1、費馬點 費馬（Pierre de Fermat,1601-1665） 法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號,生于博蒙德羅曼。其父曾任法國圖盧茲地方法院的法律顧問。本人身為律師，曾任圖盧茲議會的顧問30多年。他的一系列重要科學(xué)研究成果，都是利用業(yè)余時間完成的。 他是解析幾何的發(fā)明者之一在數(shù)學(xué)方面作出了卓越的貢獻，早年主要研究概率論，對于數(shù)論和解析幾何都有深入研究。他對微分思想的運用比牛頓和萊布尼茲還要早，在他所著求最大值和最小值的方法一書中，已對微分理論進行了比較系統(tǒng)的探討。他把直線平面坐標(biāo)應(yīng)用于幾何學(xué)也早于笛卡兒，在其所著平面及空間位置理論的導(dǎo)言中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截

2、線，對一次與二次方程的一般形式，也進行了研究。費馬還研究了對方程整數(shù)解的問題。得出了求導(dǎo)數(shù)所有約數(shù)的系統(tǒng)方法。 所謂的“費馬點”就是法國著名數(shù)學(xué)家費馬在給數(shù)學(xué)朋友的一封信中提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：“在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小”讓人家想,并自稱已經(jīng)證明了。這是費馬通信的一貫作風(fēng)。當(dāng)時歐洲所有數(shù)學(xué)家對他都十分頭疼的。人們稱這個點為“費馬點”。還有象著名的費馬大定理也是這樣，給歐拉的信中提出的，自稱已經(jīng)“有了非常巧妙的證明”?？傻剿酪矝]告訴人家這個所謂證明。結(jié)果困擾世界數(shù)學(xué)界一百多年。直到去年才解決。著名的費馬大定理是費馬提出的至今尚未解決的問題。1637年

3、費馬提出：“不可能把一個整數(shù)的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數(shù)大于2的方冪表示成兩個同方冪的和?！?即：無整數(shù)解。1665年這一定理提出后，引起了許多著名數(shù)學(xué)家的關(guān)注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結(jié)果。 費馬在光學(xué)方面，確立了幾何光學(xué)的重要原理，命名為費馬原理。這一原理是幾何光學(xué)的最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質(zhì)中比在疏媒質(zhì)中傳播要快”的觀點給予了有力的反駁，把幾何光學(xué)的發(fā)展推向了新的階段。 幾何光學(xué)已有悠久的發(fā)展歷史,由于費馬原理的確立，幾何光學(xué)發(fā)展到了較為完善的程度。 1621年斯涅爾總結(jié)出了光的折射定律。費馬

4、則是用數(shù)學(xué)方法證明了折射定律的主要學(xué)者之一。 費馬原理是根據(jù)經(jīng)濟原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播?？梢岳斫鉃?，光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。 費馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。一、費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點 費爾馬的結(jié)論：對于一個各角不超過120的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120的點，對于有一個角超過120的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點1、 費馬點一定不在三角形外（證明略）2、 當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于120時對三角形內(nèi)任一點P延長BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且

5、使得AP=AP, PC=PC，（說了這么多，其實就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉(zhuǎn)）則APC APCBAC 120PAP = 180-BAP-CAP = 180-BAP-CAP = 180-BAC 60等腰三角形PAP中，AP PPPA + PB + PC PP +PB + PC BC = AB + AC點A即費馬點3、當(dāng)三個內(nèi)角都小于120時下面簡單說明如何找點P使它到三個頂點的距離之和PA+PB+PC最?。?解析：如圖1，把APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC點C可看成是線段AC繞A點

6、逆時針旋轉(zhuǎn)60而得的定點，BC為定長 ，所以當(dāng)B、P、P、C 四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小這時BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€內(nèi)角都小于120時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換費馬點作法（1）平面內(nèi)一點P到ABC三頂

7、點的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點P為費馬點時，距離之和最小。特殊三角形中：(2).三內(nèi)角皆小于120的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABF,ACE,BCD,然后連接AD,BE,CF,則三線交于一點P,則點P就是所求的費馬點.(3).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求的費馬點.(4)當(dāng)ABC為等邊三角形時,此時內(nèi)心與費馬點重合費馬點應(yīng)用例舉例1 （2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長 例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為， ， 設(shè)P為y軸上一點，點M先

8、沿y軸到達P點，再沿PA到達A點，若M點在y軸上運動的速度是它在直線PA上運動速度的2倍，試確定P點的位置，使M點按照上述要求到達A點所用的時間最短例3 （2009年湖州中考題）若點P 為ABC所在平面上一點，且APB=BPC=CPA=120, 則點P叫做ABC的費馬點（1） 若P為銳角ABC的費馬點，且ABC=60，PA=3，PC=4, 則PB的值為 ；（2）如圖8，在銳角ABC的外側(cè)作等邊ACF，連結(jié)BF求證：BF過ABC的費馬點P，且BF=PA+PB+PC 例4 ：在ABC中，分別以 AB,BC,CA，為邊向三角形外側(cè)做正三角形ABD、ACF、BCE，ABC= 60，證明：SABC+ SACF= SABD+ SBCE注 通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這一方法解題時需注意圖形旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ)，即