1、第三講第三講 無限期界模型（拉姆齊模型）無限期界模型（拉姆齊模型）Frank Ramsey Frank Ramsey (1903-1930), Britishmathe matician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, p

2、robability and decision theory, economics and metaphysics.A Contribution to the Theory of Taxation,1927A Mathematical Theory of Saving,1928 一、問題的提出一、問題的提出 前面各種增長模型之所以都將儲蓄率看作外生常數(shù)，主要是為了簡化模型的分析，另一方面是因為在許多經(jīng)濟中其相對比較穩(wěn)定，在一定時期內(nèi)變化不大。但是，增長理論研究的是長期的動態(tài)經(jīng)濟增長，長期間儲蓄率是變化的，將其作為外生常數(shù)排除了經(jīng)濟增長與其的相互作用。從前面的討論可知，一個經(jīng)濟是否有穩(wěn)定狀態(tài)，是

3、否收斂，收斂速度多快以及是否存在內(nèi)生經(jīng)濟增長等都與儲蓄率的變化有關(guān)，因此排除經(jīng)濟增長對儲蓄率的反作用必然使經(jīng)濟增長的關(guān)鍵特征都由模型的外生參數(shù)決定，使模型無法解釋經(jīng)濟增長真正的內(nèi)在規(guī)律和機制，這是造成哈羅德一多馬模型、索洛（及其基礎(chǔ)之上的衍生）模型解釋經(jīng)濟增長能力局限性的根本原因。 本講的主要工作是將儲蓄率作為內(nèi)生變量引入模型，做到這一點的辦法是考察家庭的消費行為，因為儲蓄率是由家庭的消費行為決定的。 考察家庭費行為的辦 法是利用消費的效用函數(shù)，家庭消費決策的原則是使長期內(nèi)家庭整體消費效用最大化。 有了家庭的消費效用函數(shù)，我門可以分析家庭在各種資本和產(chǎn)出水平(相當(dāng)于當(dāng)前和長期的消費約束)，如何

4、選擇消費量(或儲蓄率)的規(guī)律，從而使儲蓄率成為模型的內(nèi)生變量。 首先建立這種家庭最優(yōu)消費選擇模型的是拉姆賽(Rmsey,1928) ，凱斯(Cass)和科普曼斯(Koopmans)在1965年又分別對它作了改進，我們把這種類型的增長模型稱為拉姆賽模型?；仡櫍狐S金分割律、最優(yōu)消費和黃金率回顧：黃金分割律、最優(yōu)消費和黃金率資本存量水平資本存量水平 在索洛模型中，儲蓄率s被假定為外生參數(shù)，儲蓄率的變動將影響穩(wěn)態(tài)的人均消費和動態(tài)的人均消費水平。當(dāng) 時，與最優(yōu)儲蓄（相對應(yīng)于最優(yōu)資本存量和最優(yōu)消費）相比會出現(xiàn)“過度儲蓄”（即“過度積累”）的情況，而一個高于黃金率的儲蓄率被證明是動態(tài)無效的。當(dāng) 時，只有在給

5、定在當(dāng)前消費與未來消費之間的權(quán)衡參數(shù)的條件下，才能判斷增加儲蓄率的合理性。goldssgoldssf(k)E二、模型假定二、模型假定 1完全競爭市場結(jié)構(gòu) 2長生不老的不斷擴展的家庭（有限壽命的個人和基于利他主義的代際轉(zhuǎn)讓） 3家庭和個人完全同質(zhì) 4忽略資本的折舊 5暫不考慮政府行為在簡單經(jīng)濟中，家庭與廠商之間的關(guān)系：三、廠商行為三、廠商行為四、家庭行為四、家庭行為1. 家庭效用函數(shù)定義家庭效用函數(shù)（也稱作“幸福函數(shù)幸福函數(shù)”）為：() ( ) ( )tntn ttotoUu c tdtu c tdteeen 說明子女越多，父母對每個子女福利的重視程度就會越小，即父母會加速對不斷增多子女的輕視程

6、度.2.家庭的資產(chǎn)和債務(wù) 記t時刻家庭擁有的總資產(chǎn)為A(t)。這里A(t)可以為正的，也可以為負(fù)的。當(dāng)A(t)為正時表明此時家庭擁有正的資產(chǎn);反之，A(t)表示家庭的負(fù)債。假設(shè)在完全競爭條件下，市場上的資本回報率(即利率)為r(t)。這樣家庭所擁有的資產(chǎn)在t時刻可以帶來的收益為A(t)r(t) 。如果A(t)為負(fù)， A(t)r(t) 表示此時家庭必須付的債務(wù)利息。同時，假設(shè)家庭可以為社會提供勞動力，得到工資回報。假設(shè)在t時刻的工資率（人均工資）為w(t)，家庭提供的勞動力為L(t)。這樣，家庭通過勞動得到的收益為w(t)L(t)。因此，在t時刻家庭的總收入為r(t)A(t)+w(t)L(t)。

7、 C t/:A tw t L tr t A tC ttA tL tttC tL tttA tL ttA tw t L tr t A tC taw tr t a tc tna tna tn家庭收入除用來消費外，其余的用來儲蓄以增加資產(chǎn)。記t時刻家庭的總的消費水平為，這樣家庭的預(yù)算約束可以表示為:定義a為時刻家庭擁有的人均資產(chǎn),c為和時刻家庭的人均消費,并且L的增長率為n,這樣方程:a兩邊對求導(dǎo),并將代入得表示人口按 速率增長 aw tr t a tc tna tw tr t a tc tn時使家庭人均資產(chǎn)保持原有水平必須追加的投資或儲蓄.方程表明:人均資產(chǎn)隨著人均收入的增長而增長,隨著人均消費和

8、人口擴張率 的上升而下降.這是家庭消費最大化的第一個限制條件. 0:limexp0,.,limexpttta tr vndvr tnr tna tr vndv 第 二 個 限 制 條 件 是即 時 間 的 無 限 推 移 ,人 均 凈 資 產(chǎn) 的 貼 現(xiàn) 值 漸 進 非 負(fù) ,這 說 明 人 均 凈 資 產(chǎn) 的 凈 貼 現(xiàn) 值 由決 定 不 能 為 負(fù) ,否 則 ,在 未 來 遠 期 的 某 一 時 刻 ,家 庭 將 會 停 止 投 資 .也 可 反 過 來 說 ,一 個 家 庭 的 長 期 人 均 債 務(wù) 的 增 長 速 度 不 能超 過否 則 收 益 將 為 負(fù)現(xiàn) 在 家 庭 的 最 優(yōu)

9、消 費 問 題 變 為 ,在 預(yù) 算 約 束 : 0()0: ( )tn ttoaw tr t a tc tna tUu c tdte和下求 解的 最 大 值 . :0n tn tHamiltonHamiltonHu c ewrn actcHamiltonHuc ec利用系統(tǒng)來求解上述優(yōu)化問題.對于上面的優(yōu)化問題定義方程式中第一項是時刻 消費 的效用的貼現(xiàn)值. 為乘子,表示在t時刻一個單位的資本存量的增加所帶來效用增加量的現(xiàn)值,也有將其稱為效用的影子價格.這樣,第二項表示:t時收益的效用以0時刻的收益效用來表示.一階最優(yōu)條件為: 12lim( )03tHrnat a t 橫截性條件(Trans

10、versality condition-TVC,這里應(yīng)用了K-T定理的互補松弛條件.) 方程(1)表明在最優(yōu)時，消費的邊際效用（貼現(xiàn)）等于財富的邊際值（貼現(xiàn)）。方程(2)為Euler Equation，我們將在后面進行討論。橫截性條件(3)排除了發(fā)散的均衡點的情形。它表明在時間充分長時，財富的價值充分小。這是因為如果在充分長的時間后財富的邊際值為正，則消費者的財富一定為零;否則，如果存在正的財富，消費者可以降低財富水平用來增加消費，從而提高總的效用。另一方面，如果在充分長的時間消費者還存在正的財富，那么消費者消費的邊際效用一定等于零;否則，同樣的道理消費者可以降低財富水平用來增加消費，從而提高

11、總的效用。 Euler1Euler20.uccuc ccucu ccu cuc cdu cu cu cdc uu 現(xiàn)在來解釋方程?？紤]到方程，通過計算可以把方程變?yōu)椋簉= +是邊際效用彈性 定義:邊際效用彈性 =-該式說明家庭消費選擇的準(zhǔn)則是,使得投資報酬率r正好等于時間偏好率當(dāng)前消費可以避免將來消費效用貶值損失的比率 與由于當(dāng)前人均消費c的變化而引起效用的變化率之和,這個和表明了當(dāng)前消費的回報率,它應(yīng)等于當(dāng)前投資的回報率r.這就是通常所講的市場無套利原則在宏觀經(jīng)濟學(xué)中的體現(xiàn). 11( ) ( ),0,(1)011;( ), ( )21 2( 1/2)/ ( 1/2)( 1/2)/ (C tu

12、 C tngudu Cu Cu CCu CCdC uuCCPPCCP 效用函數(shù)的形式為：保證效用 不發(fā)散該函數(shù)具有以下三個特點：邊際效用彈性不變:跨期替代彈性不變，為1/ ，表示相對風(fēng)險回避系數(shù)不變。，表示兩期的消費，定義跨期替代彈性為：11112ln1/21/2)ln1/2( ): ( )1. .1 12 2ln1/2ln1/2( ).:( )1( ).111( )CCPPPC tMaxu C tstP CP CWCCLPPu Cu C CCCu CUu C C 針對應(yīng)用 求極值法,求出C1和C2,代入得同理我們可證明一個兩期效用函數(shù)的 1( ), ( ):1/,:lim0,0,tuc cc

13、u CCu CCu cccrcTVCt a tt a t 將代入r得該式表明,r大于,等于,還是小于決定了家庭的最佳消費模式是人均消費不斷上升 保持不變,還是逐步下降.我們討論一下橫截性條件該橫截性條件表明,當(dāng)時間趨向于無窮遠時,家庭人均資產(chǎn)的效用必須趨向于 即無窮遠時間的資產(chǎn)在現(xiàn)在.看來毫無價值 00/,:00 exp,00(0) .lim( )0,limexp0ttttHrnrntar vn dvvvu ct a ta tr vn dv 方程兩邊對時間積分,得: (t)=是一常數(shù),將上式代入則橫截性條件變?yōu)?該式意味著:長期人均資產(chǎn)a不能以r-n那么快的速度增長,否則家庭不能實現(xiàn)效用最大化

14、.如a的增長速度超過r-n, 00:exp0,.1/0.trttr ttr v dvtr vrer ttr v dvte那么多出來的那一部分用于消費,家庭人均福利能夠提高.消費函數(shù)上述方程中的項是將時刻 的一單位收入轉(zhuǎn)化為 時刻的等價單位的貼現(xiàn)因子.如果等于常數(shù) 則貼現(xiàn)因子簡化為如果定義:為時間 至 之間的平均利息率,則貼現(xiàn)因子為 1001,0,:TTr TnTr tntr tntcu ccwracnaa T ec t edtaw t edtTTVCc t 決定了人均消費 的增長率.為了確定家庭的消費函數(shù),即各個時刻家庭人均消費的水平 必須用收入流量預(yù)算約束:a導(dǎo)出家庭的跨時期預(yù)算約束.將上式

15、作為一價線性微分方程求解,得到對任何時刻T0都成立的跨時期預(yù)算約束:如果令根據(jù)條件有 00001/0(0)(0)(0)(0)/1/01/,:0,r tntr tntr tnttr ttedtaw t edtawww t edtwcrtr ttr v dvc tce其中: 為未來全部工資收入的現(xiàn)值之和.上式表明:消費的現(xiàn)值等于初始資產(chǎn)a(0)和未來收入的現(xiàn)值之和. 將c對時間積分,并利用求得消費函數(shù)為將該 01/0(0)(0)000(0)(0)100r tntr tntc t edtawawedt 式代入可導(dǎo)出 時刻的消費為:c其中稱為財富的消費傾向,由下式?jīng)Q定: 1/01,01,2,.0.r

16、tntr tedtr t 對給定的財富量 平均利率的提高對方程中的邊際財富消費傾向有兩方面的影響:較高的利率提高當(dāng)前消費相對于將來消費的機會成本 跨時期消費的替代效應(yīng)會刺激人們把當(dāng)前消費改為將來消費,即當(dāng)前少消費,多儲蓄(投資).較高的利率又有收入效應(yīng) 會提高所有時間的消費水平 包括當(dāng)前的消費水平因此平均利率的提高對的凈影響取決于上述哪種效應(yīng)更強 : 11(0),0,021,0,031,0,r tcr tcnr t分析如果越小,隨的上升將下降也將下降,意味著當(dāng)前少消費,多儲蓄(投資).說明替代效應(yīng)強.如果越大,隨的上升也會上升上升,說明替代效應(yīng)強逐漸減弱,而收入效應(yīng)逐漸增強.如果兩種效應(yīng)相互抵

17、消,簡化為與無關(guān).五五.廠商的經(jīng)濟行為廠商的經(jīng)濟行為 :,.:,;00 ,01.:./gtgtgtYF K ALYF K ALF K LA tAegALALLeyYLKLyYLfYKfYLffe 廠商的生產(chǎn)函數(shù)且規(guī)模報酬不變令將正規(guī)化為則為有效勞動的單位產(chǎn)出. k為單位有效勞動占有資本.生產(chǎn)函數(shù)也可寫為:k 且滿足稻田條件.容易證明:kkkk 0.,:1,gtK ALrKwLrwrKwLK ALrKwLf krkwefkrfk 代表性廠商在任一時點的凈利潤流量:=F,其中: 為資本市場的平均利率;為資本折舊率; 為工人工資上式表明:凈利潤等于總產(chǎn)出減去資本的租金和工人的工資考慮一個有效勞動投入

18、為L的廠商 其凈利潤為:=F,L容易驗證,為使 最大化 須滿足即單位有效資本的邊際產(chǎn)出等于資本的租 ;2,.1 , 2gtrf kk fkewEuler金即勞動力要素的邊際產(chǎn)出等于工資上述實為定理.六.均 衡 1;,/,gtgtrwrwk kwracna akkKLKLekefk前面介紹了給定利率 和工資率情況下家庭的行為方式,接著又討論了給定利率 和工資率情況下完全競爭廠商的行為規(guī)律.現(xiàn)在將它們結(jié)合起來分析兩部門均衡. 在均衡時,總需求等于總供給,家庭最終凈債務(wù)水平為零,因此有:人均資本a= ( =K/L).k與a相等是因為在兩部門模型中,全部資本都由國內(nèi)居民(工人)擁有.根據(jù) a再依據(jù) ,

19、:.gtgtgtgtgtgtgtgtrfkk fkewkk egkewracna egkewrkcnk egkefkcgnkcceL ALgn和可得其中有效人均消費上述等式是生產(chǎn)的資源約束:單位有效勞動資本的變化等于單位有效勞動資本的產(chǎn)出減去消費和資本的廣化,這里考慮到了以的速率增長上述等式也可表述為:資本的深化等于人均產(chǎn)出減去消費和資本的廣化. .,.21kf kcgnkf kcc 微分方程是決定有效勞動資本的增長路徑,從而也是產(chǎn)出y路徑的關(guān)鍵關(guān)系式,是模型的基本微分方程.但該模型還缺少決定的機制如果有決定 變動的另一個微分方程 就可以研究經(jīng)濟運行的全部動態(tài)過程了 索洛模型是通過假定儲蓄率為

20、常數(shù),從而消費是產(chǎn)出的固定比例來解決這個問題的.本模型中儲蓄率已不是常數(shù),根據(jù)對家庭最優(yōu)化消費路徑的分析,已經(jīng)知道c按c/c= /1/gtrrfkfkg 增長,再根據(jù)c=ce和- ,可得: c/c=c/c-g= 003limexp0limexp0,.1 , 2 , 3tgttttakkkea tr vn dvkfkgn dvkkfkKgn 將和代入式,則TVC條件變?yōu)? 如果要 趨向一個常數(shù)穩(wěn)定狀態(tài)值則上式要求穩(wěn)定狀態(tài)時的凈資本報酬率單位資本的凈報酬大于穩(wěn)定狀態(tài)的資本的增長率 上述就構(gòu)成了關(guān)于kckc和 的微分方程,也就決定了 和 的增長路徑.七.穩(wěn)定狀態(tài) 0,kf kcgnkk 與索洛模型一

21、樣,本模型穩(wěn)定狀態(tài)時c, k, y的增長率都為零,即c=k=y=0.這時,單位有效勞動的資本k ,消費c, 產(chǎn)出y 都是一穩(wěn)定值,而人均資本k ,消費c, 產(chǎn)出y 都以技術(shù)水平的增長率g為速率增長,總量指標(biāo)K, Y, C, 則以速率g+n增長. 根據(jù)上述結(jié)論,穩(wěn)定狀態(tài)c, k, 值可以令中的和c/c=c/ 1/0.0,.goldfkgkf kgnkfkgnfkgnkc-g=中的c而求得滿足的 k c 在圖3.4中構(gòu)成了曲線c該曲線的最高點的切線斜率為零,因此滿足即資本報酬率與穩(wěn)定狀態(tài)的產(chǎn)出增長率相等.由于這個最高點是最好的穩(wěn)定狀態(tài)消費水平,而對應(yīng)的資本水平被稱為黃金法則資本水平,記為 0,.,fkgfkgggfkgk ckkkkf kkc意味著: 即穩(wěn)定狀態(tài)的資本報酬率必須等于有效折扣率其中反映了由于消費以 的速率增長而引起的消費效用遞減的影響.在圖3.4中,滿足的構(gòu)成一條垂直于 軸, 恒等于 的垂線 存在唯一的是因為是 的單調(diào)函數(shù) .,110kkcf kg