1、圓錐曲線中的最值求解策略圓錐曲線中的最值問題既是高考考查的重點(diǎn)又是難點(diǎn)，在解法上常有兩種 當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.在形式上又可分為如下幾種情況：一、求圓錐曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離（或過定點(diǎn)弦長）的最值問題.例1：（08上海）已知雙曲線，是上的任意點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.設(shè)的坐標(biāo)為，則 .， 當(dāng)時，的最小值為， 即的最小值為. 評析：求圓錐曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值通常采用轉(zhuǎn)化為某一字母的二次函數(shù)求解.例2：（06全國）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點(diǎn)，Q為橢圓上一個動點(diǎn)，求

2、的最大值解: 依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因為|y|1,a>1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時, |PQ|取最大值;若1<a<,則當(dāng)y=1時, |PQ|取最大值2.評析：本題的難點(diǎn)是對字母的分類討論.例3：（07上海）如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)取得最小值

3、時，在點(diǎn)或處； （3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時點(diǎn)的橫坐標(biāo)解析：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2）設(shè)，則 ， ， 的最小值只能在或處取到 即當(dāng)取得最小值時，在點(diǎn)或處 （3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可 當(dāng)，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是 當(dāng)，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是 綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或例4：（08湖南）若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB

4、是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時，點(diǎn)P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.（I）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(II)試問：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.解析：（I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2,兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20.設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（xm, ym）,則k

5、=.從而AB的垂直平分線l的方程為 又點(diǎn)P（x0,0）在直線l上，所以-ym而于是故點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.()由()知，弦AB所在直線的方程是，代入中，整理得 （·）則是方程（·）的兩個實(shí)根，且設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則 因為0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x0-8).記l2=g(t)=-t-2(x0-3)2+4(x0-1)2.若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時,l有最大值2(x0-1).若2<x0<

6、;3,則2(x0-1)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x0-8）上是減函數(shù)，所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.綜上所述，當(dāng)x0>3時，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值為2（x0-1）；當(dāng)2< x03時，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.評析：本題的關(guān)鍵是先求出相關(guān)弦AB的長的表達(dá)式，借助函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)最值，注意把握好自變量的取值范圍.備選已知拋物線C （1）若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若M(m,0)是軸上的一定點(diǎn)，Q是（1）所求軌跡上

7、任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由解析：由拋物線,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線： = -1 (1)設(shè)P，則B，橢圓中心O,則|FO|BF|=e,又設(shè)點(diǎn)B到的距離為,則|BF|=e,|FO|BF|=|BF|,即，化簡得P點(diǎn)軌跡方程為y2=1(1) (2)設(shè)Q(x,y),則|MQ|= ()當(dāng)m1,即m時，函數(shù)t=(m)2+m在(1，+)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值 ()當(dāng)m1,即m時，函數(shù)t=2(m)2+m在=m處有最小值m,|MQ|min=二、求有關(guān)線段長或面積的最值.例5：（07陜西）已知橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(

8、)求橢圓C的方程;()設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值.解析：方法一（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時，（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)時，綜上所述當(dāng)最大時，面積取最大值方法二：以上同解法一，=而.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.， 即，當(dāng)時，綜上所述評析：本題的兩種解法在求解最值時均采用了重要不等式求最值.例6：已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A為右頂點(diǎn)，若雙曲線C的右支上的點(diǎn)Q到點(diǎn)B距離的最小值為.（1）求的取值范圍；（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)D，它在直線

9、上的射影為點(diǎn)P，使得？若存在，試指出雙曲線C的右焦點(diǎn)F分向量所成的比；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)為定值時，過點(diǎn)B作一直線與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)，且與直線，分別交于M、N兩點(diǎn)，求OMN周長的最小值.解析：（1）設(shè)Q，則， =，當(dāng)時，在時，取得最小值，所以對稱軸得 ，結(jié)合已知得.（2）點(diǎn)D在直線上的射影為點(diǎn)P，=0，又，OAPOPD，得而，故存在點(diǎn)D，又所以右焦點(diǎn)F分向量所成的比為.（3）設(shè)直線的方程為：，且方程與方程聯(lián)立得，與方程聯(lián)立得，OMN周長為而OMN周長為令則，所以所以當(dāng)時，即時，OMN周長有最小值，最小值為.評析：本題在求解最值時，先采用換元法來降低運(yùn)算，在運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性

10、求最值.若采用導(dǎo)數(shù)則運(yùn)算就復(fù)雜多了.要注意解析幾何運(yùn)算的合理性.例7：（08全國）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)求四邊形面積的最大值解析：方法一：設(shè)，其中，DFByxAOE且滿足方程，故根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為，又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為 方法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為，當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為評析：解析幾何中的最值問題是高考中?？汲Ｐ碌念}型，本題解法二求四邊形面積最值利用點(diǎn)坐標(biāo)整體運(yùn)算求解.例8（05全國）、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，

11、且求四邊形的面積的最小值和最大值解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則從而亦即(1)當(dāng)0時，MN的斜率為，同上可推得 故四邊形面積令=得=2當(dāng)=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)，當(dāng)=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=.S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為.評析：本題在求解最值時，先采用換元將運(yùn)算降低，然后借助函數(shù)單調(diào)

12、性求解.備選（07全國）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，垂足為求四邊形的面積的最小值證明：（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設(shè)，則，；因為與相交于點(diǎn)，且的斜率為，所以，四邊形的面積當(dāng)時，上式取等號（）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為例10：（06全國）已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動點(diǎn)，且（0）過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值.解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)

13、，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)(，1) 所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以·為定值，其值為0()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時，S取得最小值4總結(jié)：通過以上幾例可以看出求三角形面積或四邊形面積的最值通常是建立某個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，或借助重要不等式求解或進(jìn)行換元之后借助函數(shù)單調(diào)性求解.在解題時應(yīng)切實(shí)掌握好弦長公式以點(diǎn)到直線間距離公式.備選設(shè)F是拋物線G:x2=4y的焦點(diǎn).（）過點(diǎn)P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線