1、 習(xí)題4.1 1. 設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線形無(wú)關(guān)。證明：假設(shè)在，在區(qū)間上線形相關(guān)則存在不全為零的常數(shù)，使得那么不妨設(shè)不為零，則有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立，在區(qū)間上線形無(wú)關(guān)2. 證明非齊線形方程的疊加原理：設(shè)，分別是非齊線形方程 （1） （2） 的解，則+是方程 +的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。3. 試驗(yàn)證0的基本解組為，并求方程的通解。 證明：由題將代入方程0得：-=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形無(wú)關(guān)，故是0的基本解組。 由題可設(shè)

2、所求通解為：，則有：解之得：故所求通解為：4. 試驗(yàn)證0有基本解組t，并求方程t-1的通解。解：由題將t代入方程0得： ，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無(wú)關(guān)， 故t，是方程0的基本解組由題可設(shè)所求通解為，則有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標(biāo)準(zhǔn)基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。 解：時(shí)間方程0的基本解組，故存在常數(shù)使得： 于是：令t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無(wú)關(guān)，所以此方程適合初始條件的基本解組為：， 而此方程同時(shí)滿足初始條件，于是：解得

3、：故滿足要求的解。6. 設(shè)是齊線形方程（4.2）的任意n個(gè)解。它們所構(gòu)成的伏朗斯行列式記為，試證明滿足一階線形方程，因而有： 解：又滿足即則：即 則有：即： 7. 假設(shè)是二階齊線形方程（*）的解，這里 在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：,其中為常數(shù),證：（）（）因?yàn)闉榉匠痰慕?，則由劉維爾公式 兩邊都乘以則有：，于是： 從而方程的通解可表示為：,其中為常數(shù),。8. 試證n階非齊線形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1個(gè)線形無(wú)關(guān)解。 證：設(shè)為（4.1）對(duì)應(yīng)的齊線形方程的一個(gè)基本解組，是（4.1）的一個(gè)解，則： （1），均為（4.1）的解。同時(shí)（1）是線形無(wú)關(guān)的。 事實(shí)上：假設(shè)存在常數(shù)，使得： （*）的左端為非齊線形方程的解，而右端為齊線形