1、1空間向量與空間角的關(guān)系(1)已知異面直線l1，l2的方向向量分別為s1，s2，當(dāng)0s1，s2時(shí)，直線l1與l2的夾角等于s1，s2；當(dāng)<s1，s2時(shí)，直線l1與l2的夾角等于s1，s2(2)已知平面1和2的法向量分別為n1和n2，當(dāng)0n1，n2時(shí)，平面1與2的夾角等于n1，n2；當(dāng)<n1，n2時(shí)，平面1與2的夾角等于n1，n2(3)已知直線l的方向向量為s，平面的法向量為n，則直線l與平面的夾角滿足：sin |coss，n|.2距離公式點(diǎn)到直線的距離公式：d.點(diǎn)到平面的距離公式：d|·n0|.1判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)兩直線的方向

2、向量所成的角就是兩條直線所成的角(×)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角(×)(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面的夾角(×)(4)兩異面直線夾角的范圍是(0，直線與平面所成角的范圍是0，()(5)直線l的方向向量與平面的法向量夾角為120°，則l和所成角為30°.()2已知二面角l的大小是，m，n是異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A.B.C.D.答案B解析m，n，異面直線m，n所成的角的補(bǔ)角與二面角l互補(bǔ)又異面直線所成角的范圍為(0，m，n所成的角為.3在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面OAB的一個(gè)

3、法向量為n(2，2,1)，已知點(diǎn)P(1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于()A4 B2 C3 D1答案B解析P點(diǎn)到平面OAB的距離為d2，故選B.4若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_答案解析n·a8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.5P是二面角AB棱上的一點(diǎn)，分別在平面、上引射線PM、PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么平面與的夾角為_答案90°解析不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFP

4、N45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0，平面與的夾角為90°.題型一求異面直線所成的角例1長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.B.C.D.思維啟迪本題可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量、所成的角來求答案B解析建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)

5、，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.思維升華用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有cos |cos |.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)AA12AB2，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.

6、題型二求直線與平面所成的角例2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值思維啟迪：平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面PEH的法向量(1)證明以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則A(1,0,0)，B(0,1,0)設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E.

7、可得，(m，1,0)因?yàn)?#183;00，所以PEBC.(2)解由已知條件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)設(shè)n(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.思維升華利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角(2013·湖南)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，A

8、CBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值方法一(1)證明如圖，因?yàn)锽B1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)解因?yàn)锽1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為)如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A1B1平面ADD1A1，從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是

9、AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190°，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳CBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故，即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1

10、(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因?yàn)锳CBD，所以·t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)，因?yàn)?#183;3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.題型三求兩個(gè)平面的夾角例3(2013·課標(biāo)全國)如圖，直三棱柱AB

11、CA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求平面A1CD與平面A1CE夾角的正弦值思維啟迪根據(jù)題意知ACB90°，故CA、CB、CC1兩兩垂直，可以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求兩個(gè)平面的夾角(1)證明連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則

12、D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.所以平面A1CD與平面A1CE夾角的正弦值為.思維升華求平面間的夾角最常用的方法就是分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到所求角的大小，但要注意平面間的夾角的范圍為0，如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求平面ABP與平面ACP夾角的余弦

13、值(1)證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D(，0)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面POD的一個(gè)法向量，則由n1·0，n1·0，得所以z10，x1y1，取y11，得n1(1,1,0)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由n2·0，n2·0，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因?yàn)閚1·n2(1,1,0)·(，1)0，所以n1n2.從而平面POD平面PAC.(

14、2)解因?yàn)閥軸平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一個(gè)法向量為n2(，1)設(shè)向量n2和n3的夾角為，則cos .所以平面ABP與平面ACP夾角的余弦值為.題型四求空間距離例4已知正方形ABCD的邊長為4，CG平面ABCD，CG2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為_思維啟迪所求距離可以看作CG在平面GEF的法向量的投影答案解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則(0,0,2)，由題意易得平面GEF的一個(gè)法向量為n(1,1,3)，所以點(diǎn)C到平面GEF的距離為d.思維升華求點(diǎn)面距一般有以下三種方法：作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距

15、離即為點(diǎn)到平面的距離；等體積法；向量法其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便(2012·大綱全國改編)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB2，CC12，E為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面BED的距離為()A2 B.C.D1答案D解析以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，)設(shè)n(x，y，z)是平面BED的法向量則.取y1，則n(1,1，)為平面BED的一個(gè)法向量又(2,0,0)，點(diǎn)A到平面BED

16、的距離是d1.利用空間向量求角典例：(12分)(2013·江西)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，DABDCB，EAEBAB1，PA，連接CE并延長交AD于F.(1)求證：AD平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP夾角的余弦值思維啟迪(1)可利用判定定理證明線面垂直；(2)利用AD、AP、AB兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角求兩個(gè)平面BCP、DCP夾角的余弦值規(guī)范解答(1)證明在ABD中，因?yàn)镋為BD的中點(diǎn)，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB.因?yàn)镈ABDCB，所以EABECB，從而有FEDBECA

17、EB，所以FEDFEA.2分故EFAD，AFFD，又因?yàn)镻GGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，4分所以GFAD，故AD平面CFG.6分(2)解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.8分設(shè)平面BCP的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令y1，則x13，z12，n1(3，2)9分同理求得面DCP的法向量為n2(1，2)，10分從而平面BCP與平面DCP夾角的余弦值為cos |cosn1，n2|.12分利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)第四步：

18、計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角第六步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用(2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范(3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò)方法與技巧1用向量來求空間角，各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來計(jì)算2求點(diǎn)到平面的距離，若用向量知識，則離不開以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段失誤與防范1利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同2求點(diǎn)到平面的距離，有時(shí)利用

19、等體積法求解可能更方便A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1已知正方體ABCDA1B1C1D1如圖所示，則直線B1D和CD1所成的角為()A60° B45°C30° D90°答案D解析以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，則射線CD1、B1D的方向向量分別是(1,0,1)，(1,1，1)，cos，0，直線B1D和CD1所成的角為90°.2 如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與

20、平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案D解析四邊形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC平面SDB，從而ACSB.故A正確；易知B正確；設(shè)AC與DB交于O點(diǎn)，連接SO.則SA與平面SBD所成的角為ASO，SC與平面SBD所成的角為CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正確；由排除法可知選D.3(2013·山東)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.B.C.D.答案B解析如圖所示：SABC×&#

21、215;×sin .VABCA1B1C1SABC×OP×OP，OP.又OA××1，tanOAP，又0<OAP<，OAP.4在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為()A.B.C.D.答案B解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.所以平面A1ED與平面ABCD夾角的

22、余弦值為.5在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PAPBPCa，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為()A.B.aC.D.a答案B解析根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)過點(diǎn)P作PH平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距離PAPBPC，H為ABC的外心又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為.PH a.點(diǎn)P到平面ABC的距離為a.二、填空題6已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面夾角的大小為_答案解析cosm，n，m，n.兩平面夾角的大

23、小為.7 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_答案60°解析以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成的角為60°.8正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_答案解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x軸

24、、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(xiàn)(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)設(shè)平面A1D1E的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1.n(1,0,2)又(，1，1)，點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為d.三、解答題9 如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PA與平面ABD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，ADCDAB90°，AB4，CD1，AD2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值解(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，ADCDAB90°，

25、AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由PD平面ABCD，得PAD為PA與平面ABCD所成的角，PAD60°.在RtPAD中，由AD2，得PD2，P(0,0,2)(2)(2,0，2)，(2，3,0)，cos，異面直線PA與BC所成的角的余弦值為.10(2013·天津)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM

26、的長方法一如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)證明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是·0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)為平面CEC1的一個(gè)法向量于是cosm，從而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值為

27、.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，|，于是，解得(負(fù)值舍去)，所以AM.方法二(1)證明因?yàn)閭?cè)棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.經(jīng)計(jì)算可得B1E，B1C1，EC1，從而B1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)解過B1作B1GCE于點(diǎn)G，連接C1G.由(1)知，B1C1CE，故C

28、E平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1為二面角B1CEC1的平面角在CC1E中，由CEC1E，CC12，可得C1G.在RtB1C1G中，B1G，所以sin B1GC1，即二面角B1CEC1的正弦值為.(3)解連接D1E，過點(diǎn)M作MHED1于點(diǎn)H，可得MH平面ADD1A1，連接AH，AM，則MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角設(shè)AMx，從而在RtAHM中，有MHx，AHx.在RtC1D1E中，C1D11，ED1，得EHMHx.在AEH中，AEH135°，AE1，由AH2AE2EH22AE·EHcos 135°，得x21x2x，整理得5x22x60，解得

29、x(負(fù)值舍去)所以線段AM的長為.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP的夾角大小為()A30° B45° C60° D90°答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由題意得，AD平面ABP，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，(0，)分別是平面ABP、平面CDP的法向量，而，45°，平面ABP與平面CDP的夾角大小為45°.2在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，F(xiàn)(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.3設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_答案解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0