1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性與周期性的含義知識點一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱易誤提醒1判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件2判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(x)f(x)，而不能說存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函數(shù)奇

2、偶性判定時，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性是錯誤的必記結(jié)論1函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論：(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)0，xD，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性2有關(guān)對稱性的結(jié)論：(1)若函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對稱若函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(a,0)對

3、稱(2)若f(x)f(2ax)，則函數(shù)f(x)關(guān)于xa對稱若f(x)f(2ax)2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，b)對稱自測練習(xí)1函數(shù)f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)2(2015·石家莊一模)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x(0，)時，f(x)log2x，則f()()A B.C2 D23若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.知識點二函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期2最小正周期如

4、果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期必記結(jié)論定義式f(xT)f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的若f(xa)f(xb)，則函數(shù)f(x)的周期為T|ab|.若在定義域內(nèi)滿足f(xa)f(x)，f(xa)，f(xa)(a>0)則f(x)為周期函數(shù)，且T2a為它的一個周期對稱性與周期的關(guān)系：(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa和直線xb對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|ab|是它的一個周期(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|ab|是它的一個周期(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(

5、a,0)和直線xb對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|ab|是它的一個周期自測練習(xí)4函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5)_.考點一函數(shù)奇偶性的判斷|判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x； (4)f(x)；(5)f(x)函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法1定義法：2圖象法：3性質(zhì)法：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇考點二函數(shù)的周

6、期性|設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 017)判斷函數(shù)周期性的兩個方法(1)定義法(2)圖象法已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)，且當(dāng)x0,2)時，f(x)log2(x1)，則求f(2 015)f(2 017)的值為_考點三函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用|高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會單純地考查某一個性質(zhì)，而是對奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查歸納起來常見的命題探究角度有：1已知奇偶性求

7、參數(shù)2利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式3周期性與奇偶性綜合4單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合探究一已知奇偶性求參數(shù)1(2015·高考全國卷)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.探究二利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式2(2015·高考全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1|x|)，則使得f(x)>f(2x1)成立的x的取值范圍是()A. B.(1，)C. D.探究三周期性與奇偶性相結(jié)合3(2015·石家莊一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1,4) B(2,0) C(1,0) D(1,2)探究四單

8、調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)<f(11)<f(80) Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25) Df(25)<f(80)<f(11)函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的三種常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性(2)周期性與奇偶性結(jié)合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)

9、合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解2.構(gòu)造法在函數(shù)奇偶性中的應(yīng)用【典例】設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm_.思路點撥直接求解函數(shù)的最大值和最小值很復(fù)雜不可取，所以可考慮對函數(shù)整理化簡，構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零求解方法點評在函數(shù)沒有指明奇偶性或所給函數(shù)根本不具備奇偶性的情況下，通過觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其局部通過變式可構(gòu)造出奇偶函數(shù)，這樣就可以根據(jù)奇偶函數(shù)特有的性質(zhì)解決問題跟蹤練習(xí)已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，則f(2)等于()A26B18 C10 D10A組考點能力演練1(2015·陜西一檢

10、)若f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“f(0)0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的()A必要不充分條件 B充要條件C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件2(2015·唐山一模)已知函數(shù)f(x)xlog21，則ff的值為()A2 B2 C0 D2log23設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x2,1)時，f(x)，則f()A0 B1 C. D14在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，當(dāng)0<x1時，f(x)2x，則f(2 015)()A2 B2 C D.5設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f(1)0，則不等式xf(x)f(x)<0的解集為()Ax|1<x

11、<0，或x>1 Bx|x<1，或0<x<1Cx|x<1，或x>1 Dx|1<x<0，或0<x<16已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(2)1，且對任意的xR，都有f(x3)f(x)，則f(2 017)_.7函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a_.8已知函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：直線x1是函數(shù)f(x)的一條對稱軸；f(x2)f(x)；當(dāng)1x1<x23時，f(x2)f(x1)(x2x1)<0，則f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)從大到小的順序為_9已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若

12、函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍 10函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式f<0的解集B組高考題型專練1(2014·高考新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)2(2014·高考安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x當(dāng)0x<時，f(x)0，則f()A. B.C0 D3(2015&#

13、183;高考廣東卷)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()Ay ByxCy2x Dyxex4(2015·高考天津卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實數(shù))為偶函數(shù)記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa<b<c Ba<c<bCc<a<b Dc<b<a5(2015·高考湖南卷)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)ln(1x)，則f(x)是()A奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D偶函數(shù)，且在(0,1)

14、上是減函數(shù)答案:1.解析：由知x>1，定義域不關(guān)于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)答案：C2.解析：因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f()f()log2，故選B.答案：B3.解析：f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0對于xR恒成立，故a0.答案：04.解：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：考點一解：(1)由得x±1，f(x)的定義域為1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)的定義域為，不關(guān)于坐標(biāo)原

15、點對稱，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(3)f(x)的定義域為R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)(4)由得2x2且x0.f(x)的定義域為2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(5)易知函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱，又當(dāng)x>0時，f(x)x2x，則當(dāng)x<0時，x>0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x<0時，f(x)x2x，則當(dāng)x>0時，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)解(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當(dāng)x2,0時

16、，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當(dāng)x2,4時，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得x2,4時，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0，f(0)f(1)f(

17、2)f(2 017)f(0)f(1)011.解析：當(dāng)x0時，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一個周期f(2 017)f(1)log221，f(2 015)f(2 015)f(3)1，f(2 015)f(2 017)0.答案：01.解析：由題意得f(x)xln(x)f(x)xln(x)，所以x，解得a1.答案：12.解析：函數(shù)f(x)ln(1|x|)，f(x)f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，又當(dāng)x(0，)時，f(x)ln(1x)，f(x)是單調(diào)遞增的，故f(x)>f(2x1)f(|x|)>f(|2x1|)，|x|>|2x1|，解得<x<1，故選

18、A.答案：A3.解析：f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)<1，f(5)，<1，即<0，解得1<a<4，故選A.答案：A4.解析：f(x)滿足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<

19、f(80)<f(11)答案：D【典例】解析易知f(x)1.設(shè)g(x)f(x)1，則g(x)是奇函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，g(x)的最大值為M1，最小值為m1，M1m10，Mm2.答案2解析：由f(x)x5ax3bx8知f(x)8x5ax3bx，令F(x)f(x)8可知F(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)F(x)0.F(2)F(2)0，故f(2)8f(2)80.f(2)26.答案：A1.解析：f(x)在R上為奇函數(shù)f(0)0；f(0)0f(x)在R上為奇函數(shù)，如f(x)x2，故選A.答案：A2.解析：由題意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1)，所以f(x

20、)1為奇函數(shù)，則f1f10，所以ff2.答案：A3.解析：因為f(x)是周期為3的周期函數(shù)，所以fff4×221，故選D.答案：D4.解析：由f(x3)f(x)得函數(shù)的周期為3，所以f(2 015)f(672×31)f(1)f(1)2，故選A.答案：A5.解析：奇函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)f(x)，xf(x)f(x)<0，xf(x)<0，又f(1)0，f(1)0，從而有函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：則有不等式xf(x)f(x)<0的解集為x|1<x<0或0<x<1，選D.答案：D6.解析：由f(x3)f(x)得函數(shù)f(

21、x)的周期T3，則f(2 017)f(1)f(2)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(2 017)f(2)1.答案：17.解析：由題意知，g(x)(x1)(xa)為偶函數(shù)，a1.答案：18.解析：由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由知f(x)在1,3上是減函數(shù)所以f(2 015)f(3)，f(2 016)f(0)f(2)，f(2 017)f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)9解：(1)設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1<a3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,310.解：yf(x)是奇函數(shù)，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函數(shù)，yf(x)在(，0)上是增函數(shù)，若f<0f(1)，即0<x<1，解得<x<