1、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中心問題的認(rèn)識(shí)和理解主持人：各位老師，大家好！江蘇省高中數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)課程模塊1-5對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中心問題的認(rèn)識(shí)和理解將邀請(qǐng)孫旭東老師主講。首先，請(qǐng)?jiān)试S我向各位老師介紹一下今天主講的專家。孫旭東老師是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組成員，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市教研室高中數(shù)學(xué)教研員，中學(xué)高級(jí)教師。主持人：孫老師，首先，請(qǐng)您給我們談?wù)剳?yīng)該從哪幾個(gè)方面認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題。孫旭東：好的。關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題，我將從下面三個(gè)方面談一點(diǎn)個(gè)人的看法，請(qǐng)大家批評(píng)指正。1。什么是數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題？2。我們來談一談為什么要確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題？3。如何確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題？ 主持人：孫

2、老師，問題串設(shè)計(jì)是蘇教版教材的一大特色，問題串的有效性，依賴于對(duì)一串問題中所蘊(yùn)含的基本問題或者說是中心問題的選擇。因此，選擇好中心問題，是問題串展開教材和有效實(shí)施教學(xué)的基本保障。問題一：孫老師，請(qǐng)問您認(rèn)為什么是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題？孫旭東：這個(gè)問題首先還是要從數(shù)學(xué)問題開始。數(shù)學(xué)問題，就是指在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，從思維層面產(chǎn)生的疑惑或者是一些矛盾。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，抓住學(xué)生思維的疑惑和矛盾，提出問題，或者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而通過尋求一定的思維路徑，最終解決問題或提出新問題。從而在師生共同分析和探討問題的過程中達(dá)到對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，這是目前新課程理念下高

3、中數(shù)學(xué)教學(xué)中大家一致認(rèn)為比較有效的方法。主持人：孫老師，那您認(rèn)為目前高中數(shù)學(xué)課堂中，教師提問中，存在的主要現(xiàn)象是什么？在課堂高中教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題，特別是教師提出的數(shù)學(xué)問題，多種多樣，層次不一。在目前的高中數(shù)學(xué)課堂中，教師滿堂問，隨意問，這種現(xiàn)象比較多，課堂教學(xué)中大量出現(xiàn)：是不是，對(duì)不對(duì)，還有問半句，讓學(xué)生去填空，一節(jié)課下來，有時(shí)有四、五十個(gè)問題，更有甚者，讓學(xué)生先站起來，老師再提問，這種情況要是學(xué)生答出來了，是老師你問的問題沒有價(jià)值；學(xué)生答不出來，那是因?yàn)槟氵@個(gè)問題根本不應(yīng)該答出來，沒有思考?？偟膩碚f，現(xiàn)在老師課堂上提的問題只是簡(jiǎn)單的判斷和填空，絕大多數(shù)學(xué)生不需要太多的思考，就可以解決。這種現(xiàn)

4、象，教師通過這種類型的問題，把學(xué)生牢牢的控制在自己的思路中，學(xué)生沒有，當(dāng)然也不可能有自己的想法，因?yàn)樗麤]有時(shí)間，也沒有空間，他只有跟著老師去走。這種類型的課堂，給人聽課的感覺是很“順利”，教學(xué)任務(wù)完成得很好，尤其是學(xué)生配合得很好，但是這種課，本質(zhì)上是教師的表演，學(xué)生的沒有參與，更談不上有收獲，或者對(duì)數(shù)學(xué)的理解根本就不到位。主持人：那孫老師，您認(rèn)為，什么樣的問題才是數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題？確實(shí)，今天，我想講的數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題顯然不是上述類型的問題，我個(gè)人認(rèn)為，它至少應(yīng)該包含兩個(gè)層面的價(jià)值：第一，通過對(duì)這個(gè)問題探討，學(xué)生能有效的解釋或反映所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，或者是解決一類問題的基本策略；我們

5、舉個(gè)例子，比如說；在高中必修一指數(shù)函數(shù)一課中，關(guān)于“指數(shù)函數(shù)性質(zhì)”的教學(xué)，必須圍繞兩個(gè)中心問題展開教學(xué)：第一個(gè)是研究指數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？對(duì)象是什么？第二個(gè)是明確研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法是什么？我們?cè)趺慈パ芯?？從哪個(gè)角度去研究？應(yīng)該這樣說，對(duì)像指數(shù)函數(shù)這樣具體函數(shù)性質(zhì)的研究，這在高中是第一次。我們看到，在這之前，學(xué)生已經(jīng)有過對(duì)一般函數(shù)的研究，學(xué)生已經(jīng)知道，比如說，常常研究函數(shù)的哪些性質(zhì)，第二個(gè)子在研究這些性質(zhì)時(shí)的方法和角度是什么呢。比如說，在前面提到的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等等都有著方面的滲透。這節(jié)課，學(xué)生就是以具體的“指數(shù)函數(shù)”為載體，回顧前面的一個(gè)過程，那么在對(duì)這兩個(gè)問題的分析和探討中，讓學(xué)生進(jìn)

6、一步感受函數(shù)性質(zhì)的研究方法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。這個(gè)地方我們應(yīng)該注意個(gè)問題，這兩個(gè)問題，也是后面研究對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、甚至是三角函數(shù)中必須探討的問題。也就是說后面怎么研究對(duì)數(shù)函數(shù)呢？怎么研究?jī)绾瘮?shù)呢？怎么研究三角函數(shù)呢？其實(shí)它的方法是一致的，角度也是一致的。第二個(gè)，這個(gè)問題，我們剛剛說的中心問題，它一定要有一定的思維深度，不能說老師一問，學(xué)生就答。當(dāng)然這種“度”的確定，各個(gè)不同層次的學(xué)生的度是不一樣的，我們必須考慮學(xué)生本身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，問題一提出，學(xué)生就可以立即解決，這不行；問題提出來了，學(xué)生忙半天，后者說忙了也沒有興趣了，這個(gè)問題也不行。我們說，學(xué)生需要探索、思考和討論，需要積極思維活動(dòng)才

7、能解決，要能解決，從而加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。這樣呢，我們覺得這個(gè)問題是比較好的。綜合以上這兩點(diǎn)，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題：第一個(gè)要針對(duì)概念的本質(zhì)所提出的問題，第二個(gè)它不應(yīng)該是學(xué)生能立即作答的，而是要能引發(fā)學(xué)生討論、遷移，產(chǎn)生不同的認(rèn)識(shí)，具有一定思維價(jià)值的問題。當(dāng)然，中心問題也可以是為了探究知識(shí)的來龍去脈，而在關(guān)鍵環(huán)節(jié)所提出的指向性問題。這些指向性問題，一般來說，是教師提出來的，當(dāng)然教師在提出這些問題的時(shí)候一般遵循的原則是“由遠(yuǎn)及近”的問題引導(dǎo)。通過這種“由遠(yuǎn)及近”的問題引導(dǎo)，不同層次的學(xué)生得到不同水平的啟發(fā)，遠(yuǎn)的這個(gè)好學(xué)生可能會(huì)得到啟發(fā)，再近一點(diǎn)下一個(gè)層次的學(xué)生又能

8、得到啟發(fā)，由遠(yuǎn)及近，這樣每個(gè)學(xué)生都能在原有的基礎(chǔ)上產(chǎn)生相應(yīng)的思維活動(dòng)，每個(gè)人也能獲得相應(yīng)的收獲。當(dāng)然，中心問題還可以是學(xué)生在認(rèn)知困惑處的方法指引或者思路點(diǎn)撥。這一層的含義，我個(gè)人理解，主要是一種學(xué)法上的指導(dǎo)。有的時(shí)候，你給他一個(gè)你怎么學(xué)呢？比如說，我們也舉個(gè)例子。比如說，對(duì)數(shù)函數(shù)，也是必修1的，在教學(xué)中，首先來回顧下，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了兩個(gè)過程，一個(gè)是一般函數(shù)的概念和一般函數(shù)的性質(zhì)的研究方法，第二個(gè)已經(jīng)有了指數(shù)函數(shù)這一具體函數(shù)的研究歷程，他們經(jīng)歷過這樣一個(gè)過程，他們已經(jīng)知道，或者說已經(jīng)經(jīng)歷過怎樣研究一個(gè)函數(shù)呢，怎樣研究一個(gè)具體的函數(shù)呢？從哪些方面去研究呢？因此提出，這個(gè)時(shí)候根據(jù)對(duì)指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，可

9、以提出：你打算研究對(duì)數(shù)函數(shù)的哪些方面？怎樣研究？這些中心問題外，根據(jù)學(xué)生的情況，老師可以給學(xué)生的研究方法和探討方面給出引導(dǎo)：比如說前面我們對(duì)指數(shù)函數(shù)，我們是如何研究的？研究的方法在這里適用嗎？這實(shí)際上就是一種方法上的指引，也就是類比的想法。我們?cè)倥e個(gè)例子，比如說，比較典型的等比數(shù)列這節(jié)課的教學(xué)過程中，我們應(yīng)該去想一想，等比數(shù)列雖然是一個(gè)新名詞，但它不是一個(gè)新內(nèi)容。為什么說它不是一個(gè)新內(nèi)容呢？因?yàn)樵诮虒W(xué)過程中，通過中心問題，可以引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列的研究方法和研究成果，等差數(shù)列是怎么研究的？產(chǎn)生了怎樣的研究結(jié)果？比如說它的通項(xiàng)、它的前n項(xiàng)和，它是怎么得到通項(xiàng)，怎么得到前n項(xiàng)和的？等等等等，這些研

10、究的方法和研究的成果，對(duì)等比數(shù)列的學(xué)習(xí)是有類比作用的。因此，在等比數(shù)列的教學(xué)過程中，應(yīng)用類比是必須的也是可能的。如果在研究和討論的過程當(dāng)中，讓學(xué)生進(jìn)一步感受并提出，你有等差，有等比，那有沒有“等和”、“等積”呢，這些都是教學(xué)中的可取之處和成功之處?？偟膩碚f，就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題一定要因教學(xué)內(nèi)容而具體制定。這里，我想在考慮的過程中，既要關(guān)注這節(jié)課自身內(nèi)容的本質(zhì)，也要關(guān)注這個(gè)內(nèi)容在整個(gè)體系中的地位和作用，特別是方法論上的意義。包括像前面提到的中心問題、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究、指數(shù)函數(shù)的研究相似，等差、等比數(shù)列的研究，他們有相似之處。中心問題需要教師認(rèn)真研究，有時(shí)偏重于引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，有時(shí)可

11、能偏重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、掌握學(xué)習(xí)方法，感悟基本的數(shù)學(xué)思想。這個(gè)大概就是我對(duì)什么叫數(shù)學(xué)當(dāng)中的中心問題的認(rèn)識(shí)。主持人：上面孫老師首先分析了目前數(shù)學(xué)課堂中不恰當(dāng)?shù)奶釂柗绞剑才e例說明了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的中心問題應(yīng)該具備哪些特征。那么孫老師，為什么要確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題？那么關(guān)于“為什么要確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題”，首先我們還是從“問題”開始說起。什么叫問題呢？這個(gè)大家都知道。一個(gè)人在生活當(dāng)中、學(xué)習(xí)當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些難以解決或疑惑的實(shí)際問題；一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面對(duì)教師提出的富有挑戰(zhàn)性的問題，或者說在某種問題情境下自己提出了某個(gè)數(shù)學(xué)問題，這個(gè)時(shí)候就一定會(huì)產(chǎn)生一定的困惑、探索的心理欲望，想去解決這個(gè)問題

12、，并且在這種心理欲望的驅(qū)使下展開積極思維，探究問題，解決問題。我們就說這種解決問題的意識(shí)蘊(yùn)含著抽象的邏輯思維活動(dòng)的展開，它使人的注意力具有明顯的指向性和選擇性，因?yàn)樗麜r(shí)解決這個(gè)事，它對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的探究和意義建構(gòu)具有很強(qiáng)的激勵(lì)作用。從這層意義上來講，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不再是簡(jiǎn)單的記憶，或者說是背誦，把它背下來，更多的是已經(jīng)把它植入到他的思維過程中去了，當(dāng)然同時(shí)，我們也注意到學(xué)生有了這么個(gè)問題意識(shí)以后，學(xué)生就更容易開展積極有效的思維活動(dòng)，有序地達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。因此我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)新課程課堂教學(xué)中，關(guān)注問題，進(jìn)而以問題為中心展開，對(duì)于增強(qiáng)教學(xué)的有效性，解決新課程中教師普遍感覺到的數(shù)學(xué)知識(shí)容量大與課時(shí)少

13、之間的矛盾具有現(xiàn)實(shí)意義。老師什么都想講，但是實(shí)際上這些東西，通過問題的形式探索，都能得到很好的解決。那么，確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題，我個(gè)人認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面考慮：1。我們認(rèn)為，確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的認(rèn)識(shí)更清晰，他知道往哪兒去對(duì)一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來講，數(shù)學(xué)的中心問題一定是從這節(jié)課數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，針對(duì)這節(jié)課的教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)高度提煉而成，對(duì)這幾個(gè)問題的思考就是對(duì)教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和理解，它一定能引導(dǎo)學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。而且，中心問題一定是富有思維含量和思維張力的問題，有彈性，對(duì)這樣的問題的思考勢(shì)必促進(jìn)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的推進(jìn)。前面也談到，在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)課上，由于有些

14、教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容反復(fù)肢解，編的很小很小，問題太多，太碎，問題的角度變換過頻，不成體系，學(xué)生很難把握學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，搞不清學(xué)習(xí)的目標(biāo)，以至于上完課后還不清楚究竟學(xué)到了什么，只知道回答老師的是和對(duì)。學(xué)員：孫老師，從您上面的分析，我覺得，確立數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題，一定可以為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)或合作學(xué)習(xí)提供了可能，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，是嗎？是的。這個(gè)中心問題由于思維空間大，有時(shí)還需要學(xué)生進(jìn)行一定的操作。學(xué)生在充分調(diào)動(dòng)自身的相關(guān)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，或進(jìn)行獨(dú)立探索，或與同伴合作，方能獲得問題的解決。相對(duì)而言，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性就增強(qiáng)了。我們舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們?cè)诨静坏仁降慕虒W(xué)過程中，有了基本不等式當(dāng)然a，

15、b都是正數(shù)后，提出問題：我們?nèi)绾握J(rèn)識(shí)這個(gè)基本不等式呢？請(qǐng)大家注意，這個(gè)問題的空間很大，教師沒有給出這個(gè)問題方向，對(duì)這個(gè)問題，我的建議是，讓學(xué)生思考和交流一段時(shí)間后，選擇一些學(xué)生中出現(xiàn)的思考方向加以點(diǎn)評(píng)和交流，這其實(shí)這也是拓寬其他學(xué)生的思路，問其他學(xué)生這個(gè)問題怎么答呢，有什么想法，往哪個(gè)角度去呢，一部分學(xué)生為其他學(xué)生提供了思路。在這個(gè)基礎(chǔ)上，不要急于總結(jié)，讓學(xué)生再次思考和交流后，那么這個(gè)時(shí)候?qū)W生有了一點(diǎn)兒方向，有了一點(diǎn)兒?jiǎn)l(fā)，那么我想學(xué)生就可以獲得對(duì)這個(gè)不等式的更靈活、更深刻的認(rèn)識(shí)，比如說角度，和，也可以是ab和各種變式，把a(bǔ)換成，b換成、a換成，b換成，各種各樣的基本不等式隨之產(chǎn)生，包括其他的

16、形式，甚至還有些學(xué)生可能談到從幾何上怎么來解釋，這樣學(xué)生對(duì)不等式都不再是一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，而是一個(gè)有血有肉的東西。相反，如果我們教師設(shè)計(jì)的問題過于瑣碎，則教學(xué)過程中勢(shì)必形成了一種以師生問答的形式推進(jìn)，學(xué)生處于一種什么狀態(tài)呢？你問我答，在一個(gè)一個(gè)具體問題的包圍下，學(xué)生只能被動(dòng)地回答和應(yīng)和老師的問題，他不大可能跳出問題而進(jìn)行更深入、全面的思考。我個(gè)人認(rèn)為這樣不僅浪費(fèi)教學(xué)時(shí)間，而且很難有效地激發(fā)全體學(xué)生主動(dòng)思考。所以從這里我們可以看到，中心問題它其實(shí)不同于一般的簡(jiǎn)單問題，它不是直線型的，就是一條路往前走的，不是單純地通過“因?yàn)樗浴本湍艿玫浇鉀Q，而是需要學(xué)生合理梳理思考的路徑，我從那幾個(gè)路徑去想，即確

17、定問題應(yīng)該從哪里開始思考，順著怎樣的方向去思考，有時(shí)我們學(xué)生還要多次進(jìn)行“如果那么”的假設(shè)與推理，或者從一些特殊的情況入手，尋求解決問題的方法。在這兒，我也想再舉個(gè)例子。比如說：在三角函數(shù)yAsin(x)的圖像中，我們必然要去研究A、對(duì)這個(gè)函數(shù)圖像的影響，如的影響，這個(gè)對(duì)函數(shù)有什么影響呢？一種有效的引導(dǎo)，或者說學(xué)生中有效的處理方法就是先假設(shè)A、固定，然后再對(duì)分別取幾個(gè)特殊值，從特殊到一般，前面做了一些假設(shè)，然后從特殊到一般，通過觀察，找出規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般性的規(guī)律，有了這個(gè)規(guī)律以后，我們?cè)俜湃氲皆瓎栴}中，去加以說明。這種研究問題的方法其實(shí)在前面的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)上面都有研究，都

18、用過，比如指數(shù)函數(shù)，一般來說，就先研究a=2，a=3，先找出這些函數(shù)的性質(zhì)，從形，進(jìn)而推廣到一般的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)也是這個(gè)性質(zhì)，比如說直線的點(diǎn)斜式方程的研究過程中，我們也是先取個(gè)特殊的點(diǎn)和特殊的斜率，找出特殊的直線方程，再推廣到一般的點(diǎn)斜式方程，這種實(shí)際上都是學(xué)生在解決比較復(fù)雜問題的過程中，或者是一個(gè)中心問題中，所做的一些有效的，由特殊到一般的一種嘗試。因此，我們認(rèn)為，圍繞中心問題進(jìn)行教學(xué)，既能避免因?yàn)榻處熯^多的引導(dǎo)而使得學(xué)生被動(dòng)思維，也能夠基于學(xué)習(xí)目標(biāo)，從問題的全局出發(fā)整體進(jìn)行思考，學(xué)生的思維不再瑣碎，也不會(huì)停留在淺表層面，而會(huì)因認(rèn)識(shí)或研究的推進(jìn)，將學(xué)生的思維不斷引向深入。主持人：上

19、面，孫老師為我們介紹了確立中心問題的在教學(xué)中的作用。下面我們稍微休息一下。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中心問題的認(rèn)識(shí)和理解（2）主持人：下面我們接著上面的話題，請(qǐng)孫老師繼續(xù)就中心問題的確定，給我們談?wù)勊南敕?。關(guān)于中心問題，也就是上面的話題，在這個(gè)地方，我還想再舉一些例子。大家知道，像向量的概念及表示這節(jié)課、任意角，這些課，概念很多、概念很小，很瑣碎。實(shí)際在上課的過程中，我們教師往往比較多的就是一個(gè)一個(gè)概念往外拋，學(xué)生一個(gè)一個(gè)問題去記，整個(gè)課堂顯得非常零散，就是很難找到線索。如果我們換一個(gè)角度，努力去設(shè)計(jì)一個(gè)有價(jià)值的中心問題，那么讓學(xué)生在中心問題的討論中，逐步認(rèn)識(shí)一個(gè)個(gè)基本概念，那么，教師上課就不會(huì)話那么多，顯

20、得那么累，課堂自然也就不會(huì)顯得那么松散。我們以向量的概念及表示這節(jié)課為例，曾經(jīng)我們有個(gè)老師做了這樣一個(gè)設(shè)計(jì)，我覺得還是不錯(cuò)的，這位老師在教學(xué)過程中，首先設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生活動(dòng)：他干什么呢？他讓學(xué)生舉例，舉各種樣的向量，并在格子紙中把向量畫出來（這地方請(qǐng)大家注意，其實(shí)在我們學(xué)向量之前，學(xué)生在其他學(xué)科特別是物理學(xué)科中已經(jīng)有這方面的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然，在舉例的過程中，教師也有意識(shí)地做了準(zhǔn)備，引導(dǎo)學(xué)生要舉出各種情形，比如共線向量、當(dāng)然他不說了，相等向量、相法向量、模相等的向量、單位向量等，這方面舉出很多來），不做其他，就是舉例，讓學(xué)生去舉，舉不一樣的，那么舉完了以后干什么呢？這個(gè)時(shí)候這個(gè)老師就沒有再講其他的事情，

21、他緊接著就提出本節(jié)課教學(xué)的中心問題：那么這個(gè)中心問題是什么呢？他就問學(xué)生了，你們?cè)谏厦媾e了這么多向量，這樣的，那樣的，那么你能不能按照你的分類標(biāo)準(zhǔn)分分類呢？在這個(gè)具有開放性的問題中，因?yàn)椴煌姆诸悩?biāo)準(zhǔn)結(jié)果是不一樣的，這個(gè)主動(dòng)權(quán)全部在學(xué)生手里，學(xué)生想怎么分就怎么分，這個(gè)時(shí)候?qū)W生就開始活動(dòng)了，由于沒有給出分類的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生根據(jù)自己的理解確定標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)時(shí)候，各種現(xiàn)象就出現(xiàn)了，比如說，有的學(xué)生通過討論，發(fā)現(xiàn)有長(zhǎng)有短：他說我以向量的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些向量進(jìn)行分類，這樣提出長(zhǎng)度，其實(shí)就產(chǎn)生了向量的模的概念，當(dāng)然就有模相等也就是長(zhǎng)度相等和模不相等的向量、當(dāng)然還有一些模具有一些特征的，比如說單位向量的概念、再比如

22、說長(zhǎng)度為零的向量-零向量的問題，這樣一些概念自然就在學(xué)生分類的過程中，小概念自然產(chǎn)生；還有些學(xué)生按照什么來分類呢？比如說方向接著就開始產(chǎn)生這兩個(gè)向量方向是否相同，還是相反，平行向量就產(chǎn)生了，方向相同的向量產(chǎn)生了，方向相反的向量產(chǎn)生了；當(dāng)然還有人將兩者結(jié)合起來這個(gè)時(shí)候向量相等和向量相反等等，這節(jié)課所需要的很多很瑣碎的概念就在學(xué)生的活動(dòng)中一一得到呈現(xiàn)，所以，這節(jié)課的設(shè)計(jì)正是因?yàn)檫@些問題設(shè)計(jì)得比較好，那么學(xué)生在對(duì)中心問題的討論中學(xué)生的思維得到提升，也進(jìn)而認(rèn)識(shí)到向量的本質(zhì)。我們認(rèn)為這種設(shè)計(jì)尊重了學(xué)生自己的想法，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到很大的提升。學(xué)生的學(xué)習(xí)是圍繞數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題展開，學(xué)生在研究的過程中

23、總是按照自己的認(rèn)知特點(diǎn)去進(jìn)行，所以呢，我們說這樣圍繞中心問題，學(xué)生就一定能夠，原來很亂，他如果圍繞中心問題去思考的話，學(xué)生就一定能夠有序的整理所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)完了一個(gè)整理很重要。我們說中心問題的引領(lǐng)，能夠?yàn)閷W(xué)生主動(dòng)地回顧和總結(jié)學(xué)習(xí)過程留下他自己思考過程中清晰的線索，從而對(duì)所學(xué)的內(nèi)容留下鮮明的印象。由于中心問題是圍繞教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的一個(gè)或幾個(gè)關(guān)鍵性問題，學(xué)生在問題的引領(lǐng)下能夠有序地回憶一節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí)與方法，并在頭腦中留下鮮明的印象（注意這里的關(guān)鍵在哪兒呢？這些問題都是學(xué)生在獨(dú)立思考和相互討論，甚至是相互爭(zhēng)論中得到解決的，不是簡(jiǎn)單的教師的告訴）。相反如果問題太多，角度變換快，就很難在頭腦中留下鮮

24、明的印象。當(dāng)然，在這里，我再補(bǔ)充一點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)中很多知識(shí)的研究方法是一致的，圍繞剛才的話，為什么他印象深呢？比如說前面我們提到的函數(shù)的研究方法和角度；又比如說，在解析幾何中，對(duì)直線、對(duì)圓、對(duì)橢圓、雙曲線、和拋物線的研究，基本都是按照解析幾何研究問題的一般方法在進(jìn)行的，這些方法是相似，或者說是相同的，當(dāng)然，在這些內(nèi)容的課堂教學(xué)中，所涉及的中心問題也必然是相似或相同的，可能有的時(shí)候只是載體不同，這個(gè)當(dāng)中，在對(duì)這些中心問題的探討和研究，我們避開一些旁枝末節(jié)的話，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的一些核心知識(shí)，比如說解析幾何研究問題的一般思路，一般方法，它就會(huì)形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，而不再是一個(gè)零散的認(rèn)識(shí)?？偟膩碚f，有效設(shè)計(jì)

25、好數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題，是改進(jìn)課堂教學(xué)的關(guān)鍵，也是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從被動(dòng)走向主動(dòng)，從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)的關(guān)鍵因素。主持人：好。前面孫老師為我們分析了數(shù)學(xué)教學(xué)中的中心問題在教學(xué)中的重要作用，那么孫老師，您認(rèn)為如何去確立數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題？中心問題的確立確實(shí)是是個(gè)復(fù)雜的話題，一般從以下幾個(gè)方面加以考慮：第一個(gè)必須考慮的問題是教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，不能避開數(shù)學(xué)本質(zhì)而言它；第二個(gè)我們還要關(guān)注所教內(nèi)容關(guān)聯(lián)的知識(shí)，比如說要想學(xué)這個(gè)內(nèi)容，需要一些什么樣的基礎(chǔ)知識(shí)呢，第二個(gè)與這個(gè)有想關(guān)聯(lián)的、有聯(lián)系的、或者說是研究方法一致的，像這樣一些，我們還要考慮，方法層面的東西，比如像我們前面提到的解決問題的一般策略，從直線到各

26、種曲線的研究，還要考慮而且必須要考慮的是學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)，他有什么樣的能力，應(yīng)該這么說不同基礎(chǔ)的學(xué)生，在課堂引入和中心問題的設(shè)置和引導(dǎo)，特別是教師的引導(dǎo)方面一定不同，這個(gè)地方應(yīng)該貫徹一個(gè)原則：學(xué)生的基礎(chǔ)越是薄弱，我們所做的引導(dǎo)，或者說是我們提出的一些引導(dǎo)性的問題一定要更具體，離目標(biāo)更“近”；當(dāng)然了，反過來，對(duì)基礎(chǔ)比較好的學(xué)生，我們可以遠(yuǎn)一點(diǎn)，范圍可以廣一點(diǎn)，給他的路子多一點(diǎn)。我認(rèn)為，準(zhǔn)確確立數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題，第一個(gè)，最核心的就是一定要準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。那么準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，也就是教師一定要弄明白“教什么”。當(dāng)然，教師通過梳理知識(shí)點(diǎn)，即通過閱讀教材，知道教材講了什么，需要學(xué)

27、生掌握哪些知識(shí)，形成哪些技能，感悟哪些數(shù)學(xué)方法等。研究“教什么”除了要關(guān)注教材本身顯性的一些信息，教材直接表現(xiàn)出來的，也要關(guān)注教材隱性的信息，比如說剛才你說這個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，這個(gè)指數(shù)函數(shù)，除了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)之外，它還蘊(yùn)含了一個(gè)研究函數(shù)的一般方法，那么，這些就是確立數(shù)學(xué)教學(xué)中心問題的基礎(chǔ)。這邊我舉個(gè)例子。比如說：直線的點(diǎn)斜式方程這節(jié)課，很多老師在上課的過程中，通過從給個(gè)特殊的點(diǎn)、特殊的斜率，從特殊的直線方程的建立過渡到直線的點(diǎn)斜式方程的一般形式，進(jìn)而，將這個(gè)方程當(dāng)，將這個(gè)方程當(dāng)作公式，這個(gè)很漂亮，下面就要求學(xué)生去背，去記，下面給你個(gè)點(diǎn)，給你個(gè)斜率，你就去套公式，在后面的例題教學(xué)過程中要求學(xué)

28、生反復(fù)用，不斷用例題來鞏固。我個(gè)人認(rèn)為這點(diǎn)是值得商榷的。我們應(yīng)該看到，直線的點(diǎn)斜式方程，它在整個(gè)解析幾何中，應(yīng)該說它是求方程的一個(gè)開篇之作，是學(xué)生第一次經(jīng)歷“求方程“的過程，也是解析幾何中要做的一件大事：幾何問題代數(shù)化，直線方程化。那么后面在圓方程的建立、橢圓方程的建立、雙曲線方程的建立、拋物線方程的建立，其實(shí)都要經(jīng)歷這個(gè)過程，也就是所謂的：建立坐標(biāo)系（這地方要談到個(gè)恰當(dāng)?shù)膯栴}，不過這個(gè)直線方程里已經(jīng)有坐標(biāo)系了、然后設(shè)動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在動(dòng)、寫出動(dòng)點(diǎn)在變化過程中有什么是不變的，把這個(gè)不變量坐標(biāo)給它代入，化簡(jiǎn)，就得到了這個(gè)方程。站在這個(gè)高度，其實(shí)也是這節(jié)課的本質(zhì)，這節(jié)課的本質(zhì)并不僅僅是直線的點(diǎn)斜式方程

29、這個(gè)公式，這個(gè)公式是次要的，更為重要的是，這節(jié)課的教學(xué)為求曲線的方程提供了一個(gè)范例，第一次讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過程，后面我們還來重復(fù)這個(gè)過程，這是解析幾何的一個(gè)核心。因此，在教學(xué)過程中，有了點(diǎn)斜式方程這個(gè)公式，再讓學(xué)生去求一些方程的時(shí)候，學(xué)生套這個(gè)公式無可厚非，學(xué)生沒有套這個(gè)公式，而是再一次重復(fù)上述的推導(dǎo)過程，我剛才怎么做的，再來一遍，我再設(shè)點(diǎn)，我再求斜率，我再乘過去，我再化簡(jiǎn)，我認(rèn)為這也無可厚非。因此我們就說了，在這節(jié)課的教學(xué)中，由于學(xué)生第一次經(jīng)歷這個(gè)過程，我們?cè)谥行膯栴}的設(shè)定的過程中，我們不能涉及到那么遠(yuǎn)，這里我們一定要注意考慮學(xué)生的實(shí)際，因?yàn)樗谝淮谓?jīng)歷，對(duì)直線的方程，不知道什么叫直線方程，如

30、果你直接提出中心問題：求直線的方程，他根本就不知道干什么，在學(xué)生中出現(xiàn)的最大障礙是什么呢？什么叫求直線的方程啊？因此，我們?cè)O(shè)置本節(jié)課的中心問題的時(shí)候，除了數(shù)學(xué)本質(zhì)外，我們?cè)诩骖檶W(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知水平的話，我們把中心問題定為：如何求直線的點(diǎn)斜式方程？就顯得有點(diǎn)突兀，問題有點(diǎn)“遠(yuǎn)”，因此，將問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)在一條已知直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足什么特征？這就具體點(diǎn)，其實(shí)本質(zhì)并沒有改變，以這個(gè)問題為中心問題，既揭示了本節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也為學(xué)生的活動(dòng)提供了可能。那么當(dāng)然，準(zhǔn)確確立數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題，還要準(zhǔn)確判斷教學(xué)的重點(diǎn)問題和難點(diǎn)問題。一節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)往往地位和作用各有不同。教師在了解知識(shí)點(diǎn)之后，對(duì)它進(jìn)行

31、個(gè)分析，特別是從班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)角度出發(fā)，合理地確定教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，這是非常重要的。數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題往往都是圍繞教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)產(chǎn)生的。對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)往往就是概念的本質(zhì)內(nèi)涵。涉及概念本質(zhì)的問題一般就是教學(xué)的核心問題。比如說：在這個(gè)指數(shù)函數(shù)這節(jié)課中，關(guān)于指數(shù)函數(shù)的定義，最重要的是什么呢？我認(rèn)為最重要的就是它是一種函數(shù)模型，在這個(gè)模型中，變量在指數(shù)上變化時(shí)，整個(gè)指數(shù)的變化規(guī)律是什么，這在實(shí)際生活中大量存在。在老師在教學(xué)中，比如喜歡出這樣的題目，判斷y23x、y32x等這類問題是不是指數(shù)函數(shù)呢，我個(gè)人認(rèn)為實(shí)在是無聊。因?yàn)橐暹@兩個(gè)函數(shù)，騎士我們從最簡(jiǎn)原則出發(fā)的話，關(guān)鍵就是要弄清

32、y2x這個(gè)指數(shù)函數(shù)，你把這個(gè)弄清楚就行了，不要在這個(gè)上面做過多的糾纏。又比如說，在直線的斜率這節(jié)課的教學(xué)中，其實(shí)這節(jié)課的重點(diǎn)在哪兒呢？我個(gè)人認(rèn)為重點(diǎn)關(guān)鍵是要解決如何用代數(shù)的方法，這是解析幾何需要做的事，用代數(shù)的方法去研究數(shù)，來表示直線的傾斜程度問題。在教學(xué)過程中，我們希望通過情境設(shè)置，設(shè)置一些問題，讓學(xué)生在活動(dòng)和討論中體會(huì)斜率和傾斜角都能表示直線的傾斜程度，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，但又各有特點(diǎn)，比如直線的斜率，更代數(shù)化。因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系的情況下，與點(diǎn)的坐標(biāo)有直接聯(lián)系，而直線的傾斜角，更直觀，更幾何化?？墒窃谀壳暗慕虒W(xué)中，我們?cè)瓉淼南敕ㄓ袝r(shí)候很難得到體現(xiàn)，不知道什么原因，教師通過一些問題的設(shè)置，把自己的愿望過早地、過于強(qiáng)烈地去干預(yù)學(xué)生的想法，導(dǎo)致學(xué)生一個(gè)班，怎么刻畫直線的傾斜程度呢，一個(gè)想法，就大家都說斜率，這點(diǎn)不可取。其實(shí)最理想的狀況就是什么呢？班上有一部分人說斜率，有一部分人說傾斜角，兩部分人在討論、爭(zhēng)論、最后發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)都可以，各自