1、12. 同時擲3枚質地均勻的硬幣，則至多有1枚硬幣正面向上的概率為_3. 一、填空題 1. 常數 時， （其中 ）可以作為離散型隨機變量的概率分布. 概率論與數理統(tǒng)計作業(yè)4（2.12.2）_b (1)kbpk k1,2,.k )2( PX )2( XP，則121594. 0312e第1頁/共53頁2二、選擇題 1. 設隨機變量 （ 是任意實數）(B) XX101ppp123450.10.30.30.20.2xxxxx33!neP Xnn1,2,.n 33!neP Xnn0,1,2,.n 是離散型的，則( )可以成為的分布律 (C) (D) (A)D2. 設 與 分別為隨機變量 與 的分布函數，

2、為使)(1xF)(2xF1X2X12( )( )( )F xaF xbF x52,53ba32,32ba23,21ba23,21ba是某一隨機變量的分布函數，在下列給定的各組數值中應取 ； （B）（C）； （D）（A）（A）第2頁/共53頁3三、計算題1. 進行某種試驗，已知試驗成功的概率為3/4，失敗的概率為1/4，以 表示首次成功所需試驗的次數，試寫出 的分布律，并計算出 取偶數的概率.XXX113()( ), 1,2,44kP XkkX1(2 )mP Xm取偶數的概率為解21113( )44mmX 服從幾何分布1314145116第3頁/共53頁42將一顆骰子拋擲兩次，以 表示兩次所得點

3、數之和，以1X2X1X2X表示兩次中得到的較小的點數，試分別求 和的分布律.123456789101112123456543213636363636363636363636X21234561197531363636363636X解第4頁/共53頁53.一批零件中有一批零件中有9個合格品與個合格品與3個廢品。安裝機器時從中任取個廢品。安裝機器時從中任取1個。個。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數的概率分布和分布函數，并作出分布函數的圖像。出的廢品數的概率分布和分布函數，并作出分布函數的圖像。 解設在取得合格品以前已取

4、出的廢品數為 X0 1 2 3、 、43)0( XP44911941)1( XP220910911241)2( XP220110110111241)3( XPX)(ixP104344922013222090,0,3,01,421( )()12,2221923,2201,3.xxF xP Xxxxxxyo1231第5頁/共53頁64. 20個產品中有個產品中有4個次品，個次品，（1）不放回抽樣，抽?。┎环呕爻闃?，抽取6個產品，求樣品中次品數的概率分布；個產品，求樣品中次品數的概率分布；（2）放回抽樣，抽?。┓呕爻闃樱槿?個產品，求樣品中次品數的概率分布。個產品，求樣品中次品數的概率分布。解(1

5、)不放回抽樣，設隨機變量 X 表示樣品中次品數0 1 2 3 4X 所有可能取的值為 、 、6416620()iiC CP XiCX)(ixP102066. 04508. 00578.0322817. 040031. 0(2)放回抽樣，設隨機變量 Y 表示樣品中次品數0 16Y所有可能取的值為 、 、 、kkkCkYP 66)54()51()(YP102621. 03932. 00819. 0322458. 040154. 0560015. 00001. 00 1 2 3 4i 、 、0 16k 、 、 、第6頁/共53頁75. 假設一廠家生產的每臺儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率0.

6、30需進一步調試后以概率0.80可以出廠，以概率0.20定為不合格不能出廠?，F該廠新生產了 （ ）臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立），求 (1) 全部能出廠的概率 ； (2)其中恰好有兩件不能出廠的概率 ； (3)其中至少有兩件不能出廠的概率 . n2n()0.94nP Xn222(2)0.940.06nnP XnC(2)P Xn解出廠率0.70.3 0.80.94p 出廠產品數( , )XB n p (3)至少有兩件不能出廠的概率.(1) 全部能出廠的概率(2)恰好有兩件不能出廠的概率 110.940.060.94nnn 1()(1)P XnP Xn 第7頁/共53頁86. 設離散型隨

7、機變量X31317 . 0114 . 010)(xxxxxFX的分布函數為求的分布列。XP0.40.30.3113第8頁/共53頁9Xcccc167,85,43,21c(1|0)P XXX7已知隨機變量 只能取-1，0，1，2四個值，相應概率依次為1）確定常數2）計算3）求的分布函數1167854321cccc3716cX)(ixP0137/837/1237/72137/10(1,0)(0)P XXP X825 xFX1 x01x10 x2x037/837/20121 x37/30第9頁/共53頁10的密度函數為概率論與數理統(tǒng)計作業(yè)5（2.3） X01( )2120 xxf xxx其它1.5P

8、 X 1.5P X X 其它021112xxkxfk一、填空題1.設隨機變量的密度函數，則 ；2. 設隨機變量則_.875. 08702第10頁/共53頁11以 表示對 的三次獨立重復觀察中事件X其他10 02)(xxxfYX21X 2YP3. 設隨機變量 的概率密度為出現的次數，則 .64912011224P Xxdx1(3, )4YB第11頁/共53頁12二. 函數211x 可否是連續(xù)隨機變量X的分布函數，如果X的可能值充滿區(qū)間： ,（2） 0 , （1）解（1）10)( F所以 函數211x 不可能是連續(xù)隨機變量X的分布函數 ,x（2）0)( F1)0( F且函數單調遞增所以 函數可以是

9、連續(xù)隨機變量X的分布函數00 111)(2xxxxF第12頁/共53頁131. 隨機變量X的概率密度為 10112xxxAxf當當當當求：（1）系數A ；（2）隨機變量 落在區(qū)間X1 1(, )2 2內的概率；（3）隨機變量 的分布函數。X解 dxxf)(1 1A（1） 2121XP 2121211dxx（2）31 xdxxfxF)()(1 x011 x xdxx1211xarcsin121 1 x1三、計算題（3）第13頁/共53頁14解解 dxxf)( dxeAx121 A2. 2. （拉普拉斯分布）設隨機變量X X的概率密度為 xAexfx,)(求（1）系數 A；（2）X 落在區(qū)間(0,

10、1)(0,1)內的概率；（3） X 的分布函數。02dxeAx02xAeA2 10XP1021dxex1021xe)1 (211e316. 0 xF xxdxe21 xxdxe21xe21（1）（2）（3）0 x0 x001122xxxe dxe dxxe211第14頁/共53頁15X111000)(2xxAxxxF(0.30.7)PX( )f x3. 設連續(xù)型隨機變量的分布函數為:(1) 求系數 A;(3) 概率密度函數1A4 . 0(2)其它1002xx4) 四次獨立試驗中有三次恰好在區(qū)間 內取值的概率.(0.3,0.7) 四次獨立試驗中，X 恰好在區(qū)間 內取值的次數(0.3,0.7)(4

11、,0.4)YB334(3)0.4 0.6P YC= 0.1536= 0.1536第15頁/共53頁164設 , 求方程 有實根的概率. 0,6)X(22540 xXxX所求概率為)016204(2XXP) 14(XXP或) 1()4(XPXP21解第16頁/共53頁175. 某種元件的壽命 (以小時計)的概率密度函數 X( )f x .1000,1000, 0,10002xxx某儀器裝有3只這種元件，問儀器在使用的最初1500小時內沒有一只元件損壞和只有一只元件損壞的概率各是多少？一個元件使用1500小時的概率為(1500)pP X215001000dxx32328(0)327P Y解儀器中3

12、只元件損壞的個數1(3, )3YB儀器在使用的最初1500小時內沒有一只元件損壞的概率儀器在使用的最初1500小時內只有一只元件損壞的概率123124(1)( )( )339P YC第17頁/共53頁18概率論與數理統(tǒng)計作業(yè)6（2.42.5） X2 . 02 . 02 . 04 . 04321pXXY25X( )Xfx32YX YX xF13 XY yG一、填空題 1. 隨機變量的概率分布為則的概率分布為的概率密度為，若，則的密度函數為 的分布函數為，則的分布函數為 2. 隨機變量 4 . 02 . 02 . 02 . 03113PY3. 設12()33Xyf1()3yF第18頁/共53頁19

13、解 1. 設隨機變量 服從二項分布B（3，0.4 ），求X32XXY的概率分布：iiiCiXPX 336 . 04 . 0)( 的概率分布為的概率分布為3,2,1 ,0 iY)(jyP1072. 028. 032XXY二、計算題X)(ixP216. 0432. 0064.02288. 0013的概率分布第19頁/共53頁20求隨機變量 的分布律.0.20.70.1XX4243kpsinYX2已知隨機變量 的分布律為1/210.30.7Y第20頁/共53頁213. 設隨機變量 X的概率密度為 000122xxxxf當當當當求隨機變量函數 XYln 的概率密度。解解)(ln)()( yXPyYPy

14、FYyY 的的分分布布函函數數，隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數數)(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度為為所所以以，隨隨機機變變量量函函數數 YyyYeefyf )()( 122 yyeeRy 第21頁/共53頁224. 設隨機變量X服從0，2上的均勻分布，求：2XY 的概率密度函數。 解解)()()( 2yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函數數，隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數數的的概概率率密密度度為為所所以以，隨隨機機變變量量函函數數 Y其它其它40041)( yyyfY440012100 yyydxy第22頁/共53頁235. 一批產品中有 a 件

15、合格品與 b 件次品，每次從這批產品中任取一件，取兩次，方式為：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。設隨機變量X及Y寫出上述兩種情況下二維隨機變量(X,Y)的概率分布.分別表示第一次及第二次取出的次品數，（1）放回抽樣 解解22)(baa 2)(baab 2)(baab 22)(bab ) 1)() 1( babaaa1100XY) 1)( babaab) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽樣 1100XY第23頁/共53頁2401230003/352/35106/3512/352/3521/356/353/350XY(, )X Y6. 盒子里裝有3只黑球、2只紅

16、球、2只白球，在其中任取4只球，以表示取到黑球的只數，以表示取到紅球的只數，求的聯合分布律.XY432247(,)ijijC C CP Xi YjC 0,1,2,3,i 0,1,2,j 24ij 解解第24頁/共53頁257. 設二維隨機變量（X, Y）在矩形域dycbxa ,上服從均勻分布，求（X, Y）的概率密度。解（X, Y）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(第25頁/共53頁26試求： (1)常數 ；(2) ；(3) (1.5)P X 8. 設隨機變量 的聯合密度函數(, )X Y(6), 02, 24,0, kxyxyf x y其它.k(4)P XY(

17、 , )F x y(4) 分布函數解2402( , )(6)1f x y dydxdxkxy dy(1)18k (2)(1.5)P X 1.54021(6)8dxxy dy2732(3)(4)P XY22424021(6)8xdxxy dy23第26頁/共53頁27(4) ( , )F x y( , )xyf u v dvdu 02xy或002 24xy，021(6)8xyuv dvdu 222351114481616xyxxx yxy2 24xy，02 4xy，2 4xy，2021(6)8yuv dvdu 4021(6)8xuv dvdu 1251248yy23148xx第27頁/共53頁2

18、8概率論與數理統(tǒng)計作業(yè)7（2.62.8） 1. 隨機地擲一顆骰子兩次，設隨機變量隨機地擲一顆骰子兩次，設隨機變量 X 表示第一次出現的點表示第一次出現的點數數, Y 表示兩次出現的點數的最大值，求表示兩次出現的點數的最大值，求(X, Y)的概率分布及的概率分布及Y的邊緣分布。的邊緣分布。YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/366/36解). 6 , 2 , 1,(,36,361),(jijijiijijYiXP Y12

19、3456P1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36第28頁/共53頁29試問 取何值時， ， 才相互獨立。12312XYYX619118131 ,XY2. 已知隨機向量（，）的聯合分布為31 3121 91 18113131 )91( 3191 92 91 經檢驗 時，X，Y獨立.92 91 第29頁/共53頁303. 設 (X,Y）的分布函數為：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）確定常數A, B, C；（2）求(X,Y）的概率密度；（3）求邊緣分布函數及邊緣概率密度. （4） X與Y是否獨立?解 （1） 1)2)(2(),( CBAF0)2

20、)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 對任意的x與y，有,2,12 CBA)0( A第30頁/共53頁31)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2） ),(yxf22293421yx xFX),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )(yfY yFY )9(32y X與Y的邊緣密度函數為：X的邊緣分布：（3 ） Y的邊緣分布函數為：)()(),(yfxfyxfYX X與Y獨立 （4 ） 第31頁/共53頁32(, )X Y22, 1,0, cx

21、yxyf x y其它.cXYXY4. 設隨機變量 的聯合密度函數試求：(1) 常數 ；(2) 與 的邊緣密度函數；(3) 與 是否相互獨立？xy2xy O11( , )f x y dydx解 （1） 211211xdxcx ydy214c dyyxfxfX),()(11x其它)1 (82142142122xxydyxx0（2） 第32頁/共53頁33(, )X Y22, 1,0, cx yxyf x y其它.cXYXY4. 設隨機變量 的聯合密度函數試求：(1) 常數 ；(2) 與 的邊緣密度函數；(3) 與 是否相互獨立？xy2xy O11解 （2） dxyxfyfY),()(10 y其它2

22、5227421yydxxyy0( ,)( )()XYfx yfx fyX與Y不獨立 （3） 第33頁/共53頁34其它, 01,1),(22yxyxf)|(|xyfXY5. 設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為，求 1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfX (X,Y) 關于X的邊緣密度為 當|x|1時,有)(),()|(|xfyxfxyfXXY 21)2(1x ,1212x 2211xyx 取其它值取其它值yxyxx, 011,121222即 當|x|1時,有)|(|xyfXY解第34頁/共53頁3511 10 010yydxydxy 其它,010,xxdyx其它(,

23、)X Y1, |, 01,0, yxxf x y其它.|( |)X Yfx y|( | )Y Xfy x6. 設隨機變量 的聯合密度函數求條件密度函數 ，( )( , )Xfxf x y dy解xyO12 ,010,xx其它( )( , )Yfyf x y dx1 101 010yyyy 其它第35頁/共53頁36求條件密度函數 ，(, )X Y1, |, 01,0, yxxf x y其它.|( |)X Yfx y|( | )Y Xfy x6. 設隨機變量 的聯合密度函數( )Xfx解xyO112 ,010,xx其它( )Yfy1 101 010yyyy 其它當 時，1|y|1, |1,1 |

24、( | )0, X Yyxyfx y其它.當 時，10 x|1, |,( | )20, Y Xyxfy xx其它.第36頁/共53頁37求 的聯合密度函數 以及條件密度函數7. 設隨機變量 與 相互獨立，其密度函數分別為XY , 0,0, 0.xXexfxx , 0,0, 0.yYeyfyy(, )X Y),(yxf|( |)X Yfx y|(| )Y Xfy x和(), 0,0,0, xyexyf x y其它.解當 時，0y|, 0( | )0, 0.xX Yexfx yx， 當 時，0 x|, 0,( | )0, 0.yY Xeyfy xy第37頁/共53頁3801201/81/4011/

25、81/41/4(4) 的分布律.(3) 和 的分布律；1. 設隨機變量 的分布律為概率論與數理統(tǒng)計作業(yè)8（2.9） (, )X YXY(1|0)P XY1YX),max(1YXZ 2min(, )ZX YWXY試求：(1) (2) 在 的條件下，的分布律；解(1)(1|0)P XY(1,0)(0)P XYP Y1438231YX(2) 在 的條件下， 的分布律；012|1122555X Y第38頁/共53頁3901201/81/4011/81/41/4(4) 的分布律.(3) 和 的分布律；1. 設隨機變量 的分布律為(, )X YXY(1|0)P XY1YX),max(1YXZ 2min(,

26、 )ZX YWXY試求：(1) (2) 在 的條件下，的分布律；解(3)1012152888Z2011122Z012313228888W(4)第39頁/共53頁40且相應的概率依次為 ， ， ， ， 列出(X , Y)的概率分布表, 并 求出的分布律1(0,0), ( 1,1), ( 1, ), (2,0)31613112512XY2. (X , Y)只取下列數組中的值：3112500XY1 00310121610120YXZ P2 34 121310261125第40頁/共53頁41ijLL11L13L21L12L22L233. 電子儀器由六個相互獨立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1

27、( ji設各個部件的使用壽命ijX服從相同的指數分布 e求儀器使用壽命的概率密度。 組成，如圖，解各部件的使用壽命3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij的分布函數 0 , 0 0 ,1)(xxexFxij先求三個串聯組的壽命3 , 2 , 1 , iYi的分布函數) ,( max21iiiXXY iY的分布函數 0 , 0 0 )1()(2yyeyFyi第41頁/共53頁42再求儀器使用壽命Z 的分布函數,),min(321YYYZ Z的分布函數 0 , 0 0 ,)1(1 1)(32zzezFzZ進而 0 , 0 0 ,)2)(1(6)(23zzeeezfzzzZ第42頁/共53

28、頁43第二章自測題 X5 (1/2)(1,2,)kP XkAk( )f x , 010, axbx其它1/25/8P x a b 8081X210 xXx 一一、填空題1. 設離散型隨機變量分布律為 則A=_2. 已知隨機變量X的密度為,且,則_ 3. 一射手對同一目標獨立地進行四次射擊，若至少命中一次的概率為 ，則該射手的命中率為_4. 若隨機變量在（1，6）上服從均勻分布，則方程有實根的概率是_ _511213254第43頁/共53頁44)(xf)(xF)()(xfxfa0()1( )aFaf x dx 01()( )2aFaf x dx)()(aFaF1)(2)(aFaF二、 選擇題1.

29、 設X的密度函數為，分布函數為，且那么對任意給定的都有 B） C） D） A）2. 下列函數中，可作為某一隨機變量的分布函數是 A）21( )1F xx xxFarctan121)()(xF1(1),020,0 xexx( )( )xF xf t dt( )1f t dt B） C） D） ，其中BB第44頁/共53頁45X( )F x( )f xXX( )()F xFx( )()F xFx ( )()f xfx( )()f xfx 3. 假設隨機變量的分布函數為，密度函數為若與有相同的分布函數，則下列各式中正確的是 ; B) C) ; D) A）CC第45頁/共53頁46三、 解答題1、從一批有10個合格品與3個次品的產品中一件一件地抽取產品，各種產品被抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所求抽取次數的分布率。（1）放回 （2）不放回)1310