1、2022-2-171 主講人：倪玲英2022-2-172工程流體力學(xué)工程流體力學(xué)從實(shí)用角度，對(duì)工程中涉及的問(wèn)題建立相應(yīng)從實(shí)用角度，對(duì)工程中涉及的問(wèn)題建立相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，并進(jìn)行計(jì)算。的理論基礎(chǔ)，并進(jìn)行計(jì)算。靜力學(xué)靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué) 以理想流體為主以理想流體為主動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)引言引言以理論分析為主，討論實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。以理論分析為主，討論實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)高等流體力學(xué)以實(shí)際流體為主以實(shí)際流體為主對(duì)于實(shí)際流體討論了管對(duì)于實(shí)際流體討論了管流阻力計(jì)算流阻力計(jì)算,是在理想流是在理想流體得出規(guī)律基礎(chǔ)上進(jìn)行體得出規(guī)律基礎(chǔ)上進(jìn)行修正修正,并結(jié)合實(shí)驗(yàn)并結(jié)合實(shí)驗(yàn).2022-2-173主要內(nèi)容

2、：主要內(nèi)容：第一章第一章 場(chǎng)論與張量分析初步場(chǎng)論與張量分析初步第二章第二章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第三章第三章 流體力學(xué)基本方程組流體力學(xué)基本方程組第四章第四章 粘性流動(dòng)基礎(chǔ)粘性流動(dòng)基礎(chǔ)第五章第五章 NavierNavier-Stokes -Stokes 方程的解方程的解第六章第六章 邊界層理論邊界層理論第七章第七章 流體的旋渦運(yùn)動(dòng)流體的旋渦運(yùn)動(dòng)第八章第八章 湍流理論湍流理論2022-2-174第一章第一章 場(chǎng)論與張量分析初步場(chǎng)論與張量分析初步 第一節(jié)第一節(jié) 場(chǎng)論簡(jiǎn)述場(chǎng)論簡(jiǎn)述 第二節(jié)第二節(jié) 張量初步張量初步 第三節(jié)第三節(jié) 雅可比行列式雅可比行列式2022-2-175第一節(jié)第一節(jié) 場(chǎng)論簡(jiǎn)述場(chǎng)論簡(jiǎn)述

3、 基本概念基本概念 場(chǎng)的幾何表示場(chǎng)的幾何表示 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 向量的散度向量的散度 向量的旋度向量的旋度 哈密頓算子哈密頓算子和場(chǎng)論的基本運(yùn)算公式和場(chǎng)論的基本運(yùn)算公式2022-2-176一一 基本概念基本概念 1.1.場(chǎng)（場(chǎng)（fieldfield）：）： 設(shè)在空間中的某一區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱(chēng)定義在此空間區(qū)域內(nèi)的函數(shù)為場(chǎng)。 標(biāo)量場(chǎng)（scalar field）： 向量場(chǎng)（vector field）： g g=f(r r,t) 均勻場(chǎng)（homogeneous field）： 非均勻場(chǎng)（non-homogenous field）： 定常流場(chǎng)（steady field）： 非定常

4、流場(chǎng)(unsteady field)：),(trf),(trgcf )(rf)(rf),(trf2022-2-177 (1)標(biāo)量標(biāo)量:是一維的量，它只須1個(gè)數(shù)量及單位來(lái)表示，它獨(dú)立于坐標(biāo)系的選擇。 流體的溫度，密度等均是標(biāo)量。 (2)向量向量( (矢量矢量):):不僅有數(shù)量的大小而且有指定的方向，它必須由某一空間坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量來(lái)表示,因此向量是三維的量。 速度,加速度是向量. 常用黑體字母x、u 表示空間坐標(biāo)位置向量和流速向量。也用 類(lèi)似表示。xu、2022-2-178 對(duì)于笛卡兒坐標(biāo)，X的3個(gè)分量為x1，x2，x3。而三個(gè)坐標(biāo)方向的單位分別用e1，e2，e3表示。有時(shí)也常用i，

5、,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以寫(xiě)為： kujuiuuzyx向量的加減向量的加減 ：cbabca2022-2-179矢量的標(biāo)量積(數(shù)量積)（點(diǎn)積）(內(nèi)積)： bababa,cos 標(biāo)量zzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiababababababazzyyxx,cos功:當(dāng)力F作用在質(zhì)點(diǎn)上使之移動(dòng)一無(wú)限小位移ds,此力所做功定義為力在位移方向的投影乘以位移的大小.2022-2-1710 cabacbababababa，b、ababa，b、a分配律表示正交投影用在如則平行如則正交如43201222zyxaaaa222zyxbbbbbambmabam2022-2-171

6、1矢量的矢量積矢量的矢量積(向量積向量積)（叉乘）（叉乘）(外積外積)： babacbacba,sincabacbabambmabambaba/0 abba組成平行四邊行的面積 右手法則，拇指方向即為c方向，由a指向b2022-2-1712 zyxzyxzyxzyxbbbaaakjikbjbibkajaiaba 平面面積可作為一個(gè)向量n ss2022-2-1713數(shù)量三重積： baczyxzyxzyxcccbbbaaacbacbacbabcacbaacbbaccba循環(huán)置換向量次序,結(jié)果不變.改變循環(huán)向量次序,符號(hào)改變.2022-2-1714數(shù)量三重積幾何意義：作為平行六面體的體積 。cbab

7、ac=0， 是cba,共面的充分條件 2022-2-1715向量三重積： cbaacbbcacbacbabcacba括號(hào)不能交換或移動(dòng)括號(hào)不能交換或移動(dòng)2022-2-1716二、場(chǎng)的幾何表示二、場(chǎng)的幾何表示1 1、scalar fieldscalar field： (1)(1)用等值線（面）表示用等值線（面）表示令：令： (2)(2)它的它的疏密反映了標(biāo)量函數(shù)的變化情況疏密反映了標(biāo)量函數(shù)的變化情況000),(ftrft111),(ftrft等值線（等位面）圖變化快變化慢二、場(chǎng)的幾何表示二、場(chǎng)的幾何表示2 2、 vector fieldvector field： 大?。簶?biāo)量. 可以用上述等位線(

8、等位面)的概念來(lái)幾何表示。 方向：采用矢量線來(lái)幾何地表示。 矢量線：線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的矢量方向重合。矢量線的描述是從歐拉法引出2022-2-1718矢量線方程：設(shè) 是矢量線的切向元素， 則據(jù)矢量線的定義有直角坐標(biāo)：則有：0 rdadzkdyjdxirdzyxakajaia0zyxaaadzdydxkjird所以有：所以有： （向量線方程）（向量線方程）zyxadzadyadx 向量管：在場(chǎng)內(nèi)取任一非向量的封閉曲線C，通過(guò)C上每一點(diǎn) 作矢（向）量線，則這些矢量曲線的區(qū)域?yàn)橄蛄抗堋?dtudzudyudxudzudyudxzyxzyx跡線方程流線方程跡線的描述是從歐拉法引出2022-2-

9、1720三、標(biāo)量場(chǎng)的梯度 方向?qū)?shù)：函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)P沿某一l方向的變化率22yx),(),(lim0yxfyyxxflf方向?qū)?shù)sincosyfxflf方向?qū)?shù)為x軸到l的轉(zhuǎn)角coscoscoszfyfxflf三元函數(shù)與方向?qū)?shù)關(guān)聯(lián)的是梯度與梯度關(guān)聯(lián)的是方向?qū)?shù)2022-2-1721在過(guò) P 點(diǎn)所有可能的方向中存在一個(gè)方向?qū)?shù)變化率最大的方向。 梯度（gradient）就是這樣的一個(gè)向量，它的方向即為方向?qū)?shù)變化率最大的方向而其大小則為這個(gè)最大變化率的數(shù)值。 記為 grad 沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值2022-2-1722直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中： zkyjxikzjyixg

10、rad 是一個(gè)算子（operator），它具有向量與微分的雙重性質(zhì)，稱(chēng)為哈密頓算子（Hamilton operator） 物理量沿任一方向（其單位向量為n0）的變化率為： gradn 0式中“.”表示點(diǎn)乘 2022-2-1723 梯度意義的證明：梯度意義的證明： 如圖，設(shè) 方向單位向量 函數(shù) 沿 方向的變化為： 另： 與 同向時(shí)， 最大001100),cos()()(cos)()(limlim1sgradsnnnsnMMMMMMMMsMMMMn0ssscos,cos),cos(10MMMMsnsn而則0sss1ccMM1M流場(chǎng)中兩相鄰等勢(shì)線流場(chǎng)中兩相鄰等勢(shì)線 沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值20

11、22-2-1724定理證明:a） 滿足關(guān)系式：證明： =gradgradrdddzzdyydxxdrdgradkzjyixgradkdzjdyidxrd2022-2-1725b)若任給一封閉曲線L， ，且 是矢徑 的單值函數(shù)，則：證明：grada r0Lrda0drdgradrdaLL梯度的梯度的性質(zhì)：性質(zhì)： 標(biāo)量場(chǎng)不均勻程度的量度； 梯度方向和等位面的法線方向重合，指向函數(shù)值增大的方向。 在任一方向的變形等于該方向的方向?qū)?shù)。 梯度的方向是標(biāo)量變化最快的方向。2022-2-1726梯度的基本運(yùn)算法則有： CC (C為常數(shù)) 2121 122121 ff 2022-2-1727 四、向量的散度

12、四、向量的散度(divergence)(divergence) 1、預(yù)備知識(shí) a.向量通過(guò)曲面的通量（flux）： b.Gauss定理： 若 在 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則：sssdadsnaQzyxaaa,vs dvzayaxasdazyvxs)(2022-2-1728 2、散度的定義 于是Gauss定理可以寫(xiě)作：azayaxavsdaadivzyxsvlim0vzyvxssdvadvzayaxasdadsna)()( 由封閉曲面s流出的通量可以看成是體積V的膨脹量。所以散度也就是流體的體積膨脹量。 散度是標(biāo)量，而不是向量。2022-2-17292022-2-1730例1：任一不可壓流場(chǎng)， ，在

13、流場(chǎng)中一點(diǎn)M取微元體，則密速（密度速度）變化量 點(diǎn)源： Source點(diǎn)匯： Sink例2：令 有 dxdydzadxdydzzadxdydzyadxdydzxazyx)(0 a0 azky jxir3)()(zky jxizkyjxir),(zyxa2022-2-1731 五、向量的旋度（五、向量的旋度（rotationrotation） 1 1、預(yù)備知識(shí)、預(yù)備知識(shí) 1)向量 的環(huán)量（Circulation） a)(dzadyadxardazyLxL如向量為速度，速度環(huán)量說(shuō)明： （1）速度環(huán)量表示在某一瞬時(shí)所有在 AB 線上的質(zhì)點(diǎn)沿 AB 運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，和力所作功的概念相類(lèi)似，即可以理解為速度所

14、作的功。 （2）速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，具有正負(fù)號(hào)。 當(dāng)速度方向和 AB 曲線方向同向時(shí)（成銳角）為正，異向時(shí)（成鈍角）為負(fù)。線積分方向相反的速度環(huán)量相差一個(gè)負(fù)號(hào)，即 ABBArdurdu 2022-2-1732 2) Stokes 2) Stokes定理：定理： (L圍成圍成S，S單連通）單連通） 向量為速度，為二元流動(dòng)： 當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的旋渦強(qiáng)度之和。這就是斯托克斯（GGStokes）定理。 通式： dsznyaxaynxazaxnzayardaSxyzxyzL).cos(),cos(),cos(dA2dA2dxdyyuxudnzxy2022

15、-2-17332022-2-1734 2 2、旋度的定義、旋度的定義= 于是Stokes定理可以寫(xiě)成： aacurlaaazyxkjiarotzyx)()()(yaxakxazajzayaixyzxyzLSsdarotrda2022-2-1735 例題： 0 r0)()(zky jxizkyjxi0zyxzyxkji2022-2-1736 六、六、 哈密頓算子哈密頓算子和場(chǎng)論的基本運(yùn)算公式和場(chǎng)論的基本運(yùn)算公式 1、 哈密頓算子的定義： 它具有矢量和對(duì)它右邊的量微分的雙重性.因此： zzyjxigradadivaarota2222222)(zyxsaas)(02022-2-17372 2、 基本

16、運(yùn)算公式：基本運(yùn)算公式： 1) 2) gradgradgrad)()(gradgradgrad)()(2022-2-17383）證明：令 ， gradFgradF)()()(rzky jxirgradFzkyjxiFzFkyFjxFiFzkyjxizky jxigradFF)()()()()()(2022-2-17394） 證明： 注： 5）rerrrgradrrkrzjryirxkzrjyrixrgradr1rxzyxxzyxxrx2121222222bdivadivbadiv )(2022-2-1740 6）證明：根據(jù)柯青法則 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運(yùn)算法則：蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運(yùn)算法則：當(dāng)除了一個(gè)

17、矢量之外，其他的矢量都是常數(shù)時(shí)，應(yīng)該這樣來(lái)變換表達(dá)式，以使得所有常矢量都位于 算子之前，而變量則位于它之后。agradadivadiv)(gradaadivaaaaaadivcccc)()()()(2022-2-17417） 證明： brotaarotbbadiv )()()()(ccbababa)()(abbaccarotbbrotabrotaarotbXZ Y順變?yōu)檎樧優(yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)逆變?yōu)樨?fù)2022-2-17420)10)9)()82aadivrotdivgradbrotarotbarot在混合乘積中有兩個(gè)矢量相同，必然為02022-2-1743 brotaarotbbaabbagrad：

18、adivbbdivabaabababbabababababa：rotadivbbdivabaabbarotcccccc自證證)()()()()()()()()112022-2-1744 3 3、哈密頓算子對(duì)積分的應(yīng)用：、哈密頓算子對(duì)積分的應(yīng)用： 由Gauss定理有： vSdsndvdsznaynaxnadvzayaxazyxzyvx),cos(),cos(),cos()(dsnkznjynixndsdvkzjyixdvssvv),cos(),cos(),cos()(2022-2-1745dSndVSV AdSnAdVSV AdSnBAdVBSV dSndVSV 由這些公式可以看出，只要把體積分

19、中的哈密頓算子換成法向單位向量即是面積分的被積函數(shù)。 推廣的高斯公式可以寫(xiě)為：高斯公式（Gausss theorem）將體積分與面積分聯(lián)系起來(lái)，在流體力學(xué)中十分有用 2022-2-1746第二節(jié)第二節(jié) 張量初步張量初步 前言 張量的定義 張量的表示法 幾種特殊的二階張量 張量的運(yùn)算2022-2-1747一一. 前言前言1 1、 指標(biāo)和符號(hào)指標(biāo)和符號(hào)1)自由指標(biāo) 如矢量 ，其分量可表示為 ， ；則 稱(chēng)為自由指標(biāo)。2)約定求和法則和啞指標(biāo) 約定在同一項(xiàng)中，如有兩個(gè)指標(biāo)相同，就表示對(duì)該指標(biāo)從1到3求和。這個(gè)約定稱(chēng)為愛(ài)因斯坦求和約定。這重復(fù)的指標(biāo)稱(chēng)為啞指標(biāo)。如：aia3 , 2 , 1ii2022-2

20、-1748zayaxaxaaxaa：divzyxLLjj如kkiibabababababa332211jijiiixvvxvvxvvxvvvv332211)(2022-2-17492 2、符號(hào)、符號(hào)(1)克羅內(nèi)克爾符號(hào) 10001000110ijijjiji寫(xiě)成矩陣形式ijkjikjiijjiee:性質(zhì) 各向同性張量，也就是說(shuō)當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)后，張量的分量不變 2022-2-1750ijijaa ijkjikTT 具有替換下標(biāo)的作用ij321321332211iaiaiaaaaaaaiiiijjiijj當(dāng)當(dāng)當(dāng)2022-2-1751(2)(2)置換符號(hào)置換符號(hào) （ ） （注：偶排列 123，231，

21、312）奇排列時(shí)為當(dāng)偶排列時(shí)為當(dāng)中有兩個(gè)以上指標(biāo)相同當(dāng)3 ,2, 1,13 ,2, 1,1,0kjikjikjieijkijkeijkkjiijkkijkjieeeeeeee(3) (3) 恒等式恒等式ksjtktjsistijkeee2022-2-1752321kjiijkijaaaea112332331221132231133221312312332211333231232221131211ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa因?yàn)槔}321kjiijkijaaaea2022-2-1753例題：ikjijkebaebbbaaakjiba321321ikjijkeaxe

22、aarotizayaaaazyxkjiaotyzzyxr例題：2022-2-1754證明： brotaarotbbadiv )()()()(ccbababa)()(abbaccarotbbrotabrotaarotbXZ Y順變?yōu)檎樧優(yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)逆變?yōu)樨?fù)brotaarotbxbabxaxbabxabaxbabadivikjjikkijijkikjijkkijijkkjijki)()(2022-2-1755adivbbdivabaabbarot )(adivbbdivabaabababbababababa：rotcccccc)()()(證adivbbdivabaabxabxabxbaxbaxa

23、bxbaxbaxbaba：rotjjljiljijjjijlmjmljlimjmiljmlklmijkjmlklmijk)(證1 1、張量的定義、張量的定義 張量是由一組分量所構(gòu)成的集合，這組分量在坐標(biāo)改變時(shí)應(yīng)滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系，以保證該張量本身所描述的一個(gè)完整的幾何對(duì)象或物理量對(duì)象不隨坐標(biāo)的變換而變化。笛卡爾坐標(biāo)二、張量的定義二、張量的定義 分別是新舊坐標(biāo)系的單位基矢量為新舊坐標(biāo)之間不同坐標(biāo)軸夾角的方向余弦jiee, ijjiijee 2022-2-1757(1)(1)對(duì)于流場(chǎng)中，標(biāo)量在新舊坐標(biāo) 中，量值不變。(2)(2)對(duì)于流場(chǎng)中的矢量 ，新舊關(guān)系： 基矢： 在新舊坐標(biāo)系中表示為： 于

24、是： 其中 是舊新坐標(biāo)中不同坐標(biāo)軸夾角的余弦。 ),(),(321321xxxxxx),(),(321321)(xxxxxxpajijeeeee3132121111jijieeaijjiiieeaeea )() 1 ()(jijijjiaeeaaijijeejjiieaeaa新 舊2022-2-1758 由 式給出了矢量的另一種定義： 對(duì)每一個(gè)直角坐標(biāo) 系來(lái)說(shuō)，有三個(gè)量 ，它根據(jù)（1）式變換到另一個(gè)坐標(biāo)系 中的三個(gè)量 中去，則此三個(gè)量定義一新的量 ，稱(chēng)為矢量。 若將矢量以坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)定義（1）加以推廣，可得張量的定義。), 0(321xxx),(321aaa), 0(321xxx),(321

25、aaaajijijjiaeeaa)()1()(jijijjiaeeaa2022-2-1759(3) (3) 流場(chǎng)中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)流場(chǎng)中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 它有9個(gè)分量來(lái)表示舊坐標(biāo)中應(yīng)力矢量： （2） 新坐標(biāo)系中，應(yīng)力矢量 （3）把（2）代入（3）有： （4）于是 （5）而 （6）jijiePPjjiiPeeP)( )(ljljiiePeeP jlklijkljljikiPeePeeeP )(kiikePP ijPj,l舊坐標(biāo)系i,k新坐標(biāo)系j, j l,li jjijjjiiaaeea jlklijikPaP2022-2-1760 凡符合 可變換規(guī)律的物理量稱(chēng)為二階張量。 若在一直角坐標(biāo)系內(nèi)給定了3n

26、個(gè)數(shù) ，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，所得新的數(shù) 則稱(chēng)此3n個(gè)數(shù) 為一個(gè)n階張量。 說(shuō)明說(shuō)明: :標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，應(yīng)力是標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，應(yīng)力是二階張量二階張量。njjjja.321nnnnjjjjijijiiiiiaa.2.21211321.njjjja.321jlklijikPaP2022-2-1761 三、三、 張量的表示法張量的表示法 ijPiP33331221311321121111.eePeePeePeePeePP或一階張量一階張量二階張量二階張量 2022-2-1762四、幾種特殊的二階張量四、幾種特殊的二階張量1零張量：在任意直角坐標(biāo)系中各分量皆為零的量， 以0表

27、示2單位張量：3共軛張量： 4對(duì)稱(chēng)張量： jiijijeeI100010001jicijPPPP,PPPPcjiij,2022-2-17634對(duì)稱(chēng)張量： PPPPcjiij,表示以333231232221131211ssssssssssSij只有6個(gè)不同分量2022-2-17645反對(duì)稱(chēng)張量：cjiijPPPP,表示以333231232221131211aaaaaaaaaaAij只有3個(gè)不同分量000000121323233123123112aaaaaaaAijbbbabAkjijkjij2022-2-17652022-2-17666 6、并矢、并矢 證明： 為二階張量 （1） （2） 要證 是二階張量 只需證明 （3） （1），（2）代入即是。 332313322212312111bababababababababababajibam