1、高三數(shù)學(xué)幾何中的角度距離（文）人教實驗版（A）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：立體幾何中的角度距離二. 重點、難點：1. 角度（1）兩條異面直線所成角（2）直線與平面所成角（3）二面角2. 距離（1）作垂線 （2）體積轉(zhuǎn)化【典型例題】例1 PA、PB、PC兩兩垂直，與PA、PB所成角為45°，60°，求與PC所成角。解：構(gòu)造長方體 例2 正四棱錐SABCD中，AB=，SA=，M為SA中點，N為SC中點。（1）求BN，DM所成角的余弦值；（2）P、Q在SB、CA上，求PQ與底面ABCD所成角的正切值。解：（1）MEFDH為SN中點 異面直線MD、BN所成角的余弦值為（2）過P

2、作PH/SO交BD于H PH面ABCD PQH為PQ與底面所成角 例3 SA面ABC，ABBC，DE在面SAC內(nèi)，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角（1）BSCA的余弦值；（2）EBDC。解：（1）面DEB DEB為二面角ASCB的平面角面SAC EDC為二面角CBDE的平面角 AB=SA=1 AC= SC=2 BE=1 DE= CD= 例4 正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=1，求：（1）D到面D1AC的距離；（2）C到面AB1D1的距離；（3）M為BB1中點，M到面D1AC的距離；（4）AC1與BB1的距離解：（1）連BDAC=E過D作DFD1E于

3、F， DF為距離 （2）設(shè)C到面AB1D1的距離為h （3）連DM交D1E于H，設(shè)M到面D1AC距離為 （4）例5 四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，AB=2，BAD=60°，PB=PD，PA=PC=，求：（1）B到面PAD的距離；（2）BC與PA的距離；（3）AC與PD的距離。解：（1）ACBD=H，連PHBF為所求PA=，AH，PH，PB=2 BE=DE=，BD=2 BF= 另 （2）（BC，面PAD）=（B，面PAD）=（3）過H作HMPD于M為公垂線例6 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，A為直角，AB/CD，AB=4，AD=2，

4、DC=1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值。解析：由題意AB/DC C1BA是異面直線BC1與DC所成的角，連結(jié)AC1與AC，在中，可得AC=，又在RtACC1中，可得AC1=3，在梯形ABCD中，過C作CH/AD交AB于H，得CHB=90°，CH=2，HB=3， CB=，又在RtCBC1中，可得BC2=在中， 異面直線BC1與DC所成角的余弦值為例7 已知B、C是平面與平面的交線上的兩點，AB=BC=CD=2，AC=BD=，E、F分別是AC和BD的中點，且EF=。（1）求證：BC是異面直線AB與CD的公垂線；（2）求AB與CD所成角的大小。解析：（1）證明：題設(shè)給出一系列數(shù)據(jù)，

5、通過計算得，=，可知和都是直角三角形，其中ABC和BCD是直角，即BCAB，BCCD。即BC是異面直線AB與CD的公垂線（2）取BC中點為G，如圖，可知EGF（或其補(bǔ)角）是AB與CD所成的角，在EGF中，由余弦定理得，故，即AB與CD所成的角為60°。例8 如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都等于，P，Q分別是棱B1C1和A1A的中點。（1）求異面直線AB和PC所成角的余弦值；（2）求銳二面角BPQC的大小。解析：（1）選取A1C1中點M，連結(jié)PM，MC，則由于M，P分別是A1C1和B1C1的中點，所以MP。而A1B1AB，所以MP。從而MPC為異面直線AB和PC所成的角

6、或其補(bǔ)角。又在CMP中，由余弦定理，得因此異面直線AB和PC所成的角余弦值為。（2）在中，在中，在中，在中，從而BQP中和CQP是兩個具有公共底邊的等腰三角形取PQ中點N，連結(jié)BN，CN，則BNPQ，CNPQ，從而BNC為二面角BPQC的平面角。連結(jié)A1P，則在中，所以BN=CN=即BNC為正三角形，BNC=60°，因此銳二面角BPQC的大小為60°例9 如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1。求：（1）BF的長；（2）點C到平面AEC1F的距離。解析：（1）過E作EH/BC交CC1于H，則CH=

7、BE=1，EH/AD，且EH=AD又 AF/EC1 FAD=C1EH DF=C1H=2 （2）延長C1E與CB延長線交于G，連結(jié)AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG過C作CMAG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AGC1M，由于AG面C1MC，且AG面AEC1F 面AEC1F面C1MC，在中，作CQMC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到平面AEC1F的距離由可得BG=1，從而AG=由GAB=MCG知，CM=3cosMCG=3cosGAB=例10 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點（1）求證：A1EBD；（2）當(dāng)E恰為棱CC1的中點時，求證：平面A1BD平面E

8、BD；（3）在棱CC1上是否存在一個點E，可以使二面角A1BDE的大小為45°？如果存在，試確定點E在棱CC1上的位置；如果不存在，請說明理由。解析：連結(jié)AC，設(shè)ACDB=O，連結(jié)A1O，OE（1）證明： A1A底面ABCD BDA1A又BDAC BD平面ACEA1 平面ACEA1 A1EBD（2）證明：在等邊三角形A1BD中，BDA1O，而BDA1E，A1O平面A1OE，A1E平面A1OE，A1OA1E=A1， BD平面A1OE，于是BDOE A1OE為二面角A1BDE的平面角在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)棱長為 E為棱CC1的中點，由平面幾何知識，得EO=，A1O=，A1

9、E=，滿足 ，即平面平面EBD（3）在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)棱CC1上存在點E，可以使二面角A1BDE的大小為45°，同（2），有設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為，EC=x，由平面幾何知識得， 在中，由得，解得這里， 棱CC1上不存在滿足條件的點。例11 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D為棱CC1上的一動點，M，N分別為ABD，A1B1D1的重心。（1）求證：MNBC；（2）若二面角CABD的正切值為，求點C1到平面A1B1D1的距離；（3）若點C在ABD上的射影正好為M，試判斷點C1在A1B1D1的射

10、影是否為N？并說明理由。解析：（1）證明：連結(jié)DM，DN并延長，分別交AB，A1B1于P，Q，連結(jié)PQ M，N分別為ABD，A1B1D的重心，則P，Q分別為AB，A1B1的中點 PQ/BB1 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1BC MNBC（2）連結(jié)CP， AC=BC CPAB又 CC1面ABC DPAB CPD即為二面角CABD的平面角， CPD=在中，AC=BC=2， CP=在中， 連結(jié)C1Q，C1Q=CP= 同上可知，DQA1B1 設(shè)C1到面DA1B1的距離為 （3） C1M面ABD C1MDP CD=2 C1D=2，則DQ=DP MN/PQ DM=DN 又 A1B1面C1CPQ A

11、1B1C1N C1N面A1B1D1 C1在面A1B1D1內(nèi)的射影即為N例12 已知四邊形ABCD為直角梯形，AD/BC，ABC=90°，PA平面ABC，且PA=AD=AB=1，BC=2（1）求PC的長；（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大??；（3）求證：二面角BPCD為直二面角。（1）解：因為PA平面AC，ABBC PBBC，即PBC=90°，由勾股定理得 （2）解：如圖，過點C作CE/BD交AD的延長線于E，連結(jié)PE，則PC與BD所成的角為PCE或它的補(bǔ)角 CE=BD=，且PE= 由余弦定理得 PC與BD所成角的余弦值為（3）證明：設(shè)PB、PC中點分別為G、F，連

12、結(jié)FG、AG、DF，則GF/BC/AD，且，從而四邊形ADFG為平行四邊形，又AD平面PAB， ADAG，即ADFG為矩形，DFFG，在PCD中，PD=，CD=，F(xiàn)為BC中點， DFPC，從而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD為直二面角。【模擬試題】1. 湖面上漂著一個球，湖面結(jié)冰后將球取出，冰面上留下一個圓面直徑為24，深為8的穴，則該球的表面積為（ ） A. 676 B. 576 C. 512 D. 2562. 已知直線和平面M，則的一個必要不充分條件是（ ）A. B. C. D. 與平面M成等角3. 長方體ABCDA1B1C1D1的長、寬、高分別為，2，1，若長方體

13、的各頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ） A. B. C. 28 D. 4. 命題：若平面，平面，則必有；命題：若平面上不共線的三點到平面的距離相等，則必有。對以上兩個命題，下列結(jié)論中正確的是（ ）A. 命題“p且q”為真B. 命題“p或”為假C. 命題“p或q”為假D. 命題“且”為假5. 已知二面角的平面角為，PA，PB，A，B為垂足，PA=5，PB=4，設(shè)A，B到二面角棱的距離分別為x，y，當(dāng)變化時，點（x，y）的軌跡是下列圖形中的（ ）6. 正方體的棱長為，連結(jié)正方體相鄰各面的中心構(gòu)成的幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱錐SABCD中，點E是BC中點，動

14、點P在側(cè)面SCD上運(yùn)動，且總有PEAC，則動點P的軌跡是（ ）A. SC的中點B. 點S與CD中點的連線C. 線段SCD. SC中點與CD中點的連線8. A，B是直線外的兩點，過A，B且和平行的平面的個數(shù)是（ ） A. 1個 B. 無數(shù)個 C. 1個或無數(shù)個 D. 以上都不對9. 下列命題中不正確的是（其中表示直線，表示平面）（ ）A. B. C. D. 10. 已知直線與平面滿足，和，那么必定有（ ）A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且11. 對于已知直線，如果直線同時滿足下列三個條件： 與是異面直線； 與所成的角為定值； 與的距離為，那么這樣的直線有（ ） A. 1條 B. 2條 C.

15、 3條 D. 無數(shù)條12. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是（ ） A. B. C. D. 13. 設(shè)ABC和DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=，CBA=CBD=120°，則AD與平面BCD所成的角為（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°14. 已知AOB=90°，過O點引AOB所在平面的斜線OC，與OA、OB分別成45°、60°，則以O(shè)C為棱的二面角AOCB的余弦值等于 。15. 正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面積之比為2：3，則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為 。16. 正方形ABCD邊長為2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角（如圖），M為矩形AEFD內(nèi)一點，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為（ ）A. B. 1 C. D. 17. 三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90°，設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為，則A1C1與的距離為（ ） A. B. C. 2.6 D.