1、.級數(shù)求和法在化學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)作為一門根底理論課對于多數(shù)學(xué)生來說是較為重視的，然而作為一種研究問題的工具，許多學(xué)生并未真正感受到它的實(shí)用價值，往往低估了數(shù)學(xué)方法對于學(xué)習(xí)化學(xué)知識及其解決化學(xué)問題的重要作用，或不會靈敏運(yùn)用數(shù)學(xué)這一工具去理解、解決化學(xué)問題。其實(shí)，許多化學(xué)理論、規(guī)律、計(jì)算等假設(shè)能靈敏而有效地借助數(shù)學(xué)方法去剖析、推演，往往會有意外的收獲。本文就“級數(shù)求和在化學(xué)中的應(yīng)用問題略作闡述，供參考。 算術(shù)級數(shù)、幾何級數(shù)的求和是兩種根本的級數(shù)求和問題，它們在化學(xué)中對于某些規(guī)律和結(jié)論的推導(dǎo)及計(jì)算題的求解具有極妙的用處，例舉如下： 一、算術(shù)級數(shù)的應(yīng)用 原子構(gòu)造理論中的一條重要結(jié)論：最大容量原理原子

2、核外第 n主能級層中最多包容的電子數(shù)不超過“2n2。該結(jié)論的推導(dǎo)法有多種，然而，算術(shù)級數(shù)求和法在此結(jié)論的推導(dǎo)上具有獨(dú)到之處，導(dǎo)法如下： 令 n為主能級層的層序數(shù)第 n主能級層內(nèi)的電子亞層總數(shù)等于該主能級層的層序數(shù)且 各電子亞層內(nèi)的原子軌道數(shù)2×亞層序數(shù)1第n主能級層內(nèi)具有的原子軌道數(shù)等于各亞層軌道數(shù)之和：13572n1又每個原子軌道內(nèi)最多可包容兩個自旋相反的電子第 n主能級層內(nèi)最多可包容的電子數(shù)等于各電子亞層內(nèi)可包容的電子數(shù)之和，即有：26101422n1顯然，上式為一算術(shù)級數(shù)且： 首項(xiàng) a12 公差 d4 通項(xiàng) a n4n2故前n項(xiàng)之和為：即：第 n主能級層內(nèi)最多包容的電子數(shù)為“2

3、n2。 推導(dǎo)畢可見，最大容量原理的上述導(dǎo)出，使其建立在嚴(yán)密的數(shù)理根底上，對原子核外電子排布規(guī)律的理解和掌握無疑具有積極的作用。二、幾何級數(shù)的應(yīng)用例題 將NO2氣和O2氣以21的體積比混和充滿一支試管中，然后倒立于水里。待充分反響后，試管中仍有部分氣體存在。問該剩余氣體是何物？試管中剩余氣體占試管容積的百分之幾？ 解法分析：NO2、O2、水三者共存時有反響：3NO2 + H2O = 2HNO3 + NO2NO + O 2 = 2NO2可知，混和氣體在與水充分接觸時，其中NO2被水吸收的同時又產(chǎn)生NO，NO又會很快與O2化合成NO2，NO2又會繼續(xù)與水作用。顯然，以上兩步反響發(fā)生循環(huán)過程，每完成一

4、輪循環(huán)周期便消耗部分混和氣體。循環(huán)假設(shè)干周期后，那么各周期消耗氣體NO2或O2的量便構(gòu)成一數(shù)列。當(dāng)O2過量時，反響周而復(fù)始，直至無窮，NO2 剩余量的極限為“0，那么氣體消耗量所構(gòu)成的數(shù)列形成一個無窮遞減數(shù)列即所得數(shù)列收斂，而消耗氣體的總量那么為該數(shù)列解：令試管的容積為V，那么試管中NO2和O2氣的量分別為2/3V、1/3V。據(jù)反響方程式可知，體系中各物質(zhì)間量的關(guān)系及每輪循環(huán)中各物質(zhì)體積的變化為：由以上假設(shè)干循環(huán)周期中各物質(zhì)體積的改變所構(gòu)成的數(shù)列可得：消耗O2氣的總量為：消耗NO2氣的總量為實(shí)際消耗量等于起始消耗量與周尾生成量之差：顯然，式1和式2均為幾何級數(shù)，且由于：即任一輪循環(huán)反響周期中，

5、消耗O2氣和NO2氣的體積之比為14，而反響起始狀態(tài)時，有：顯然原混合氣體中O2過量，反響呈無限循環(huán)，且式1和式2均為無窮遞減幾何級數(shù)。故有：消耗O2氣的總量為：消耗NO2氣的總量為：那么剩余氣體O2占試管容積的百分比為：答：充分反響后試管中剩余O2氣，且占試管容積的16.7%。此外，上述解法中消耗O2氣或NO2的總量也可用下法計(jì)算，即先求其前n項(xiàng)和，再求其極限。級數(shù)式1的前n項(xiàng)和為：由于式1為無窮遞減級數(shù)，且級數(shù)具有收斂性q1，故：顯然其計(jì)算結(jié)果與上述解法一致。三、算術(shù)·幾何級數(shù)的應(yīng)用例題 比色分析中配制得硫酸銅標(biāo)準(zhǔn)系列溶液的濃度單位mol/L依次為： 0.3，0.5，0.7，0.

6、9，。假設(shè)將其依次按12482n1的體積比使前六種標(biāo)準(zhǔn)液混和，求混和溶液的濃度。 解：令溶液的單位體積為V，那么混和前各標(biāo)準(zhǔn)液的體積分別為：V，2V，4V，8V，2n1V，混和前各標(biāo)準(zhǔn)液中溶質(zhì)的物質(zhì)的量依次為：0.3×V，0.5×2V，0.7×4V，0.9×8V，0.3+n-1×0.2×2n1V，據(jù)溶液混和的濃度求解法那么：有：因V為一常數(shù)，故得：顯然，上式左邊為“a0.3，d0.2，q2的“算術(shù)·幾何級數(shù)；而式右邊為“a11，q2的“幾何級數(shù)。據(jù)“算術(shù)·幾何級數(shù)的前n項(xiàng)和公式，有：據(jù)“幾何級數(shù)的前n項(xiàng)和公式，有：即有： 63C混70.5解得： C混1.12 mol/L答：混和溶液的濃度為1.12 mol/L。綜上級數(shù)在化學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例可見，數(shù)學(xué)