【答案】(1)C⑵BCEF(3)擺球球心(4)5

【解析】(1)由單擺周期公式7=2兀解得g=墨，測出單擺的擺長/與周期T,可以

求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋侵亓铀俣扰c單擺的擺長和周期無關(guān)，C正確，A、B錯誤。

(2)為減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)選擇適當(dāng)長些的細(xì)繩作擺線，擺線應(yīng)選擇B；為減小空氣阻力對實(shí)

驗(yàn)的影響，應(yīng)選擇質(zhì)量大而體積小的球作擺球，因此擺球應(yīng)選擇C；實(shí)驗(yàn)需要測量擺長，需

要用到刻度尺；實(shí)驗(yàn)需要測量單擺的周期，測周期需要停表，應(yīng)把單擺固定在鐵架臺上。因

此，應(yīng)當(dāng)選用的實(shí)驗(yàn)器材是BCEF。

(3)擺線長度與擺球半徑之和是單擺擺長，測量單擺的擺長，應(yīng)測量從擺線的懸點(diǎn)到擺球球

心的距離。

(4)根據(jù)7=2「口，解得公=電弓，圖像的斜率左=姆，則8=姆，圖像的斜率越小，重力

Mgggk

加速度越大，由于北京的重力加速度大于廈門的重力加速度，因此在北京所做實(shí)驗(yàn)作出的

r-z圖像的斜率小于在廈門所做實(shí)驗(yàn)作出的r-z圖像的斜率，因此在北京測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)

果對應(yīng)的圖線是以

要點(diǎn)2數(shù)據(jù)處理與誤差分析

【例2】在“用單擺測量重力加速度，的實(shí)驗(yàn)中，由單擺做簡諧運(yùn)動的周期公式得到8=唱,

只要測出多組單擺的擺長/和運(yùn)動周期7,作出尸一/圖像，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

理論上r-z圖線是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，某同學(xué)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出的圖像如圖所示：

⑴造成圖線不過坐標(biāo)原點(diǎn)的原因可能是

(2)由圖像求出的重力加速度g=m/s2(取兀2=9.87)。

(3)如果測得的g值偏小，可能的原因是0

A.測擺長時擺線拉得過緊

B.擺線上端懸點(diǎn)未固定，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了

C.開始計時時，停表過遲按下

D.實(shí)驗(yàn)時誤將49次全振動記為50次

【答案】(1)測量擺長時漏掉了擺球的半徑(2)9.87(3)B

【解析】(1)N—/圖線不通過坐標(biāo)原點(diǎn)，將圖線向右平移1cm會通過坐標(biāo)原點(diǎn)，可知相同

的周期下擺長偏小1cm,故造成圖線不過坐標(biāo)原點(diǎn)的原因可能是測量擺長時漏掉了擺球的

半徑。

(2)由單擺周期公式T=27r\］可得/=生馬，則7^一/圖像的斜率為左=姆；由圖像得人=尬

Nggg1

s2-m-1,解得g=9.87m/s?。

(3)測擺長時擺線拉得過緊，則測量的擺長偏大，測得的重力加速度偏大，A不符合題意；

擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了，知測量的擺長偏小，則

測得的重力加速度偏小，B符合題意；開始計時時，停表過遲按下，測量的周期偏小，則測

得的重力加速度偏大，C不符合題意；實(shí)驗(yàn)時誤將49次全振動記為50次，測量的周期偏小,

則測得的重力加速度偏大，D不符合題意。

【例3】(1)在做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時，用擺長/和T計算重力加速度的公式

是8==若已知擺球直徑為2.00cm,讓刻度尺的零刻度線對準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺

線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長是mo若測定了40次全振動的時間如圖乙

所示，則停表讀數(shù)是s,單擺的擺動周期是s?

乙

(2)為了提高測量精度，需多次改變/值，并測得相應(yīng)的T值。現(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)在以/

為橫軸、N為縱軸的坐標(biāo)系上，即圖中用表示的點(diǎn)，則：

T2/S2

①單擺做簡諧運(yùn)動應(yīng)滿足的條件是__________________________________

②試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出T1和/的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g=m/s2(結(jié)果取

2位有效數(shù)字)。

【答案】⑴景0.875075.21.88(2)①偏角小于5。②見解析圖9.9

【解析】(1)由單擺的周期公式7=2兀;，

由題圖甲可知，擺長/=(88.50-1.00)cm

=87.50cm=0.8750m

停表的讀數(shù)￡=60s+15.2s=75.2s

所以r=—=1.88so

40

(2)①單擺做簡諧運(yùn)動的條件是擺角小于5。。

②連線時使大部分點(diǎn)落在圖線上，不在圖線上的點(diǎn)均勻分布在圖線的兩側(cè)(如圖)，圖線斜率

k=—=4s2/m

A/

由g=等可知『一1圖線的斜率表示俎

『g

故處=4s2/m

g

2

可得小9.9m/so

T2/S2

<<創(chuàng)新突破

1.用單擺測量重力加速度的創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)方案

人工計數(shù)時，需要在擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時按下停表，但是在實(shí)際操作中，經(jīng)常會過早或過晚按

下停表，導(dǎo)致誤差較大，因此可以用自動計數(shù)代替人工計數(shù)。

甲乙

如圖甲所示，在擺球運(yùn)動的最低點(diǎn)位置的左右兩側(cè)分別放置一光敏電阻與激光光源，光敏電

阻與某一自動記錄儀相連，該儀器可以顯示光敏電阻的阻值R隨時間f變化的曲線，如圖乙

所示。擺球擺動到最低點(diǎn)時，擋住激光使得光敏電阻的阻值增大，從a時刻開始，再經(jīng)過兩

次擋光完成一個周期，故該單擺的振動周期為2加。

2.用其他方法測量重力加速度

(1)平衡法

用彈簧測力計豎直懸掛一鉤碼，使其處于靜止?fàn)顟B(tài)，利用重力等于拉力，根據(jù)公式g=G求

m

出g。

(2)自由落體法

從高處由靜止釋放一重物，測出高度人及下落時間根據(jù)公式g=%求出g。

【例4】在“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)中，使用下列實(shí)驗(yàn)器材。

A.1.2m的細(xì)繩

B.2m的彈性繩

C.帶孔的小鐵球

D.帶孔的軟木球

E.光電門傳感器

（1）應(yīng)選用哪種繩，應(yīng)選用哪種球,光電門的擺放位置為（選填“最

高點(diǎn)”或“最低點(diǎn)”）。

（2）如圖為光電門傳感器電流強(qiáng)度/與t的圖像，則周期為

°%t2t，it

A.GB.?2—11

C.ti-1\D14一tl

⑶甲同學(xué)用停表做該實(shí)驗(yàn)，但所得周期比該實(shí)驗(yàn)得到的大，則可能的原因是

【答案】（1）AC最低點(diǎn)（2）C（3）開始計時時，停表過早按下（合理即可）

【解析】（1）為減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)選擇輕質(zhì)不可伸長的細(xì)繩作為擺線，繩選擇A；為減小

阻力對實(shí)驗(yàn)的影響，選擇質(zhì)量大而體積小的擺球，球應(yīng)選C；應(yīng)從擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計

時，光電門應(yīng)擺放在最低點(diǎn)。

（2）一個周期內(nèi)單擺兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，由圖示圖線可知，單擺周期T=/3—m故C正確。

⑶如果開始計時時，停表過早按下，測量時間偏長，周期就會偏大。

上典例分析

【典例1】（2023秋?黑龍江大慶?高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）做“用單擺測定重力加速

度”的實(shí)驗(yàn)，供選擇的器材有：

A.約1m長的細(xì)線B.約2m長的彈性繩

C.帶孔的小鐵球D.帶孔的軟木球

（1）應(yīng)選用的擺線是，擺球是（均選填器材前面的字母）。

（2）改變擺長，多次測量，得到周期平方與擺長的關(guān)系圖像如圖所示，所得結(jié)果與當(dāng)?shù)刂?/p>

力加速度值相符，但發(fā)現(xiàn)其延長線沒有過原點(diǎn)，其原因可能是o

A.測周期時多數(shù)了一個周期

B.測周期時少數(shù)了一個周期

C.測擺長時直接將擺線的長度作為擺長

D.測擺長時將擺線的長度加上擺球的直徑作為擺長

（3）某同學(xué)在家里測重力加速度。他找到細(xì)線和鐵鎖，制成一個單擺，如圖所示。由于家

里只有一根量程為30cm的刻度尺，于是他在細(xì)線上的N點(diǎn)做了一個標(biāo)記，使得懸點(diǎn)。到/

點(diǎn)間的細(xì)線長度小于刻度尺量程。保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長度不變，通過改變。、/間細(xì)線

長度以改變擺長。實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)。、N間細(xì)線的長度分別為4、4時，測得相應(yīng)單擺的周期為十、

石。由此可得重力加速度g=（用4、4、T、、。表示）。

4/二（4_幻

【答案】ACC

T；-T；

【詳解】（1）[1]根據(jù)單擺的定義可知，如果細(xì)線的質(zhì)量相比小球的質(zhì)量可以忽略，細(xì)線的

長度近似不變，球的直徑與線的長度也可以忽略，擺動時空氣阻力可忽略，像這樣的裝置就

叫做單擺?？芍?xì)線選擇彈性弱、長度大-一些的細(xì)線，故選用的擺線是A；

[2]根據(jù)上述，為了減小空氣阻力的影響，擺球質(zhì)量大、體積小的帶孔的小鐵球，故擺球選

擇C。

（2）[3]單擺的擺長指懸點(diǎn)到擺球重心之間的間距，在L一/圖像中，發(fā)現(xiàn)其延長線沒有過

原點(diǎn)，即當(dāng)/等于0時，周期不為0,表明/等于0時，實(shí)際擺長不等于0,可知原因可能

是測擺長時直接將擺線的長度作為擺長。

故選C。

（3）[4]令鐵鎖重心到/點(diǎn)間距為力當(dāng)。、/間細(xì)線的長度分別為4、4時，根據(jù)周期公式

有

解得

“_4萬2（/]一1）

8一T；-T；

【典例2].（2023春?河南濮陽?高二濮陽縣第一中學(xué)校考期中）在“用單擺測定重力加速度”

的實(shí)驗(yàn)中，

（1）以下對實(shí)驗(yàn)的幾點(diǎn)建議中，有利于提高測量結(jié)果精確度的是。

A.實(shí)驗(yàn)中適當(dāng)加長擺線

B.單擺偏離平衡位置的角度盡可能大

C.當(dāng)擺球經(jīng)過最高點(diǎn)時開始計時

D.改變擺長，測出多組擺長工和對應(yīng)的周期7,作出工-片關(guān)系圖像來處理數(shù)據(jù)

（2）某同學(xué)在正確操作和正確測量的情況下，測得多組擺長￡和對應(yīng)的周期7,作出工一？2

圖像，發(fā)現(xiàn)圖線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，出現(xiàn)這一結(jié)果最可能的原因是：擺球重心不在球

心處，而是在球心的正_______方（選填“上”或嚇”）。為了使得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不受擺球重

心位置的影響，他采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理方法：在圖線上選取/、8兩個點(diǎn)，找到兩點(diǎn)相應(yīng)的

橫、縱坐標(biāo)，如圖所示。用表達(dá)式g=計算重力加速度，此結(jié)果與擺球重心就在球

心處的情況一樣。

4五2（乙一〃）

【答案】AD下

【詳解】（1）[1]A.實(shí)驗(yàn)中適當(dāng)加長擺線可以增大單擺的周期，有利于減小周期的測量誤

差，故A正確；

B.為使單擺做簡諧運(yùn)動，單擺偏離平衡位置的角度不能太大，故B錯誤；

C.為準(zhǔn)確測量單擺周期，當(dāng)單擺經(jīng)過平衡位置時開始計時，故C錯誤；

D.應(yīng)用圖象法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以減小實(shí)驗(yàn)誤差，測量多組周期T和擺長作￡一〃關(guān)系

圖象來處理數(shù)據(jù)，故D正確；

故選AD-

（2）[2]由工一〃圖像可知，當(dāng)擺長為零時，單擺的周期不為零，則說明所測擺長偏小，可

能是擺球的重心在球心的正下方處造成的。

[3]由實(shí)際的單擺周期公式T=27t，罟，可得

4兀

工-V圖像的斜率表示為

k=^-=LA~Le

4/*森

解得

2

4n（LA-LB）

【典例3].（2023?全國?高三專題練習(xí)）某實(shí)驗(yàn)小組利用圖示裝置做“用單擺測量重力加速度”

的實(shí)驗(yàn)。

（1）該組同學(xué)先測出懸點(diǎn)到小球球心的距離I,然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的

時間人請寫出重力加速度的表達(dá)式g=;（用所測物理量表示）

（2）在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示，將擺球拉開一小角度

使其做簡諧運(yùn)動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關(guān)系，如圖丙所示的

v—f圖線。由圖丙可知，該單擺的周期公s；

（3）更換擺線長度￡后，多次測量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計算機(jī)作出產(chǎn)一￡圖像，并根據(jù)

2

圖像處理得到方程T?=4.00Z+0.037（s）o由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=

2

m/s=（取萬2=9.86,結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

4TT2W2/

【答案】2.09.86

【詳解】（1）口］根據(jù)題意可得，單擺的周期為

T=-

n

由單擺周期公式

聯(lián)立可得

4;r2n2l

（2）［2］由題圖丙可知，該單擺的周期為T=2.0s。

（3）［3］由上述分析，根據(jù)單擺周期公式有

丁24萬24戶廠

1=----L-------

gg

結(jié)合題中T?=4.00￡+0.037卜2）,可得

4/.2/

-----=4s/m

g

解得

g=/m/s?=9.86m/s2

【典例4].（2022秋?福建泉州?高二福建省南安市僑光中學(xué)校考階段練習(xí)）一位同學(xué)做“用

單擺測定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。

（1）為了使測量誤差盡量小，下列說法正確的是O

A.組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球

B.組裝單擺須選用輕且不易伸長的細(xì)線

C.實(shí)驗(yàn)時須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動

D.在擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時用秒表開始計時，測出單擺完成一次全振動的時間，得到單擺的周

期

（2）該同學(xué)在安裝好如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置后，為減小實(shí)驗(yàn)誤差，該同學(xué)多次改變擺長L

測量多組對應(yīng)的單擺周期7,準(zhǔn)備利用的關(guān)系圖線求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎怠Ｏ嚓P(guān)測

量數(shù)據(jù)如表：

次數(shù)12345

L/m0.8000.9001.0001.1001.200

77s1.791.902.012.112.20

r2/s23.203.614.044.454.84

該同學(xué)在圖乙中已標(biāo)出第1、2、3、5次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)，請你在圖乙中用符號'”標(biāo)出

與第4次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，并畫出關(guān)系圖線。

7^/s2

/.................................IUU...>

d------0.800.901.001.101.20L/m

甲乙

(3)根據(jù)繪制出的V―關(guān)系圖線，可求得g的測量值為m/s2o(結(jié)果保留兩位有效

數(shù)字)

【答案】9.6

【詳解】(1)[1]AB.為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，組裝單擺應(yīng)選用密度大、直徑小的擺球以及輕且

不易伸長的細(xì)線，故A錯誤，B正確；

C.實(shí)驗(yàn)時須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動，否則擺球會形成圓錐擺，故C正確；

D.在擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時用秒表開始計時，測出單擺完成多次全振動的時間取平均值，得到

單擺的周期，故D錯誤。

故選BCo

(2)[2]將表中數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上標(biāo)點(diǎn)，用一條直線盡可能地穿過更多的點(diǎn)，畫出的關(guān)

系圖線如圖所示。

7^/s2

0.800.901.001.101.20L/m

（3）[3]根據(jù)單擺周期公式

可知

rp24/￡

g

圖象的斜率為

4/4.84-3.20

s2/m?4.1s2/m

g1.2-0.8

可得g的測量值為

g?9.6m/s2

【典例5】.（2023?北京海淀??？寄M預(yù)測）甲、乙兩同學(xué)利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?/p>

（1）甲同學(xué)用10分度的游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑，如圖1所示，他測量的讀數(shù)應(yīng)該是

emo接著他正確測量了擺線長，加上擺球半徑，得到了擺長/。

（2）為了測定該單擺的振動周期T,下列做法中正確的是o

A.將擺球拉離平衡位置一個小角度，從靜止釋放開始計時，小球第一次回到釋放點(diǎn)停止計

時

B.將擺球拉離平衡位置一個小角度，從靜止釋放開始計時，小球第30次回到釋放點(diǎn)停止

計時

C.將擺球拉離平衡位置一個小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次通過最低點(diǎn)時開始計時,

并同時數(shù)0,以后小球每次經(jīng)過最低點(diǎn)時，他依次數(shù)為1、2、3...,數(shù)到60時停止計時，以

這段時間除以30作為周期

D.將擺球拉離平衡位置一個小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次向右通過最低點(diǎn)時開始

計時，并同時數(shù)30,以后小球每次向右經(jīng)過最低點(diǎn)時，他依次計數(shù)為29、28、27...,數(shù)到

0時停止計時，以這段時間除以30作為周期

（3）他根據(jù)正確方法測出了擺長/和周期T,計算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊谋磉_(dá)式為

g=___________。

（4）甲同學(xué)用上述方法測量重力加速度g,你認(rèn)為最需要改進(jìn)的是0

（5）乙同學(xué)沒有測量擺球直徑，只正確測得了擺線長為/,和對應(yīng)的單擺振動周期為7。然

后通過改變擺線的長度，計算出尸，作出/-P圖線，在圖線上選取相距較遠(yuǎn)的8兩點(diǎn)，

讀出與這兩點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)，如圖2所示。乙同學(xué)計算重力加速度表達(dá)式為g=。

（6）乙同學(xué)沒有測量擺球直徑，把擺線長當(dāng)成了擺長。你認(rèn)為他這種做法會不會引起實(shí)驗(yàn)

的系統(tǒng)誤差（填"會”或“不會”）。

*需要改變擺長多做幾次實(shí)驗(yàn)，再取平均值

【答案】1.86CD/DC

作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果4；：,木不會

【詳解】（1）口]10分度的游標(biāo)卡尺的精確度為0.1mm,測量的讀數(shù)

d=18mm+6x0.1mm=18.6mm=1.86cm

（2）[2]AB.測量單擺的運(yùn)動周期，為減小誤差，計時應(yīng)當(dāng)小球通過最低點(diǎn)時開始計時,

且應(yīng)計單擺多個周期，而不是一個，故AB錯誤；

C.當(dāng)小球某次通過最低點(diǎn)時開始計時，并同時數(shù)0,根據(jù)

Tt2t

nn

2

可知數(shù)到60時停止計時，以這段時間除以30作為單擺的運(yùn)動周期，故C正確;

D.當(dāng)小球某次向右通過最低點(diǎn)時開始計時，并同時數(shù)30,根據(jù)

T=-

n

可知數(shù)到0時停止計時，這段時間除以30作為單擺的運(yùn)動周期，故D正確。

故選CDo

（3）[3]根據(jù)單擺周期公式

解得重力加速度

（4）[4]最需要改進(jìn)的是應(yīng)改變擺長多做幾次實(shí)驗(yàn)，測得多個g值;

（5）[5]根據(jù)單擺周期公式

化簡得

?2_4萬2(/+r)

g

將/、5兩點(diǎn)的數(shù)據(jù)代入可得，在/點(diǎn)

7_4/6+廠)

,g

在8點(diǎn)

2

Ti_4^(/2+r)

g

聯(lián)立可得

4/d）

T；-T；

（6）[6]根據(jù)單擺周期公式

可得

丁24/74/廠

1-------/~\---------

gg

可得

,4/

k--------

g

即

可知乙同學(xué)沒有測量擺球直徑，把擺線長當(dāng)成了擺長，在用斜率計算重力加速度不會引起實(shí)

驗(yàn)的系統(tǒng)誤差。

【典例6].（2024?廣東東莞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）利用單擺可以測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取Ｈ鐖D

1所示，將細(xì)線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，做成單擺。

圖1

（1）以下是實(shí)驗(yàn)過程中的一些做法，其中正確的有

A.擺線要選擇較細(xì)、伸縮性較小，并且線盡可能短一些

B.擺球盡量選擇質(zhì)量較大、體積較小的

C.為了使擺的周期大一些，以方便測量，擺線相對平衡位置的偏角越大越好

D.為減小誤差可記下擺球做50次全振動所用的時間加，則單擺周期r=—

（2）懸掛后，用米尺測量懸點(diǎn)到小球上端擺線的長度乙將小球拉離平衡位置一個小角度,

由靜止釋放小球，穩(wěn)定后小球在某次經(jīng)過平衡位置時開始計時，并計數(shù)為0,此后小球每擺

到平衡位置時，計數(shù)一次，依次計數(shù)為1、2、3……，當(dāng)數(shù)到50時，停止計時，測得時間

為才,計算出單擺周期7。測量出多組單擺的擺長L和運(yùn)動周期T,作出『一L圖像，如

圖2所示。造成圖線不過坐標(biāo)原點(diǎn)的原因可能是。

（3）由圖2求出重力加速度8=m/s20（取/=i（）,結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

（4）圖2中圖線不過原點(diǎn)，（選填“會”或“不會”）影響重力加速度的測量

【答案】BD/DB計算擺長時沒有考慮小球半徑9.5不會

【詳解】（1）[1]A.擺線要選擇較細(xì)（盡可能減小空氣阻力對實(shí)驗(yàn)的影響）、伸縮性較?。ù_

保擺球擺動時擺長幾乎不變）、且盡可能長一些的（減小擺長測量的相對誤差），故A錯誤;

B.為了盡可能減小空氣阻力對實(shí)驗(yàn)的影響，擺球盡量選擇質(zhì)量較大、體積較小的，故B正

確；

C.只有擺線相對平衡位置的偏角在很小的情況下（通常小于5。），單擺才做簡諧運(yùn)動，進(jìn)

而才能根據(jù)周期公式測量重力加速度，故C錯誤；

D.為減小偶然誤差可以記下擺球做50次全振動所用的時間與，則單擺周期7=卻，故D

正確。

故選BDo

（2）⑵根據(jù)單擺周期公式7=27tA變形可得

g

所以理論上片-Z圖像是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，題給圖像相對于理論圖像，在相同周期下,

所測擺長比實(shí)際值偏小，則原因可能是測擺長時沒有加上小球半徑。

（3）［3］根據(jù)單擺周期公式可得

整理得

圖線斜率為

s2/m=4.2s2/m

g0.99-(-0.01)

g?9.5m/s

（4）［4］雖然測擺長時漏加了小球半徑造成圖線不過原點(diǎn)，但根據(jù)（3）中所求/關(guān)于［的

表達(dá)式可知該過失不影響所作圖線的斜率，不會影響重力加速度的測量。

對點(diǎn)訓(xùn)練

1.（多選）（2023?山東濟(jì)南高二期末）某實(shí)驗(yàn)小組利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葘?shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)

某次測得的重力加速度的值偏大，其原因可能是（）

A.以擺球直徑和擺線長之和作為擺長來進(jìn)行計算

B.單擺所用擺球質(zhì)量太大

C.把（〃一1）次全振動時間誤當(dāng)成n次全振動時間

D.開始計時時，秒表過早按下

【答案】AC

【解析】根據(jù)T=2M，,得且二^。以擺球直徑和擺線長之和作為擺長來進(jìn)行計算，

則/偏大，測得的g偏大，故A正確；單擺所用擺球質(zhì)量大小與重力加速度無關(guān)，故B錯

誤；把(〃一1)次全振動時間誤當(dāng)成〃次全振動時間，則周期測量值偏小，重力加速度測量值

偏大，故C正確；開始計時時，秒表過早按下，則測得的7偏大，則g測量值偏小，故D

錯誤。

2.(2023?河南鄭州高二期末)在“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)中。(如下圖所示)

(1)下列操作正確的是O

A.甲圖：小球從偏離平衡位置60。開始擺動

B.乙圖：細(xì)線上端用鐵夾子固定

C.丙圖：小球到達(dá)最高點(diǎn)時作為計時開始與終止的位置

D.丁圖：小球自由下垂時測量擺線的長度

(2)某同學(xué)通過測量30次全振動的時間來測定單擺的周期T,他在單擺經(jīng)過平衡位置時按下

秒表記為“1”，若同方向再次經(jīng)過平衡位置時記為“2”，在數(shù)到“30”時停止秒表，讀出這段時

間K算出周期7=工。其他操作步驟均正確。多次改變擺長時，他均按此方法記錄多組數(shù)

30

據(jù)，并繪制了￡圖像，則他繪制的圖像可能是O

(3)按照(2)中的操作，此同學(xué)獲得的重力加速度將.(選填“偏大”“偏小”或“不變

【答案】(1)BD(2)D⑶偏大

【解析】(1)擺線與豎直方向的夾角小于5。時，才可以認(rèn)為擺球的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動，故A

錯誤；細(xì)線上端應(yīng)用鐵夾子固定，防止松動引起擺長變化，故B正確；當(dāng)小球運(yùn)動到最低

點(diǎn)時開始計時誤差較小，故C錯誤；實(shí)驗(yàn)時應(yīng)該測量小球自由下垂時擺線的長度，故D正

確。

(2)根據(jù)得，/=強(qiáng)，可知N與乙成正比，故D正確，A、B、C錯誤。

Mgg

⑶實(shí)際的全振動次數(shù)為29,按30次計算，則計算得到的周期測量值偏小，根據(jù)g=*知,

測得的重力加速度偏大。

3.某同學(xué)在“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了如下的操作:

(1)用10分度(測量值可精確到01mm)的游標(biāo)卡尺測量擺球直徑，游標(biāo)卡尺的示數(shù)如圖甲所

示，擺球直徑為emo把擺球用細(xì)線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長，通過計算得到

擺長/o

(2)用停表測量單擺的周期。當(dāng)單擺擺動穩(wěn)定且到達(dá)最低點(diǎn)時開始計時并計數(shù)為0,單擺每經(jīng)

過最低點(diǎn)計數(shù)一次，當(dāng)數(shù)到〃=60時停表的示數(shù)如圖乙所示，該單擺的周期是7=

s(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。

甲乙

(3)測量出多組周期7、擺長/的數(shù)值后，畫出/一/圖像，此圖線的斜率左=(用重

力加速度g表示)。

(4)該小組的另一同學(xué)沒有使用游標(biāo)卡尺也測出了重力加速度。他采用的方法是：先測出一

擺線較長的單擺的振動周期外，然后把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L度△/,再測出其振動周期不。則

該同學(xué)測出的重力加速度的表達(dá)式為g=(用所測得的物理量符號表示)。

【答案】(1)2.06(2)2.25(3)~冶

gTi—Ti

【解析】(1)主尺上的讀數(shù)為2.0cm,游標(biāo)尺讀數(shù)為6x0.1mm=0.6mm=0.06cm,所以擺

球直徑為2.0cm+0.06cm=2.06cm。

(2)由單擺全振動的次數(shù)為彳=30,停表讀數(shù)為-67.5s,得該單擺的周期是7=2.25s。

對可知,圖線的斜率2如

(3)根據(jù)重力加速度的表達(dá)式g

g

（4）一擺線較長的單擺的振動周期％=2兀、把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L度A/,其振動周期乃=

一4兀2?△/

，解得g=

Ti-Ti

4.（2023春?北京西城?高二北京師大附中校考期中）某同學(xué)利用如圖所示的裝置測量當(dāng)?shù)氐?/p>

重力加速度。

實(shí)驗(yàn)步驟如下:

A.按裝置圖安裝好實(shí)驗(yàn)裝置；

B.用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑d；

C.用米尺測量懸線的長度4；

D.讓小球在豎直平面內(nèi)小角度擺動。當(dāng)小球經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計時，并計數(shù)為0,此后小

球每2次經(jīng)過最低點(diǎn)計數(shù)一次，依次計數(shù)1、2、3、…，當(dāng)數(shù)到20時，停止計時，測得時

間為t；

E.多次改變懸線長度，對應(yīng)每個懸線長度，都重復(fù)步驟C和D；

F.計算出每個懸線長度對應(yīng)的產(chǎn)；

G.計算出每個懸線長度對應(yīng)的擺長/=/。+弓；

H.以「為縱坐標(biāo)、/為橫坐標(biāo)，做出「一/圖像。

（1）用10分度的游標(biāo)卡尺測量小球的直徑。某次測量的示數(shù)如圖1所示，讀出小球的直徑

d為cm。

（2）該同學(xué)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，做出t2-l圖像,如圖2所示，由圖像擬合得到關(guān)系式r=1616.0/o

由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=_______m/s2=（m712=9.86,計算結(jié)果保留3位有效數(shù)

字。）

圖3

（3）另有三位同學(xué)進(jìn)行該實(shí)驗(yàn)，做出的圖像不同，如圖3所示。對比當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎岛?/p>

發(fā)現(xiàn)，圖線b所得數(shù)據(jù)最接近實(shí)際值。三條圖線中。和6平行，b和c都過原點(diǎn)。下列分析

中正確的是=

A.出現(xiàn)圖線。的原因可能是誤將擺線長當(dāng)作了擺長/

B.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將19次全振動記為20次

C.根據(jù)圖線c計算出的重力加速度數(shù)值小于根據(jù)圖線b計算的

D.根據(jù)圖線a計算出的重力加速度數(shù)值大于根據(jù)圖線b計算的

【答案】1.529.76AB

【詳解】（1）口］若用4表示由主尺上讀出的整毫米數(shù)，x表示從游標(biāo)尺上讀出與主尺上某

一刻線對齊的游標(biāo)的格數(shù)，則其讀數(shù)為

L—L。+kx

其中左為精確度，則讀出小球的直徑為

d=L0+kx=15mm+0.1mmx2=1.52cm

(2)[2]由題意知，擺長

,,d

l=l0+2

單擺的周期

T=—

20

根據(jù)單擺的周期公式

Y

聯(lián)立可得

產(chǎn)」600萬\

g

圖象的斜率

,，/,,八16。。/

g

解得

g=9.76m/s2

(3)[3]AD.由于

,2_1600/,

g

根據(jù)題意圖線b所得數(shù)據(jù)最接近實(shí)際值,6和c都過原點(diǎn)，可知圖線b是符合上式的擬合圖像,

若誤將擺線長4當(dāng)作了擺長/,則圖像會向上平移，形成圖線。，且三條圖線中。和6平行,

則圖線中a和6求出的重力加速度數(shù)值大小相等，故A正確，D錯誤；

BC.圖線。和6平行，所得數(shù)據(jù)最接近實(shí)際值，6和c都過原點(diǎn)，且圖線c的斜率較小，由

于

,16007T2

k=----------

g

可知，根據(jù)圖線。計算出的重力加速度數(shù)值大于根據(jù)圖線b計算的，且由

可知出現(xiàn)圖線C的原因可能是周期T計算小了，即可能誤將19次全振動記為20次，導(dǎo)致測

出的g值偏大，故B正確，C錯誤。

故選AB=

5.（2023春?廣西河池?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某物理課外活動小組準(zhǔn)備測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀?/p>

度，裝置如圖甲所示，將細(xì)線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小球，用刻度尺多次測量擺

線長度，并求出其平均值/,將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，小球通過最低

點(diǎn)時按下秒表同時數(shù)1,每次通過最低點(diǎn)計數(shù)一次，數(shù)到〃時停止計時，秒表的讀數(shù)為人

計算出單擺的周期T,多次改變擺線長度/并測出對應(yīng)的擺動周期兀

A.小球應(yīng)該選用密度大的鋼球或鐵球

B.擺線要選擇細(xì)些的，伸縮性小些的，并且盡可能長一些

C.應(yīng)該先懸掛擺球后再測量擺線的長度

D.單擺周期的計算式為？=工

n-\

（2）該小組以為縱軸、/為橫軸作出函數(shù)關(guān)系圖像，如圖乙所示，可以通過此圖像得出

當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。圖像斜率表示的物理意義是（用字母表示），由圖像求

出的重力加速度8=m/s2=（小數(shù)點(diǎn)后保留兩位）

（3）造成圖像不過坐標(biāo)點(diǎn)的主要原因是0

【答案】ABC—9.86計算擺長未加上擺球半徑

g

【詳解】（1）[1]ABC.為了減小空氣阻力的影響，小球應(yīng)該選用密度大的鋼球或鐵球，擺

線要選擇細(xì)些的，為了保持?jǐn)[長不變，擺線的伸縮性要小些的，擺線盡可能長一些是為了讓

擺的周期大一些，減小周期的誤差；為了減小測量誤差，應(yīng)該先懸掛擺球后再測量擺線的長

度，所以ABC正確；

D.因?yàn)槊拷?jīng)過最低點(diǎn)計數(shù)一次，所以單擺周期式應(yīng)為

T一

n-\

故D錯誤。

故選ABC0

（2）[2]由單擺的周期公式

得

T2=-L

g

所以圖像斜率表示的物理意義

k=Q

g

[3]由

4/_4

V-[99-(-l)]xl0-2

得

g=9.86m/s2

（3）[4]實(shí)驗(yàn)中用了線長當(dāng)做擺長,沒有加上擺球的半徑，所以造成圖像不過坐標(biāo)點(diǎn)的主

要原因是計算擺長未加上擺球半徑。

真題感悟

1（2023?山西?統(tǒng)考高考真題）一學(xué)生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)。

圖(a)圖(b)

（1）用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測微器，擰動微調(diào)旋鈕使

測微螺桿和測砧相觸時，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖（。）

所示，該示數(shù)為mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數(shù)如圖（6）所示，該示數(shù)為

mm,則擺球的直徑為mm。

（2）單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖（c）所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點(diǎn)。處，

擺線在角度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在。點(diǎn)上方，則擺線在角度盤

上所指的示數(shù)為5。時，實(shí)際擺角5。（填“大于”或“小于”）。

（3）某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長度為81.50cm,則擺長為emo實(shí)驗(yàn)中觀測到從

擺球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過最低點(diǎn)的時間間隔為54.60s,則此單擺周期為

s,該小組測得的重力加速度大小為m/s2?（結(jié)果均保留3位有效數(shù)字，無2取9.870）

【答案】0.006/0.007/0.00820.034/20.033/20.035/20.03220.027/20.028/20,029

大于82.51.829.83

【詳解】（1）[1]測量前測微螺桿與和測砧相觸時，圖（a）的示數(shù)為

d0=0mm+0.7x0.01mm=0.007mm

[2]螺旋測微器讀數(shù)是固定刻度讀數(shù)（0.5mm的整數(shù)倍）加可動刻度（0.5mm以下的小數(shù)）讀數(shù)，

圖中讀數(shù)為

4=20mm+3,4x0.01mm=20,034mm

[3]則擺球的直徑為

d=d、—d。=20.027mm

（2）[4]角度盤的大小一定，即在規(guī)定的位置安裝角度盤，測量的擺角準(zhǔn)確，但將角度盤固

定在規(guī)定位置上方，即角度盤到懸掛點(diǎn)的距離變短，同樣的角度，擺線在刻度盤上掃過的弧

長變短，故擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5。時，實(shí)際擺角大于5。；

（3）[5]單擺的擺線長度為81.50cm,則擺長為

,,d2.0027℃「

I=/?H■—=81.50cmH----------cm=82.5cm

°22

結(jié)果保留三位有效數(shù)字，得擺長為82.5cm；

[6]一次全振動單擺經(jīng)過最低點(diǎn)兩次，故此單擺的周期為

T=-=^^-s=1.82s

N30

[7]由單擺的周期表達(dá)式T=得，重力加速度

g=y^-=9.83m/s2

2.（2020?浙江?統(tǒng)考高考真題）某同學(xué)用單擺測量重力加速度，

①為了減少測量誤差，下列做法正確的是（多選）；

A.擺的振幅越大越好

B.擺球質(zhì)量大些、體積小些

C.擺線盡量細(xì)些、長些、伸縮性小些

D.計時的起、止位置選在擺球達(dá)到的最高點(diǎn)處

②改變擺長，多次測量，得到周期平方與擺長的關(guān)系圖象如圖所示，所得結(jié)果與當(dāng)?shù)刂亓?/p>

速度值相符，但發(fā)現(xiàn)其延長線沒有過原點(diǎn)，其原因可能是O

O

A.測周期時多數(shù)了一個周期

B.測周期時少數(shù)了一個周期

C.測擺長時直接將擺線的長度作為擺長

D.測擺長時將擺線的長度加上擺球的直徑作為擺長

【答案】BCC

【詳解】①口].A.單