1、2008-10-182008-10-19 1流體力學基本方程組總結 流體力學基本方程組包括連續(xù)性方程、運動方程、組分質量守恒方程、能量方程、本構方程、狀態(tài)方程及通用形式守恒方程。雖各相關文獻都有介紹這些基本方程組，但多采用作者熟悉的方式表示，往往同一方程具有多種形式，而難于直觀對比。以下內容是對文獻報道的各種形式的總結和對比，并分析了它們之間的轉化關系，以期徹底理解（切實掌握微分方程中每一項的物理意義）流體力學基本方程組的數(shù)學物理意義，為離散計算該方程組打下基礎。1 連續(xù)性方程根據(jù)文獻1連續(xù)性方程可由四種方法得到，分別為拉格朗日法下對有限體積和體積元應用質量守恒定律、在歐拉法下對有限體積應用質

2、量守恒定律及在直角坐標系中直接應用質量守恒定律。1.1 L法有限體積分析取體積為，質量為m的一定流體質點團，則有：DmDDDD=d=0d=d+=0 （1） DtDtDtDtDt因為速度散度的物理意義是相對體積膨脹率及密度隨體導數(shù)，即： m=ddivv=1Dd （2） dDtD =+u+v+w=+v （3） Dttxyzt代入式（1）得DD +=(+v)+divv)d=(+div(v)d=0 （4） DtDttt運用奧高定理(uvw+)d=udydz+vdzdx+wdxdySxyz=(ucos+vcos+wcos)dSS =vndS=vndSSS （5）得 +div(v)d=+vttSndS=0

3、 （6）上式即是連續(xù)性方程的積分形式。 (2008-10-182008-10-19 2假定被積函數(shù)連續(xù)，而且體積是任意選取的，由此可知被積函數(shù)必須等于零，即：vDD +divv=0+i=0 （7） DtDtxi或(vi) +div(v)=0+=0 （8） ttxi在直角坐標系中連續(xù)性方程為：（9） 或Duvw=-(+) （10） Dtxyz連續(xù)性方程（10）表明，密度變化（隨時間和位置）等于密度和體積變形的乘積2。1.2 L法體積元分析考慮質量為dm的體積元d，對其用拉格朗日觀點，根據(jù)質量守恒定律有：DDdm=0(d)=0 （11） DtDtDDD(d)=d+d=0 （12） DtDtDt兩邊

4、同除以d，得1D1Dd+=0 （13） dDtDt或寫成1Ddivv+=0 （14） Dt上式表明要維持質量守恒定律，相對體積變化率必須等于負的相對密度變化率。1.3 E法有限體積分析著眼坐標空間，取空間中以S面為界的有限體積，則稱S面為控制面，為控制體。取外法線方向為法線的正方向，n為外法線方向的單位矢量。考慮該體積內流體質2008-10-182008-10-19 3 量的變化，該變化主要以下兩方面原因引起。第一，通過表面S有流體流出或流入，單位時間內流出流入變化的總和為：SvndS=S 奧高公式 nvdS=div(v)d （15） 第二，由于密度場的不定常性（注意，歐拉觀點下空間點是固定的

5、，密度的變化只由場的不定常性刻畫），單位時間內體積的質量將變化，變化量為：- （16） t上述兩者應相等，即 div(v)d=-t （17）由于體積是任意的，且被積函數(shù)連續(xù)，則 +div(v)=0 （18） t1.4 E法直角坐標系分析單位時間內通過表面EFGH的通量為：udydz通過表面ABCD的通量為：(u)u+dxdydz x其他三對表面類似，另外，該控制體內質量的變化率為：-dxdydz t則(u)(v)(w)+=0（19） txyz特殊情況下的連續(xù)性方程： =0div(v)=0 tD （2） 不可壓縮流體：=0divv=0 Dt（1） 定常態(tài)：2 動量方程任取一體積為的流體，它的邊界

6、為S。根據(jù)動量定理，體積中流體動量的變化2008-10-182008-10-19 4率等于作用在該體積上的質量力和面力（應力）之和。單位面積上的面力pn=nP，其中P是二階對稱應力張量，所以pn不是通常指的p在n（單位體積面元的法線方向）方向的分量。單位質量上的質量力為F。則作用在該體積上的質量力和面力分別為Fd （20）及SpndS=nPdS奧高公式S=divPd 動量變化率為DDtvd =D(v) DDtd+vDt 上述動量變化率的表達式可有兩種處理方法1，如下（1）求解上式右邊第二項內對體積元的隨體導數(shù)，則D(v )Dt+ DvDt= (v) t+v(v)d+(v)divvd= (v)t

7、+v (v )+(v )v d =(v)t+div(vv)d=(v )td+ SvnvdS （2）對動量變化率表達式右邊第二項應用質量守恒定律DD Dtvd=Dtvdm=Dv Dt+v DDt=Dv Dt由上可得兩種積分形式的動量方程，即(v )td+SvnvdS=Fd+divPd 或(v) t+div(vv )d=Fd+divPd 21）22） 23） 24） 25）26） （ （ （ （ （ （2008-10-182008-10-19 5由上，動量方程的微分形式為：（27）或Dv微分方程中各項的物理意義為，表示單位體積上慣性力，F(xiàn)為單位體積上的質Dt量力，divP為單位體積上應力張量的散度

8、，它是與面力等效的體力分布函數(shù)（由奧高公（28） 式轉化而來）。在直角坐標系下以應力表示的運動方程可采取下列形式或（29）2008-10-182008-10-19 6（30）這兩種表達方式的等號左邊實際只差了一個連續(xù)性方程，由基本微分公式 div(a)=diva+grada （31）(vi)v +div(viv)=i+vi+vidiv(v)+vgradvi （32） ttt得由連續(xù)性方程知vi +vidiv(v)=vi(+div(v)=0 （33） tt所以有(vi) v +div(viv)= i+vgradvi （34） tt上述運動方程是以應力表示的粘性流體的運動方程，它們對任何粘性流體，

9、任何運動狀態(tài)都是適用的。但它沒有反映出不同屬性的流體受力后的不同表現(xiàn)。另外，方程數(shù)和未知量之數(shù)不等，運動方程有三個，加上連續(xù)性方程共四個，但未知量卻有九個（六個應力張量分量（九個張量分量因對稱關系減少為六個）和三個速度分量），所以該方程組不封閉。為使該方程組可解，必須考慮應力張量和變形速度張量之間的關系（將應力張量用速度分量表示出來），補足所需的方程2。3 本構方程本構方程是表征流體宏觀性質的一種微分方程，它是表達流體粘性定律的應力張量和變形速度張量之間的關系。最簡單的應力與應變之間的關系是牛頓流體作一維運動，即牛頓剪切定律：（35）要得到普遍意義上的廣義牛頓定律需作一定假設，而首先應理解流體

10、速度分解定理和變形速度張量。文獻2對速度分解定理雖作了較直觀的描述和推導但不嚴格，而文獻1對該部分內敘述較詳細。3.1 速度分解定理剛體運動包括平動和轉動兩部分，一般可表為v=v0+r （36）其中v0是剛體中選定一點O上的平動速度，是剛體繞O點轉動的瞬時角速度矢量，r就2008-10-182008-10-19 7是要確定速度那一點到O點的矢徑。轉動角速度可用v表示=rotv （37）故1v=v0+rotvr （38）212流體運動除平動、轉動外還有變形運動。設微團內M0點的速度為v0，鄰域內任一點M的速度為v。將v在M0點泰勒展開并略去二階無窮小項，得顯然，v=v0+vvvvdx+dy+dz

11、vi=v0i+idxj （39） xyzxjvi是一個二階張量（局部速度梯度張量），由張量分解定理可將該張量分解成對xj稱張量S和反對稱張量A之和，于是vi1vivj1vivj= -+ +=aij+sij=A+S （40） xj2xjxi2xjxi所以vi=v0i+vidxj=v0i+aijdxj+sijdxj （41） xj上式右邊第二、三項可具體表示為aijdxj=1rotvdr （42） 2及sijdxj=Sdr=grad （43）其中=(1dx2+2dy2+3dz2+1dydz+2dzdx+3dxdy) （44）另外122008-10-182008-10-19 8 1 1S=sij=

12、32 1 221322112122011；A=aij= 32 -23-3012-1=-ijkk0所以vi=v1+v2+v3=v0i+vi1dxj=v0i+rotvdr+grad （45） xj2上式表明流體運動可分為平動、轉動和變形三種形式組成，S稱為變形速度張量，該定來表理稱為亥姆霍茲（Helmholtz）速度分解定理。另外，流變學中常用應變速率張量示流體的變形和拉伸（或壓縮），而用轉動張量ij表示轉動，它們與流體力學中的變形速度張量和轉動張量的關系是：sijij1 =ij2xjvi=+=2sijxjxivixjij=-=2aijxjxi3.2 變形速度張量的物理意義 寫出變形速度v3的表達

13、式 1u3 1 v3= 23 w 31 22132122dx1 1 dy （46） 2 dz32112經(jīng)分析可得2008-10-182008-10-19 9u1D=1x=dxDtdxv1D=dy； 2=ydyDtw1D=dz3=zdzDtDyzwv+=-=- yz1=yzDtDzxuw+=-=- zx 2=zxDtDxyvu=+=-=- xy3xyDt其中 yz， yz及yz是角變形速率，亦稱剪切應變速率（ xx稱拉伸應變速率）。文獻2中定義的剪切速率的值是這里的一半，這是有問題的，因為剪切速率本身的值應以這里為準，但變形速度張量內剪切變形的量值為該剪切速率的一半。由上可知，變形速度張量的對角

14、線分量1，2，3的物理意義分別是x,y,z軸線上線段元dx,dy,dz的相對拉伸速度或相對壓縮速度。而非對角線分量1,2,3的物理意義分別是y與z軸、z與x軸、x與y軸之間夾角的剪切速率的負值。 3.3 廣義牛頓定律及基本假設（1）運動流體的應力張量在運動停止后應趨于靜止流體的應力張量。據(jù)此將應力張量P寫成各向同性部分-pI和各向異性部分P'是方便的。P=-pI+P'pij=-pij+ij （47）P'是除去-pI后得到的張量，稱為偏應力張量。當運動消失時它趨于零?？梢?，偏應力張量和應力張量一樣也是對稱張量。（2）偏應力張量的各分量ij是局部速度梯度張量vi各分量的線性

15、齊次函數(shù)。當xj速度在空間均勻分布時，偏應力張量為零；當速度偏離均勻分布時，在粘性流體中產(chǎn)生了偏應力，它力圖使速度回復到均勻分布情形。（3）流體是各向同性的，即流體性質不依賴于方向或坐標系的轉換。 根據(jù)假設（2），有ij=cijklvk=cijklskl-cijklklmm （48） xl顯然cijkl是一四階張量，它是表征流體粘性的常數(shù)，共34=81個。根據(jù)假設（3），lkcji是各向同性張量且對i，j對稱，故2008-10-182008-10-19 10cijkl=ijkl+(ikjl+iljk) （49）觀察上式可知，cijkl對kl也是對稱的，物性常數(shù)減少至只有2個即第二粘度和粘度，證

16、明見下。將上式代入偏應力表達式（反對稱項為零）得ij=ijklskl+(ikjl+iljk)skl=skkij+2sij （50）則應力張量為pij=(-p+skk)ij+2sij （51）引進'=+='- （52）則2pij=-pij+('-)skkij+2sij3（53）1=-pij+2(sij-skkij)+'skkij32323根據(jù)上式pxx=-p+2(pyy=-p+2(u1-divv)+'divv （54a） x3v1-divv)+'divv （54b） y3pzz=-p+2(w1-divv)+'divv （54c） z3將上三

17、式等號兩邊相加，得1(pxx+pyy+pzz)=-p+'divv （55） 3對可壓縮流體，流體的體積在運動過程中發(fā)生膨脹或收縮，它將引起平均法應力（由奧高公式可證某固定點處所有方向上法應力的平均值等于x,y,z三個方向上法應力的平均值，這是一個不隨坐標系改變的不變量）的值發(fā)生'divv的改變，'稱為第二粘性系數(shù)亦稱膨脹粘性系數(shù)。應用斯托克斯假定，即'=0，則本構方程為1(pxx+pyy+pzz)=-p （56） 32008-10-182008-10-19（57）1P=-pI+2(S-Idivv) （58）3一般處理的是不可壓縮流體，則1(pxx+pyy+pzz

18、)=-p （59） 3pij=-pij+2sij P=-pI+2S ij=2sij在直角坐標系下有60）61）（62） （ （2008-10-182008-10-19 12 這里pij=ij，有的文獻中將應力張量用ij表示。將上述應力張量與變形速度張量的關系式代入運動方程，得pij(-pij+2sij)(vi) +div(viv)=Fi+=Fi+ txjxj即(vi) +div(viv)=-(pij)+(2sij)+Fi （63） txjxj寫成直角坐標系下的形式（64）在數(shù)值傳熱學中3或CFD計算4中常把上式等號右邊表示分子粘性作用的三項做如下變化，以第一式為例=uuvuw2 + + +xx

19、yyxzzxuuuuvw + + + + + xxyyzzxxyxzx=div(gradu)+sx其中2008-10-182008-10-19 13sx ux+y vwx=x+z x據(jù)此，有sx uy=yvw+y y+z ysz=x uz+y vz+z wz及(u)t+div(uv)=div(gradu)-px+Su(v)t+div(vv)=div(gradv)-py+Sv (w)t+div(wv)=div(gradw)-pz+Sw其中廣義源項定義為Su=Fx+sx, Sv=Fy+sy, Sw=Fz+sz當流體粘度不變且不可壓縮時（牛頓流體），有所以運動方程簡化為65） （2008-10-18

20、2008-10-19 14u1p +div(uv)=div(gradu)-+Fxtxv1p +div(vv)=div(gradv)-+Fy （66） tyw1p +div(wv)=div(gradw)-+Fztz其中是運動粘度，亦是動量擴散系數(shù)，單位m2/s。本構方程和運動方程是緊密聯(lián)系在一起的，通過本構方程可將應力張量用變形速度張量表示出來，即應力可用應變速率表示，而應變速率實際由速度分量決定，故使運動方程和連續(xù)性方程原則上封閉可解。需要注意的是，這里討論的本構方程僅局限于牛頓流體，符合廣義牛頓定律的流體稱為牛頓流體，否則稱為非牛頓流體。非牛頓流體的本構方程不能用廣義牛頓定律描述，如對聚合物

21、溶液等流體應該參考相關文獻。 4 能量方程由能量守恒知，體積內流體的動能和內能的變換率等于單位時間內質量力和表面力所作的功加上單位時間內給予體積的熱量。體積內流體的動能和內能的總和為：V2(U+2)d （67）其中U是單位體積內的流體內能。質量力對體積內流體所作的功為（單位時間內移動距離v，點積求做功）：Fvd （68）表面力對體積內流體所作的功為（單位時間內移動距離v，點積求做功）：SpnvdS （69）單位時間內以熱傳導方式通過表面S傳給體積的熱量為：TSn （70）上式被積函數(shù)實際就是傅里葉熱傳導定律，即熱流密度矢量正比于傳熱面法向溫度梯k度。單位時間內由于輻射或其他原因（反應、蒸發(fā)等）

22、傳入內的總熱量為（q為單位時間內傳入單位質量的熱量分布函數(shù)）：qd （71）將上述各式進行守恒計算，得2008-10-182008-10-19 15DV2T(U+)d=Fvd+pvdS+kSnSn+qd （72） Dt2這是積分形式的能量守恒方程。求解體積分的隨體導數(shù)并運用奧高公式把面積分轉化為體積分可得微分形式的能量守恒方程，即DDt(U+V22)d=DV2Dt(U+2)dm DV2V2=Dt(U+D2)dm+(U+2)Dt因為質量守恒定律V2D(U+2)Dt=0所以DV2DV2Dt(U+2)d=Dt(U+2)d 另外SpnvdS=SnPvdS=Sn(Pijeiejvkek)dS=n(PiS

23、ijvkjke)dS=Sn(Pijvjei)dS=div(Pv)dkTSndS=SkngradTdS=div(kgradT)d 則能量方程的微分形式為：DV2Dt(U+2)=Fv+div(Pv)+div(kgradT)+q 或或73） 74）75）76） 77） （ （ （ （ （2008-10-182008-10-19 161 +u+v+wU+(u2+v2+w2)xyz2t=(uFx+vFy+wFz)+(pxxu+pxyv+pxzw)+(pyxu+pyyv+pyzw)+(pzxu+pzyv+pzzw) （78） xyzT kxxT+ kyyT+ kzz+q上式各項的物理意義如下，左邊第一、二

24、項代表內能和動能的隨體導數(shù)，右邊第一項是單位體積內的質量力做功，第二項是單位體積內面力所作的功，第三項是單位體積內熱傳導輸入的熱量，最后一項表示由于輻射或其他物理或化學原因的熱量貢獻。能量守恒方程的另一種形式為UUUU+u+v+wtxyzvuwvuvwuw+pyy+pzz+pxy +pyz +pzx +xyzzx （79） xyyzT+ kyyT+ kzz=pxx +T kxx+q此式的物理意義為：單位體積內由于流體變形面力所作的功加上熱傳導及輻射等其他原因傳入的熱量恰好等于單位體積內的內能在單位時間內增加。將該式進一步簡化，有pxxvuwvuvwuw+pyy+pzz+pxy +pyz +pz

25、x +xyzzxxyyz222222vuwvuwuvw=-pdivv+2 + + + xyzxyyzzx設222222uvwvuwvuw=2 + + + + + + （80）xyzxyyzzx稱為耗散函數(shù)（dissipation function）。另外，為由于粘性作用機械能轉化為熱能的部分，在考慮液體流體時，比焓h與內能值可看作相等，即h=U+pV=U，壓力不作功。則2008-10-182008-10-19 17UUUU+u+v+wtxyzhhhh=+u+v+wtxyzh = +vgradht(h) =+div(hv)t所以有(h)(uh)(vh)(wh)+=-pdivv+div(kgrad

26、T)+Sh （81） txyz其中Sh=q是單位體積內熱源或由于輻射或其他物理或化學原因的熱量貢獻。pdivv一般較小可以忽略。對液體及固體可以取h=cpT，進一步取cp為常數(shù)，并把耗散函數(shù)納入到源項ST=Sh+，于是S(T)k+div(vT)=div(gradT)+T （82） tcpcp對不壓縮流體STk+div(vT)=div(gradT)+T （83） tcpcp對于可以忽略粘性耗散作用的穩(wěn)態(tài)低速流，能量方程可以簡化為div(vh)=div(kgradT)+Sh （84）及div(vT)=div(SkgradT)+h （85） cpcp取速度為零，則可得到穩(wěn)態(tài)的熱傳導方程（對流項消失）

27、：div(kgradT)+Sh=0 （86）5 狀態(tài)方程由連續(xù)性方程、運動方程、能量方程確定的未知量有u,v,w,p,T,六個，但方程數(shù)2008-10-182008-10-19 18 只有五個，為使方程組封閉需補充一個聯(lián)系p,的狀態(tài)方程：=f(p,T) （87）6 組分質量守恒方程在一個特定的系統(tǒng)中，可能存在質的交換，或者存在多種化學組分，每一種組分都需要遵守組分質量守恒定律，即系統(tǒng)內某種化學組分對時間的變化率，等于通過系統(tǒng)界面的凈擴散流量與由反應產(chǎn)生的生成率之和，可表為2, 5(ml)+div(vml+Jl)=Sl （88） t其中(ml)代表單位體積內組分l的質量變化率，vml是組分l的對

28、流流量密度。Jl代t表擴散流量密度，它由Fick定律給出。Sl是單位體積內組分l的生成率。費克定律：Jl=-Dlgradml （89）其中Dl為擴散系數(shù)。將擴散定律代入守恒方程，得(ml)+div(vml)=div(Dlgradml)+Sl （90） t7 控制方程的通用形式前面在牛頓流體的基礎上，即在采用牛頓流體本構方程的基礎上推導分析了運動方程和能量守恒方程，獲得了較全面的流體力學方程組，同時也采用了張量不變性記法、張量分量記法及直角坐標記法三種不同方式來表示這些基本方程組，可以說各方程之間達到了初步的融合。下面給出這些方程的通用形式()+div(v)=div(grad)+S （91） t式中為通用變量，代表u,v,w,T等求解量；為廣義擴散系數(shù)；S為廣義源項。上式從左至右依次為瞬態(tài)項、對流項、擴散項和源項。對于特定的方程，、和S具有特定的形式，下表給出了這三個符號與各特定方程的對應關系。表1 通用控制