1、2013年高考理科數(shù)學(xué)試題解析（課標(biāo)I ）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。第I卷 1至2頁(yè)，第n卷3 至4頁(yè)。全卷滿分150分。考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。第I卷 1至3頁(yè)，第n卷3至5頁(yè)。2 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置。3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效。4 .考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1、已知集合 A= x|x22x>0, B= x| 75v

2、xvp,則 （）A、An B B、AU B=R C B? AD、A? B【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法、集合運(yùn)算及集合間關(guān)系，是容易題.【解析】A=（-,0）U（2,+ 8）, .AUB=R）選 B.2、若復(fù)數(shù)z滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。 （3-4i）z=|4+3i | ,則z的虛部為（）A、 4（B） g錯(cuò)誤！未找到引用源。（C） 4（D） g【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，是容易題'2-2 ,【解析】由題知 z =L=+i故z的虛部為一，故選D.3-4i (3-4i)(3 4i)5 553、為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取

3、部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事 先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）A、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B、按性別分層抽樣錯(cuò)誤！未找到引用源。C、按學(xué)段分層抽樣D、系統(tǒng)抽樣【命題意圖】本題主要考查分層抽樣方法，是容易題【解析】因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C.4、已知雙曲線22x yC :-22a2b2=1 ( a >0,b>0)的離心率為2,則C的漸近線方程為【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，是簡(jiǎn)單題C的漸近線方c 5 口 5 c2 a2

4、 b2b2 1 b 1斛析】 由題知， 一= 即 一=2= 2 ， 一 =-，一一=±-a 24 a a a 4 a 21一程為y = 土 x ,故選C . 25、運(yùn)行如下程序框圖，如果輸入的 tw-1,3,則輸出s屬于否A .-3,4 B .-5,2 C .-4,3 D .-2,5【命題意圖】本題主要考查程序框圖及分段函數(shù)值域求法，是簡(jiǎn)單題 【解析】有題意知，當(dāng) tw1,1)時(shí)，s = 3t W3,3),當(dāng) tw1,3時(shí)，s = 4tt2w3,4,4,球心到截面圓的距，輸出s屬于-3,4,故選A.6、如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高 8cm,將一個(gè)球放在容器口，再

5、向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ()A、等“cm3B、等cm3錯(cuò)誤！未找到引用源。1372兀 32048兀 3C、3 cmD、3 cm【命題意圖】本題主要考查球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式，是容易 題.【解析】設(shè)球的半徑為 R,則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為22.24二 5離為R-2,則R =(R2) +4 ,解得R=5, 球的體積為 37、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, SmJL = -2, Sm =0, Sm書(shū)=3,則m=()A、3B、4錯(cuò)誤！未找到引用源。C、5D、6【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式，考

6、查方程思想，是容易題.【解析】有題意知 Sm = m(a1 +am)=0,q=am = ( Sm-SmJ =-2,2惻視圖俯視圖am+=Sm +- Sm =3公差 d = am由-am =1 ,3= am+2 * m，m=5,故選 C.8、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.16 8 二 B.8 8 二C .16 16二D .8 16二【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖及簡(jiǎn)單組合體體積公式，是中檔題.【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為高為4,上邊放一個(gè)長(zhǎng)為 4寬為2高為2長(zhǎng)方體，故其體積為12一冗父2父4十4父2M2 =16+8冗，故選A.29、設(shè)m為正

7、整數(shù),(x十y)2 m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a, (x + y)2m+展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b ,若 13a =7b，則 m =()A、 5B、6錯(cuò)誤！未找到引用源。C、7D、8【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)最大值及組合數(shù)公式，考查方程思想，是容易題【解析】由題知 a = c2m，b = C*，13cm=7C黑，IP 13x(2m)! =7x(2m + 1)! 2m 2m1 2m 2m1 m!m! (m 1)!m!解得m=6,故選B.22,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)。若AB10、已知橢圓 +#=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為 F(3,0)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1),

8、則E的方程為22A、2+ 2= 145 3622B、36+27=1 錯(cuò)誤!未找到引用源。22C、- + y-= 127 18D、2 X1822XiVi22ab一得2+ 9 = 1【命題意圖】本題主要考查橢圓中點(diǎn)弦的問(wèn)題，是中檔題【解析】設(shè) A(x, %), B(x2, y2),則 x+x2=2, y+y2=2,22X2y2一2,2-1ab(Xi x2)(x -X2) (y1 丫2)(必 一 丫2)y1 *Xi -X2b2(x X2) b2 v L 0 11 - V £-9- o 5inab a2(y1y2) a23-1 2b22a1 一 222一，又 9=c=a b, 222得b2=

9、9, a2=18,，橢圓方程為 =1,故選D.18 9-L x2 2x x 一 011、已知函數(shù)f(x) = S，若| f (x)| >ax,則a的取值范圍是ln(x 1),x 0A.(-二,0B.(-二,1 C.-2,1 D .-2,0【命題意圖】本題主要考查函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題的解法，是難題。？_,x -2x x W 0一f (x)|= ，由 | f(x)| > ax得，ln(x+1),x>0x< 0x2 - 2x - axx 0且，ln(x 1) - axb2x<0由2 2可得a主x _2 ,則a >-2,排除A, b ,x -2x-ax當(dāng)a

10、=i時(shí)，易證ln(x+1)<x對(duì)x>0恒成立，故a=i不適合，排除C,故選D.12、設(shè) AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,Cn, 4BnCn的面積為&, n=1,2,3,"，一， c.Cn + anbn+ an 巾一、右 bi>Ci, bi+ci 2a1，an+i an, bn+i 2 , Cn+i 2 ，則()A、&為遞減數(shù)列B、&為遞增數(shù)列 錯(cuò)誤！未找到引用源。C、S2n-1為遞增數(shù)列，&n為遞減數(shù)列D、&n-1為遞減數(shù)列，&n為遞增數(shù)列【命題意圖】【解析】B第II卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第(13)題

11、-第(21)題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第(22)題-第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二.填空題：本大題共四小題，每小題5分。13、已知兩個(gè)單位向量 a, b的夾角為60°, c= ta+(1t)b,若bc=0,則t=.【命題意圖】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，是容易題2 11【斛析】bc = b *ta (1 -t)b =ta *b (1 -t)b =-t 1 -t =1 一一t =0,解得 t = 2.2 1一=14、若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn= an十，則數(shù)列 Hn 的通項(xiàng)公式是Hn =.3 3【命題意圖】 本題主要考查等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式及數(shù)列第 n項(xiàng)與其前n項(xiàng)

12、和的關(guān)系，是容易題.21【斛析】當(dāng)n=i時(shí)，曰 = &=-&+-，解得a1=i, 33212122一當(dāng) n>2 時(shí)，an =Sn -Sn = -an +(彳 2口=+ g )=鼻 an -4 an/，即 4 = -2,333333n 1an是首項(xiàng)為1,公比為一2的等比數(shù)列，an=(-2).15、設(shè)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx 2cosx取得最大值，則 cos 0 =【命題意圖】本題主要考查逆用兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、及簡(jiǎn)單三角函數(shù)的最值問(wèn)題, 是難題.【解析】 f (x) = sinx -2cosx=2 5、sin x cosx)令 cosP = , sin 中=

13、25 ,則 f (x) =q5(sin xcos邛+sin 中 cosx) =%'5$冶(* + 中)，當(dāng)x +中= 2kn + ，k w z ,即x = 2kn +-Qkw z時(shí)，f (x)取最大值，此時(shí) 229 = 2kn 十二一中，kz, . cos日=cos(2kn +中)=sin中=-222、， 216、若函數(shù)f(x) = (1x)(x +ax + b)的圖像關(guān)于直線 x=2對(duì)稱，則f(x)的最大值是 【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，是難題 【解析】由f(x)圖像關(guān)于直線x = 2對(duì)稱，則0=f (-1) = f(-3) = 1-(-3)2( 3)2

14、 -3a+b,0= f(1)=f(-5) = 1-(-5)2(-5)2 -5a+b,解得 a =8, b=15,f (x) =(1 -x2)(x2 8x 15), f (x)= -2x(x2 8x 15) (1-x2)(2x 8) = -4(x3 6x2 7x - 2)=-4(x 2)( x 25)( x 2 - 5)當(dāng) xC(8, _2表)u( 2, 2 十、：5)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng) x e ( -2-v5, -2) U( 2+逐,+8)時(shí)，f '(x) <0,f(x)在(巴 2 v5)單調(diào)遞增，在(一2-45 , 2)單調(diào)遞減，在(2, -2 +。石)單調(diào)遞

15、增，在(2+J5, +8)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=2J5和x = 2 +45時(shí)取極大值，f (-2 - 5) = f (-25)=16.三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17、(本小題滿分12分)如圖，在a ABC, / ABC= 90°, AB=/3 , BC=1, F/ AB®一點(diǎn),/ BPC= 90°(1)若 PB=|,求 PA;(2)若/APB= 150 °,求 tan/PBA【命題意圖】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及兩角和與差公式，是容易【解析】（I）由已知得，/PBC=60o ,PBA=30°,在 PBA中

16、，由余弦定理得PA= 722 一 1 一 一 17PA2 = 3 十一-2xv3x_cos30o=-,424設(shè) / PBA=o(,由已知得，PB= sin ct ,在 PBA 中，由正弦定理得，3cos： =4sin ,.tano(=於，tanZPBA=-AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值。3 sin 二 sin150o - sin(30o - ：)18、（本小題滿分12分）如圖，三棱柱 ABC-ABiCi 中，CA=CB AB=A A, Ai =60 °.（I ）證明 ABXAiC;（n）若平面 ABC平面AA1B1B, AB=CB=2求直線 【命題意圖】本題主要考查空間線面、

17、線線垂直的判定與性質(zhì)及線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題 .【解析】（I ）取A即點(diǎn)E,連結(jié)CE AB , AE , .AB=AA, NBAA=60°,ABAA是正三角形，A1E XAB, CA=CBCE±AB,CEAE =E,，ABL面 CEA , -AB± AC;冽(n)由(I)知 EC!AB, EAAB,又面 abcl面 ABBA，面 AB6面 ABBA=ab, Ed面 ABBA ,ec± EA,-1 EA EC, EA兩兩相互垂直，以 E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA的方向?yàn)閤軸正方向，| EA |為單位 長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

18、O -xyz,有題設(shè)知 A(1,0,0), A (0, J3 ,0),C(0,0,73 ),B( 1,0,0),則 BC = ( 1,0 ,”3) , BB1 =AA =(-1,0,43), AC=(0, %；3, 3),9 分設(shè)n =(x,y,z)是平面CBBC1的法向量,-1皿 n .BC =0 口. x 3z =0貝U ( _一 ,即n *BB1 =0 x 3y = 0n ；二 nAC 10 cos n, AiC =|n| AC| 5，直線AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值為10512分19、(本小題滿分12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢3這4件

19、產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 no如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取 4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取 1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需白費(fèi)用記為 X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望?！久}意圖】【解析】設(shè)第一次取出的 4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件 A,第一次取出的4件產(chǎn)品中全 為優(yōu)質(zhì)品為事件

20、B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件 C,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì) 品為事件D,這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件 E,根據(jù)題意有E=(AB)U(CD)且AB與CD互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)C；d)2 Jxb+d)4 :=: .6分 22 222 64(n) X的可能取值為 400,500,800 ,并且P(X=400)=1-C：d)3 乂 工()4=衛(wèi),P(X=500)= , P(X=800)=C3(-)3X-=-, 222161622 4X的分布列為X400500800P11111616410分EX=400X 11+500 X +800X

21、- =506.2512 分16164(20)(本小題滿分12分)已知圓M : (x+1)2+y2=1,圓N : (x-1)2+y2 =9,動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(I )求C的方程；(n) l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的 半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.【命題意圖】【解析】由已知得圓 M的圓心為M (-1 , 0)，半徑r1=1,圓N的圓心為N (1,0),半徑口 =3.設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P (x, y),半徑為R.(I)二,圓P與圓M外切且與圓N內(nèi)切,|PM|+|PN|= (R r1) (r2 -R)=r1 r2 =4,由橢圓的定義可

22、知，曲線C是以M,皿左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為、3的 橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為3十(=1僅¥-2).(n)對(duì)于曲線 C± 任意一點(diǎn) P (x, y),由于 |PM|-|PN|= 2R-2<2, a R< 2, 當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心、為(2, 0)時(shí)，R=2.當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x-2)2 y2 =4,當(dāng)l的傾斜角為90°時(shí)，則l與y軸重合，可得|AB|= 273.當(dāng)l的傾斜角不為900時(shí)，由A w &口 l不平行x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,則J-QP-L =-,|QM |1可求得 Q (-4, 0) , .設(shè) l : y =

23、 k(x+4),由 l 于圓 Mf 目切得 |3k| =1 ,解得 k=±Y2.1 k2422 一x2y2當(dāng)卜=時(shí)，將y= x+、'2代入一+L=1(x02)并整理得7x2+8x 8 = 0,解 4443得 x1,2 = Y ；近 , . |AB|=、1 + k2 | x1 - x21 =-y .一 218當(dāng)k =2時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|= 18 ,綜上，|AB|二更或|AB|= 23.7(21)(本小題滿分共12分)已知函數(shù)f (x) = x2 +ax + b , g(x) = ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0, 2),且在點(diǎn)P處有

24、相同的切線 y =4x + 2(i)求 a, b , c, d 的值(n)若x>- 2時(shí)，f (x) < kg(x),求k的取值范圍?！久}意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)最值，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)，是中檔題.【解析】(I)由已知得 f(0) =2,g(0) =2,f'(0)=4,g'(0) =4,而 f'(x)=2x+b, g'(x) = ex(cx + d+c),，a =4, b=2, c=2, d =2；4分(n)由(i)知， f (x) = x2 4x 2 , g(x) = 2ex(x 1)

25、,設(shè)函數(shù) F(x) = kg(x) f(x)=2kex(x+1)x2 4x2 (xX2),F (x)=2kex(x 2) -2x-4 = 2(x 2)(kex-1),有題設(shè)可得F(0) >0,即k 21 ,令 F'(x)=0 得，x1=lnk, x2 = 2,(1)若1 Ek <e2 ,則一2Vxi w 0, .當(dāng) xw (2,x1)時(shí)，F(xiàn) (x) v 0,當(dāng) x w (x1,)時(shí)，F(xiàn) (x) 0,即F(x)在(2,為)單調(diào)遞減，在(為，收)單調(diào)遞增，故F(x)在x = x取最小值F(x),而 F (為)=2% +2 -x； -4x1 一2 = -xK +2) >0,

26、 .當(dāng) x>2 時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即 f (x) w kg(x)恒成立，(2k=e2,則 F'(x)=2e2(x+2)(ex-e2), .當(dāng) x>2 時(shí)，F(xiàn) (x) >0, F(x)在(一2,+ 8)單調(diào)遞增，而 F(2)=0, .當(dāng) x>2 時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即 f (x) w kg(x)恒成立，(3)若 k >e2,則 F(2) = 2ke" +2 = 2e“(k e2)<0, .當(dāng)x>2時(shí)，f (x) < kg(x)不可能恒成立，綜上所述，k的取值范圍為1,e2.請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選

27、一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。（22）（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講 如圖， 直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為 B,點(diǎn)C在圓上，/ ABC的角平分 線BE交圓于點(diǎn) E, DB垂直BE交圓于 D。（I）證明：DB=DQ（n）設(shè)圓的半徑為1, BC泮昔誤！未找到引用源。，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,求 BCF外接圓的半徑。【命題意圖】本題主要考查幾何選講的有關(guān)知識(shí)，是容易題 【解析】（I）連結(jié)DE,交BCf點(diǎn)G.由弦切角定理得，/ ABF=Z BCE ',/ ABE=Z CBE ，/ CBE4 BCE, BE=CE（n）由（I ）知,CDE=Z BDE, BD=DQ 故 DG BC勺中垂線,BG= 32又 DB, BE,D既直徑，/ DCE=90°,由勾股定理可得 DB=DC.設(shè)D計(jì)點(diǎn)為 O,連結(jié) BO,貝U/ BOG=60°, / ABE=Z BCE玄 CBE=30o,CF± BF,RtA BCF勺外接圓半徑等于（23）（本小題10分）選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲x = 4 5cost線G的參數(shù)萬(wàn)程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極y = 5 5sint點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2