1、歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第屆（ 1972 年于羅馬尼亞的布加勒斯特）【題】給定三個圓柱，它們的長度、外徑和質(zhì)量均相同。第一個是實心圓柱；第二個是空心圓筒， 壁有一定厚度； 第三個是同樣壁厚的圓筒，但兩端用薄片封閉， 里面充滿一種密度與筒壁相同的液體。如將它們放在傾角 為的斜面上，如圖 6.1 所示，求出并比較這些圓柱SR的線加速度。 研究光滑滾動與又滾又滑兩種情況。圓柱與斜面mg sin的摩擦系數(shù)為 ，液體與筒壁之間的摩擦可以忽略。解：沿斜面方向作用在圓柱上的力是：作用于質(zhì)心重力的分量sin 和作用于接觸點的摩擦力，如圖 6.1 所示。產(chǎn)生的mgS加速度 a ：ma mgsin S純

2、滾動時的角加速度為： aR轉(zhuǎn)動的運動方程為：RSa IR以上方程組的解為：g sinaI1mR2Img sinSmR2（）1ImR2當(dāng) S 達到最大可能值mgcos時，也就到了純滾動的極限情形，這時：Img cos hmg sinhmR2I1mR2即維持純滾動的極限條件為tan h(1mR2)（）I下面我們來研究三個圓柱體的純滾動情形。（）實心圓柱的轉(zhuǎn)動慣量為I 1 mR22從（）式和（）式分別得到2g sin ，hatan a 3角加速度為： aR（）設(shè)空心圓筒壁的密度是實心圓柱密度的n 倍。因已知圓柱的質(zhì)量是相等的，故可以算出圓筒空腔的半徑r ：R 2 L n L(R 2r 2 )即r 2

3、R2n1n轉(zhuǎn)動慣量為：I0.5nLR 2R20.5nLR2r 20.5mR22n1n由（）式和（）式分別算出：a2ng sin，tan h4n1角加速度為： a4n12n1Rm，但轉(zhuǎn)（）對充滿液體的圓筒，因液體與筒壁之間無摩擦力，故液體不轉(zhuǎn)動?？傎|(zhì)量為動慣量只需對圓筒壁計算：I0.5nLR 2R20.5nLR2r 20.5mR22n1n由（）式和（）式分別算出：a2ng sin，tan2n 22n12n 22nh2n11角加速度為： aR現(xiàn)在比較三個圓柱體的運動特點：線加速度和角加速度之比為：13n3n 24n 122n12n極限角正切之比為：14n1 2n22n 13( 2n2)3(2n1)

4、如果斜面傾角超過極限角，則圓柱又滑又滾。 此時三個圓柱體的摩擦力均為mgcos，故線加速度相同，為：（ sincos）ag角加速度由 R mg cos給出，但轉(zhuǎn)動慣量在三種情況下各不相同。因此，若圓柱體又I滾又滑，則三種情況下的角加速度分別為：1 2 cos gR232cosnR2ng12cosn2R2ng1【題】有兩個底面積為21dm 的圓筒，如圖 6.2 所示，左方圓筒裝有一種氣體，氣體的質(zhì)量 4g，體積 22.4L ，壓強 1atm ，溫度 00C。右方圓筒裝有同種氣體，氣體的質(zhì)量7.44g ，體積 22.4L ，壓強 1atm，溫度 00C。左方圓筒筒壁絕熱，右方圓筒靠一個大熱庫維持溫

5、度00C。整個系統(tǒng)在真空中。放開活塞， 它移動了5dm后達到平衡并靜止。試問右方圓筒中的氣體吸收了多少熱量？氣體等容比熱為0.75cal/g?K。00C圖 6.2解：放開連桿前，右方氣體壓強為：7.44/4 1.86 （ atm）在達到平衡時， 左方氣體體積為3），右方氣體體積為3）。22.4 517.4（ dm22.4 5 27.4（dm左方氣體經(jīng)絕熱過程升高溫度到T，壓強為 p。右方氣體經(jīng)等溫膨脹到同一壓強。等溫膨脹由下式表示：1.86 × 22.4 × 27.4解得：p 1.521 atm對左方氣體應(yīng)用絕熱過程定律，得：1×22.4 k 1.521 

6、5; 17.4 k由此可求得比熱之商k 如下22.4 k()1.521k1.2874 1.521（看來它是一種單原子氣體：氦。）左方氣體的溫度可從狀態(tài)方程算出：122.41.521 17.4273T解得：T 322.5Kt 49.5 0C在這個過程中，右方氣體的溫度沒有改變，它吸收了0.75 ×4×49.5 148.5 cal的熱量，這些熱量表現(xiàn)為氣體的內(nèi)能注。（注： 此處是指左方氣體的內(nèi)能。因為右方氣體等溫膨脹，所吸收的熱量等于它對左方氣體所作的功。左方氣體絕熱壓縮，右方氣體對它所作的功等于左方氣體內(nèi)能的增量。）【題】 將焦距為 f 的一個透鏡， 沿其表面的垂直方向切割成

7、兩部分。 把兩個半透鏡移開一段小距離 ，如果在透鏡的一方距離 t f 處放置一個單Sdh色點光源，問在透鏡的另一方距離H處的屏幕上將出現(xiàn)多少干涉條紋？解：由兩部分透鏡所產(chǎn)生的像是相干光源，所以可以發(fā)生干涉。設(shè)兩個點光源的距離為d，若光程差等于波長 ，則在 h 遠處的屏幕上將出現(xiàn)第一個極強，如解圖6.1 所示。即：dsin 解圖 6.1由于 是小角，取近似S，各級極強的間距為：sindShh，hSd下面計算兩個焦點的位置。一個點光源位于焦距為f 的透鏡前t 距離處，它產(chǎn)生的實像位于 ktf所，如解圖 6.2tf示。AK 1BdDK2tkhH解圖 6.2若切口的寬度為，則兩實像點間的距離可從下列比

8、例式中得到：dtktt kt因此 dt ft像點 K1 和 K2 是相干光源。它們發(fā)射出來的光束的干涉在屏幕上觀察到。條紋的間距為ShhH (tf ) tf，其中 d 為已知。屏幕到像點的距離為：H kfdt在此實驗中，條紋間距為： SH (tf )tft干涉條紋出現(xiàn)在K1 和 K2 發(fā)出的兩束光交疊處。由相似三角形求得兩束光交疊部分的直h t徑為 DtD2Ht用 S 除 D，得條紋數(shù)目為NH (tf ) tfS如果 f 10cm， t 20cm， 0.1cm， 0.5 m，H 50cm，則得 N46.6。當(dāng)屏幕比 A 點更近時，對D必須另作計算。如屏幕在B點以內(nèi)，則無干涉條紋?！緦嶒烆}】給定兩個圓柱體，它們的大小、形狀、材料均相同，其一是實心體，另一個內(nèi)部有一個與圓柱軸平行的圓柱形空腔。 后者兩端用薄片封閉。 試確定材料密度， 以及空腔軸與圓柱軸之間的距離。解答：實心圓柱體的密度可由其質(zhì)量和體積確定。 其次我們測量有空腔的圓柱體的質(zhì)量，根據(jù)兩個圓柱體質(zhì)量之