1、2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷解析一、填空題(共14小題)1 .已知集合 A= -1, 0, 1 , 6, B = x|x>0, xCR,則 AAB =2 .已知復(fù)數(shù)(a+2i) (1 + i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù) a的值是3 .如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是./輸出S/4 .函數(shù) y=Jt+Gxm 2的定義域是5 .已知一組數(shù)據(jù) 6, 7, 8, 8, 9, 10,則該組數(shù)據(jù)的方差是 .6 .從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.7 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若雙曲線 x2-%=1 (b>0)經(jīng)

2、過點(diǎn)(3, 4),則該雙曲線的漸近線方程是.8 .已知數(shù)列an (nCN*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0, S9 = 27,則S8的值是.10.在平面直角坐標(biāo)系小值是11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn) A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e, - 1) (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是12.如圖，在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊 AB上，BE=2EA, AD與CE交于點(diǎn) O.若AB?AC = 6AU?EC,則金殳的值是AC13.已知tan口 不tan(ct+)2則sin (2/jra)的值是14.設(shè) f (x)g (x)是定義在R上的兩個(gè)周期函

3、數(shù),f (x)的周期為4,(x)的周期為2,且f (x)是奇間(0,xC (0, 2時(shí)，f9上，關(guān)于x的方程f ( x) = gg (x)=1<z<27其中k>0.若在區(qū)(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍的體積是120, E為CCi的中點(diǎn)，則三棱錐 E-BCD的體積是 xOy中，P是曲線y=x+a (x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最11小題)15.在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.(1)若 a=3c,sinAcosB2b,求 sin (B+2)的值.16.如圖，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，D, E分別為BC ,

4、 AC的中點(diǎn)，AB = BC.求證：(1) AiBi/平面 DECi;(2) BEXCiE.0).過.連結(jié)17 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C：三+?=i (a>b>0)的焦點(diǎn)為Fi ( - i, 0) , F2 (i,kIIb2IF2作x軸的垂線l,在x軸的上方，i與圓F2： (x- i) 2+y2=4a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)DAFi并延長交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié)DFi.已知DFi*.(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).(i)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；18 .如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為 。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路 1,湖上有橋AB（AB是圓。的直徑）.規(guī)劃在

5、公路1上選兩個(gè)點(diǎn)P, Q,并修建兩段直線型道路 PB, QA,規(guī)劃要求：線段 PB, QA上的所有點(diǎn) 到點(diǎn)。的距離均不小于 圓。的半徑.已知點(diǎn) A, B到直線1的距離分別為 AC和BD （C, D為垂足），測(cè)得 AB=10, AC=6, BD= 12 （單位：百米）.（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路 PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在 D處？并說明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路 PB和QA的長度均為d （單位：百米），求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.19 .設(shè)函數(shù) f (x) = ( x- a) (x- b) (x- c), a, b, cCR, f' (

6、x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若 a=b=c, f (4) = 8,求 a 的值；(2)若awb,b=c,且f(x)和f( x)的零點(diǎn)土在集合 - 3, 1, 3中，求f(x)的極小值;(3)若 a=0, 0vbW1, c=1,且 f (x)的極大值為 M,求證：Mw_L.20.定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M -數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列an (nCN*)滿足：a2a4 = a5, a3-4a2+4ai= 0,求證：數(shù)列an為"M-數(shù)列"；(2)已知數(shù)列bn (nCN*)滿足：bi=1, ,其中Sn為數(shù)列J bn的前n項(xiàng)和.N N M求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；設(shè)

7、m為正整數(shù)，若存在“ M-數(shù)列” cn (nCN*),對(duì)任意正整數(shù) k,當(dāng)k< m時(shí)，都有Ck< bk< ck+i 成立，求m的最大值.附加題21.已知矩陣A=.2 2.(1)求 A2；(2)求矩陣A的特征值.3.22.在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn) A (3, B (V2,直線1的方程為psin ( 0+ ：)(1)求A, B兩點(diǎn)間的距離；(2)求點(diǎn)B到直線l的距離.23.設(shè) xCR,解不等式 X|+|2x-1|>2.24.設(shè)(1 + x) n = ao+aix+a2X2+ anxn, nn 4 -> n 玳*.已知 a32=2a2a4.(1)求n的值；(2)設(shè)(1+n

8、=a+b/3,其中 a, bCN*,求 a23b2 的值.25.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點(diǎn)集 An= (0, 0), (1, 0), (2, 0),，(n, 0) , Bn= (0, 1),(n, 1) , ?n= (0, 2), (1, 2), (2, 2),，(n, 2) , n CN* .令 Mn=AnUBnU?n.從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.(1)當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；(2)對(duì)給定的正整數(shù) n (n>3),求概率P (X<n)(用n表示).2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案一、填空題(共14小題)1 .【分析】直接利用交集運(yùn)

9、算得答案.【解答】解：."= 1, 0, 1, 6, B = x|x>0, xCR,.AnB=- 1, 0, 1, 6 AxX>0, xCR=1, 6. 故答案為：1 , 6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2 .【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0求的a值.【解答】解： ( a+2i) (1 + i) = (a2) + (a+2) i 的實(shí)部為 0,a - 2= 0,即 a = 2.故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.S的值，模擬程序以便得出正確的結(jié)論,3 .【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的

10、功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得x= 1, S= 0S= 0.5不滿足條件x>4,執(zhí)行循環(huán)體，x=2, S=1.5不滿足條件x>4,執(zhí)行循環(huán)體，x=3, S=3不滿足條件x>4,執(zhí)行循環(huán)體，x=4, S=5 此時(shí)，滿足條件x>4,退出循環(huán)，輸出 S的值為5. 故答案為：5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程,是基礎(chǔ)題.4 .【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解一元二次不等式得答案.【解答】解：由7+6xx2>0,彳導(dǎo)x2 - 6x- 7<

11、0,解得：-1WxW7.，函數(shù)y=MH/的定義域是1，7- 故答案為：-1, 7.【點(diǎn)評(píng)】5.【分析】【解答】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.8, 8, 9, 10的平均數(shù)，由此能求出該組數(shù)據(jù)的方差.8, 9, 10的平均數(shù)為：先求出一組數(shù)據(jù)6, 7, 解：一組數(shù)據(jù)6, 7, 8(6+7+8+8+9+10 )=8,該組數(shù)據(jù)的方差為：1S2 = - (6-8) 2+ (7-8) 2+ (8-8) 2+ (8-8) 2+ (9-8) 2+ (10-8) 2=故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查一組數(shù)據(jù)的方差的求法，考查平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基6.礎(chǔ)題

12、.【分析】基本事件總數(shù) n=C： = 10,選出的2名同學(xué)中至少有 1名女同學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù)m =C3CC = 7,由此能求出選出的 2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率. 1J 匚工【解答】解：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，基本事件總數(shù)n=c. = 10,選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù)：m= cgc；+ca = 7，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是 p=旦一L.n 10故答案為：J-.10【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.7.【分析】把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求得

13、b,則雙曲線的漸近線方程可求.2【解答】 解：二雙曲線x2-昱7=1 (b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3, 4),b232再二 1，解得 b2=2,即 b =也.I又a=1, 該雙曲線的漸近線方程是y= 土訴乩故答案為：y=c8c.23292614;學(xué)號(hào):本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.8.設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求解首項(xiàng)與公 差，再由等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和求得S8的值.解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d, (之廿d) (e +4d)+ a則 gxg,解得95+d=27=6X ( 5) +15X2= 16.故答案為：16.本題

14、考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題.9.推導(dǎo)出A L .=AB X BC X DDi= 120 ,三棱錐 E- BCD 的體積： Ve - bcd =X ABX BCXDD121,由此能求出結(jié)果.【解答】解：.長方體 ABCD - A1B1C1D1的體積是120, E為CCi的中點(diǎn),=ABX BCX DDi= 120,，三棱錐E-BCD的體積:XABX BCXDD1VE BCD=yXSABCDxd12=10.故答案為：10.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的求法，考查長方體的結(jié)構(gòu)特征、三棱錐的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.10.【分析】利用導(dǎo)數(shù)

15、求平行于 x+y=0的直線與曲線y=x+2 (x> 0)的切點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)P到直線x+y = 0的距離的最小值.【解答】 解：由y=x+ (x>0),得y' = 1設(shè)斜率為-1的直線與曲線y=x+± (x>0)切于(xO,算口十工)，由L1,解得飛二五(x0>0).s0曲線 y=x+(x>0)上，點(diǎn)P (泥，又回)至I直線x+y=0的距離最小,最小值為U+士'V2故答案為：4.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔 題.11.【分析】【解答】設(shè)A (x°, ln

16、xO),利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在A處的切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解x0即可.解：設(shè) A (x。，lnx。)，由 y=lnx,得 y'/ I J,則該曲線在點(diǎn)A處的切線方程為 后5町,一切線經(jīng)過點(diǎn)(-e, -1),，TTnH0二一Kg即,貝U x0=e.x0二.A點(diǎn)坐標(biāo)為(e, 1).故答案為：(e, 1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,區(qū)分過點(diǎn)處與在點(diǎn)處的不同,是中檔題.12.【分析】首先算出,然后用 、 表示出、，結(jié)合 ？=6? 得,進(jìn)一步可得結(jié)果.【解答】解：設(shè)=入=(),=+=+!=+!()=(1. Q +!1=+( ),6?=6X (=(+=3,故答案為：【

17、點(diǎn)評(píng)】 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計(jì)算，考查計(jì)算能力.13.【分析】由已知求得tana,分類利用萬能公式求得sin2 a, cos2a的值，展開兩角和的正弦求sin(2“+)的值.【解答】解：由=-，得,解得 tan a= 2 或 tan當(dāng) tan a= 2 時(shí)，sin2 a=COs2 a= sin(2 必十)=31口20。口£?？?20 3總=!><除4工旁二條； ""TQ&t_)工J_ U當(dāng) tana= 時(shí)，sin2a= 2 十上門口=_, cos2 a=1z擔(dān)Ihf!_=±,31+tan2口5Iftan2 C

18、l 5' sin (2a+?)=sin2ttco£r<:Os2a：sinry=X4y X-=1-綜上，sin (2 a+2L)的值是返. 410故答案為：亞.10【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查兩角和的三角函數(shù)及萬能公式的應(yīng)用，是基 礎(chǔ)題.14.【分析】【解答】由已知函數(shù)解析式結(jié)合周期性作出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.解：作出函數(shù)f (x)與g (x)的圖象如圖，,5<x<6, 7<x<8)僅有 2 個(gè)實(shí)數(shù)根；要使關(guān)于x的方程f (x) = g (x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則 f(x) =1:1，xC (02與g (x) = k (x

19、+2), xC (0, 1的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn),由(1,0)到直線kx-y+2k=0的距離為1,得=1,解得(k>0),兩點(diǎn)(-2, 0), (1, 1)連線的斜率【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.解答題（共11小題）15.【分析】（1）由余弦定理得:R曉 cosB=-=2ac(2)由,cosB =.cosB2b等,解：（1） .在 ABC中，角a=3c, b=近,cosB = m10c2-2 2利用正弦定理得2sinB= cosB由此利用誘導(dǎo)公式能求出 sinA, B, C的對(duì)邊分別為a, b,由此能求出c的值.再由 sin2B

20、+cos2B= 1,能求出 sinB(B+-2）的值.c.由余弦定理得:cosB =34c一 一匕2ac10 c2-26c解得c=.sinAI cosB2b，由正弦定理得:sinA sinB cosB2b2sinB= cosB,sin2B+cos2B=1,sinB =sin ( B+ 2)=cosB =本題考查三角形邊長、三角函數(shù)值的求法，考查正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.16.【分析】(1)推導(dǎo)出 DE/AB, AB/A1B1,從而 DE/A1B1,由此能證明 A1B1/平面 DEC1.（2）【解答】證明：（1）DE / AB

21、, DE?平面推導(dǎo)出BEXAA1, BEXAC,從而BE,平面ACC1A1,由此能證明 BECE.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D, E分別為BC, AC的中點(diǎn)，AB / A1B1,DE / A1B1,DEC1, A1B1?平面 DEC1,A1B1/平面 DEC1.解：(2)二,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)，AB=BC.- BE±AAb BEXAC,又 AAnAC = A,BE,平面 ACC1A1,CE?平面 ACC1A1, BEXC1E.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知 識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查

22、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.17.【分析】(1)由題意得到FiD/ BF2,然后求AD,再由AD = DFi=1求得a,則橢圓方程可求；2(2)求出D的坐標(biāo)，得到江口口二人口寫出BF2的方程，與橢圓方程聯(lián)立即叫叫 2 4可求得點(diǎn)E的坐標(biāo).【解答】 解：(1)如圖，: F2A=F2B,F2AB=/ F2BA,. F2A=2a=F2D + DA=F2D + FiD,，AD = FiD,則/ DAFi = /DFiA, Z DFiA=Z F2BA,則 FiD / BF2,22. c= i,b2=a2- i,則橢圓方程為 3一+二一二1，a2 32-1222取 x=i,得¥ = a T ,貝U

23、AD=2a-25_ZL=.?_±L.D aa a又 DFi一，馬上！二1_,解得 a=2 (a>0).& ad22.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為區(qū)一+工一二1；43(2)由(I)知，D (i, -1), Fi ( I, 0),3_山里力|"春貝u BF2： y=/(xT)，得 2ix2 i8x- 39 = 0.解得xi= - i或_ 3一司即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-I, -1-).DFi/ BF 2是解答該題【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線與圓，圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，證明的關(guān)鍵，是中檔題.18.【分析】(1)設(shè)BD與圓。交于M,連接AM ,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為x軸，建立直

24、角坐標(biāo)系，則A (0, - 6), B (- 8, - 12), D (- 8, 0)設(shè)點(diǎn)P (x1，0), PBXAB,運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求得P的坐標(biāo)，可得所求值；(2)當(dāng)QALAB時(shí)，QA上的所有點(diǎn)到原點(diǎn) 。的距離不小于圓的半徑，設(shè)此時(shí) Q (地,0),運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求得Q的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；(3)設(shè) P (a, 0), Q (b,0),貝U a< 17, b>-,結(jié)合條件，可得 b的最小值,由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算可得 解：設(shè)BD與圓。交于M,連接PQ.AB為圓。的直徑, 即有 DM =AC=6 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)設(shè)點(diǎn) P (x

25、1, 則 kBP?kAB = - 1,可得 AM ± BM ,BM = 6, AM = 8,l為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則 A (0, - 6) , B ( - 8, - 12), D ( - 8,0), PBXAB,0)Q-(-ia ?-S-(-12)l . 1盯一(-8) 0-(-8)解得 xi= - 17,所以 P (-17, 0), PB = J(-U),(葉 2 = 15；(2)當(dāng)QAAB時(shí)，QA上的所有點(diǎn)到原點(diǎn) 。的距離不小于圓的半徑，設(shè)此時(shí) Q (x2, 0)貝U kQA?kAB= - 1 ,即9Q0)由-17< - 8< -,在此范圍內(nèi)，不能滿足2所以P,

26、Q中不能有點(diǎn)選在 D點(diǎn)；PB, QA上所有點(diǎn)到。的距離不小于圓的半徑,本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率和兩直線垂直的條件：斜率之積為-及兩點(diǎn)的距離公式，分析問題和解決問題的能力，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.【分析】或x=T.根據(jù)f (x)和f' (x)的零點(diǎn)均在集合 A= -3, 1, 3中，通過分類討論可得：只有a=3, b=- 3,可得=1 6A,可得：f (x) = (x-3) (x+3)，PB2= (a+8) 2+144>225,(3)設(shè) P (a, 0), Q (b, 0),則 aw 17, b> 一2QA1,(1)由 a = b= c,可得 f (

27、x) = ( x - a) 3,根據(jù) f (4) = 8,可彳導(dǎo)(4 - a) 3= 8,解得. awb, b=c,設(shè)f(x) = (xa) (x b)2.令 f(x) = (x a) (x b)2= 0=b2+36>225,貝U b>3/21,當(dāng) d 最小時(shí)，PQ= 17+3歷.2.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得X= 1時(shí)，函數(shù)f(X)取得極小值.(3) a=0, 0vbwi, c=1, f (x) = x (x b) (x 1). f' (x) = 3x2- (2b+2) x+b. >0.令 f' (x) =3x2 (2b+2) x+b=0.解得:s,，x2.

28、xix2,可得 x= xi 時(shí)，f (x)取得極大值為M,通過計(jì)算化簡即可證明結(jié)論.【解答】 解：(1) = a= b= c,. f (x) = ( x . f (4) = 8, . ( 4- a) 3=8,.4-a= 2,解得 a=2.(2) aw b, b = c,設(shè) f (x) = ( x a) 令 f (x) = ( x a) (x b) 2= 0,解得 f' ( x) = (x-b) 2+2 (x-a) (x-b)a) 3,(x- b) 2.x= a,或 x= b.=(x b) (3x b 2a).令 f ( x) =0,解得 x= b,或 x=f (x)和f' (x

29、)的零點(diǎn)均在集合 A=-3, 1, 3中,若：a= - 3, b= 1,則2a+b -6+1?A,舍去.a= 12a+b 2-3-?A,舍去.3a=一3, b=3,則2a+b -6+3=-1?A,舍去.a= 3b=1,則2a+b 6+1 7?A,舍去.a= 1b=3,則2a+b 5?A,舍去.a= 32a+b 6-3=1A,.因此 a= 3, b= 3,1 A,可得：f (x) = ( x - 3) (x+3) 2f ( x) = 3x - (- 3) (x-1).可得x=1時(shí)，函數(shù)f (x)取得極小值，f (1) =- 2X42=- 32.(3)證明：a = 0, 0vbW1, c= 1,f

30、 (x) = x (x b) (x 1).f' ( x) = ( x - b) (x- 1) +x (x- 1) +x (x - b) = 3x2 - ( 2b+2) x+b. =4(b+1) 2-12b=4b2-4b+4=4b±) 2+3'3.令 f' (x) =3x2- (2b+2) x+b=0.x1+x2 =解得:IxH+V'b'bFLx2=3.x1x2,可得x=xi時(shí)，f (x)取得極大值為 M,(2b+2) xi+b=0,可得:(2b+2) xi- b,M = f (xi) = xi ( xi b) (xi 1)(xi - b) (n

31、j-xi) = ( xi - b)-xi) =- (2b- i)2b2xi+b2i(2b+2) Ki -b 99 i 9s件 K2bT)2b. i +/=卷(-2 b、2b2)工 1 + bJb，j01 y1M 在 xiC (0,1 2b2+2b- 2= - 2上單調(diào)遞減,2mwQ警Wb4b)=售產(chǎn)噌M w JL.27【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方 法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.20【分析】(i)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,然后根據(jù)a2a4=a5, a3-4a2+4ai= 0列方程求解，在根據(jù)新定義判斷即可；(2)求出b2,

32、b3, b4猜想bn,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；(3)設(shè)cn的公比為q,將問題轉(zhuǎn)化為2庫警尸 然后構(gòu)造函數(shù)f(x)k E3Xjnxri=皿(冗>3)，g (x)=警&<3)，分別求解其最大值和最小值，最后解不等式里即可.PS【解答】 解：(i)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則由 a2a4=a5, a3- 4a2+4ai= 0,得a I 1 q-24a】q -a 1q2人q -4a ! q+4aI = 0，數(shù)列an首項(xiàng)為i且公比為正數(shù)即數(shù)列an為“M-數(shù)列”；1 Q 0bi=i,4bn+l業(yè) 1122，當(dāng) n=i 時(shí)，=：-=-,- b2=2, b b bg1199當(dāng) n = 2 時(shí)

33、，'一不一一二-, b3=3,近 bi + b2 b2 b2,1192當(dāng) n = 3 時(shí)， =- -二,b4= 4,*3 bj+b2+b3 b3 b4猜想bn=n,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明；(i)當(dāng) n=i 時(shí)，bi=i,滿足 bn=n,(ii)假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 bk=k,則n=k+i時(shí),得_ k+1 .%飛kf 2%二-k故n = k+1時(shí)結(jié)論成立，根據(jù)(i) (ii)可知，bn=n對(duì)任意的nCN*都成立.故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn= n；設(shè)cn的公比為q,存在“M-數(shù)列” cn (n CN*),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)kwm時(shí)，都有Ck w bkW ck+i成立, 即qk 1<

34、; k<k對(duì)k< m恒成立，當(dāng)k>3,兩邊取對(duì)數(shù)可得， 甲y警對(duì) k< m有解，令f (x)=應(yīng)(了3)，貝UF (幻二，當(dāng)x>3時(shí)，f (x) v 0,此時(shí)f (x)遞增,令弧宣)二11皿，則/ (工)二號(hào),當(dāng) x>3 時(shí)，？(x) v 0,即 g' (x) v 0,1. g (x)在3, +00)上單調(diào)遞減，即k"時(shí)，普.毒，則1口3 j Inm下面求解不等式琴坨3m-1化簡，得 3lnm - (m-1) ln3< 0,令 h (m) = 3lnm ( m 1) ln3,則 h' (m) = - - ln3,：T由 k&g

35、t;3 得 m> 3, h' (m) < 0, h (m)在3, +°0)上單調(diào)遞減，又由于 h (5) =3ln5 4ln3=ln125-ln81>0, h (6) = 3ln6 5ln3= ln216 ln243v 0,，存在 moC (5, 6)使得 h (m。)= 0,111，m的最大值為5,此時(shí)qe；j3 , 54 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由遞推公式求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式恒成立，考查了數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法，是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合性問題，屬難題.當(dāng)k=1時(shí)，q>1,當(dāng)k= 2時(shí)， 乒<工附加題21.【分析】（1）根據(jù)矩陣A直接求解A2即

36、可；（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f （入）=入-3 T =岸-5葉4,解方程f （入）=0即可.-2-2【解答】L2 2JL 2 2JJ""10 6（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為：X T -1f（入）=%一5 入+4，-2 人-2令f （ X） =0,則由方程產(chǎn)-5H4 = 0,得入=1或入=4,，矩陣A的特征值為1或4.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了矩陣的運(yùn)算和特征值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算與求解能力，屬基礎(chǔ)題.22.【分析】（1）設(shè)極點(diǎn)為O,則由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2CA-OBccsZAOB，解出AB；（2）根據(jù)直線l的方程和點(diǎn)B的坐標(biāo)可直接計(jì)算 B到直線l的距離.【解答】

37、 解：（1）設(shè)極點(diǎn)為O,則在 OAB中，由余弦定理，得ab2 = oa2+ob2 - 2OA*0BcosZ A0B,AB=+（歷2X3X75X3 4T）=4 ；（2）由直線1的方程psin （ 0+） =3,知4直線l過（3盤,）,傾斜角為W工，24又B （也,看），點(diǎn)B到直線l的距離為【點(diǎn)評(píng)】23.【分析】本題考查了在極坐標(biāo)系下計(jì)算兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離，屬基礎(chǔ)題.對(duì)|x|+|2x-1|去絕對(duì)值，然后分別解不等式即可.【解答】解:|x|+|2x 1| =（13«-1,工>不-k+1）工與-3x+l * x<0|x|+|2x- 1|>2,x> 1 或 x

38、C ?或 x< -3k+1>2 工<0，不等式的解集為x|xv-1或x> 1.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.24.【分析】(1)運(yùn)用二項(xiàng)式定理，分別求得 a2, a3, a4,結(jié)合組合數(shù)公式，解方程可得n的值；(2)方法一、運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合組合數(shù)公式求得a, b,計(jì)算可得所求值；方法二、由于a, bCN*,求得(1-6)5=a b/3,再由平方差公式，計(jì)算可得所求 值.可得 a2=c2=M£n 2【解答】 解：（1）由（1+x） n=C0+Clx+c2x2+cXn, n>4, n n n n-1- - ：l ii -Cl -1 二 -：i-,a4C6日242=2_L?- '