1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學復習專題講座求解函數(shù)解析式的幾種常用方法高考要求 求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一，需引起重視 本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力 重難點歸納求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有 1、換元法：已知的表達式，欲求，我們常設，從而求得，然后代入的表達式，從而得到的表達式，即為的表達式。2、待定系數(shù)法若已知的結(jié)構(gòu)時，可設出含參數(shù)的表達式，再根據(jù)已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數(shù)，求得的表達式。3、湊配法若已知的表達式，欲求的表達式，用換元法有困難時，（如不存在反函數(shù)

2、）可把看成一個整體，把右邊變?yōu)橛山M成的式子，再換元求出的式子。4、消元法若已知以函數(shù)為元的方程形式，若能設法構(gòu)造另一個方程，組成方程組，再解這個方程組，求出函數(shù)元，稱這個方法為消元法。5、賦值法在求某些函數(shù)的表達式或求某些函數(shù)值時，有時把已知條件中的某些變量賦值，使問題簡單明了，從而易于求出函數(shù)的表達式。另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法典型題例示范講解 例1 如果，那么f(x)=_.例2 設二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)，且圖像在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為，求f(x)的解析式。例3 設y=f(x)是實數(shù)函數(shù)，且，求證：。例4 已知，其中奇

3、數(shù)，試求。例5 已知，且求的表達式。解：令,由已知得：例6 (1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a1,x>0),求f(x)的表達式 (2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式 命題意圖 本題主要考查函數(shù)概念中的三要素 定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力 知識依托 利用函數(shù)基礎知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉(zhuǎn)化，注意定義域 錯解分析 本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉(zhuǎn)化易出錯 技巧與方法 (1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法 解 (1)令t=logax(

4、a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at 因此f(t)= (atat)f(x)= (axax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同時等于1或1，所以所求函數(shù)為 f(x)=2x21 或f(x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1 例7設f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x1時，y=f(x)的圖像是經(jīng)過點(2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖像中有一部

5、分是頂點在(0，2)，且過點(1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達式，并在圖中作出其圖像 命題意圖 本題主要考查函數(shù)基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖像的作法，對分段函數(shù)的分析需要較強的思維能力 因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點題型 知識依托 函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線 錯解分析 本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發(fā)生混亂 技巧與方法 合理進行分類，并運用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式 解 (1)當x1時，設f(x)=x+b射線過點(2，0) 0=2+b即b=2，f(x)=x+2 (2)當1<x<1時，設f(x)=ax2+2 拋

6、物線過點(1，1)，1=a·(1)2+2,即a=1f(x)=x2+2 (3)當x1時，f(x)=x+2綜上可知 f(x)=作圖由讀者來完成 例8已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1) 解法一 (換元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),則cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二 (配湊法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1

7、x3),即f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4) 學生鞏固練習 1 若函數(shù)f(x)=(x)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( )A 3B C D 32 設函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱，在x1時，f(x)=(x+1)21,則x>1時f(x)等于( )A f(x)=(x+3)21B f(x)=(x3)21C f(x)=(x3)2+1D f(x)=(x1)213 已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_ 4 已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_ 5 設二次函數(shù)f(x)滿足f(x

8、2)=f(x2),且其圖像在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式 6 設f(x)是在(,+)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上時，f(x)=2(x3)2+4，求當x1,2時f(x)的解析式 若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0x2)的圖像上，求這個矩形面積的最大值 7 動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回到A，設x表示P點的行程，f(x)表示PA的長，g(x)表示ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖 8 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x

9、)(1x1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在0，1上是一次函數(shù)，在1，4上是二次函數(shù)，且在x=2時，函數(shù)取得最小值，最小值為5 (1)證明 f(1)+f(4)=0;(2)試求y=f(x),x1,4的解析式；(3)試求y=f(x)在4，9上的解析式 參考答案 1 解析 f(x)= ff(x)=x,整理比較系數(shù)得m=3 答案 A2 解析 利用數(shù)形結(jié)合，x1時，f(x)=(x+1)21的對稱軸為x=1,最小值為1，又y=f(x)關于x=1對稱，故在x>1上，f(x)的對稱軸為x=3且最小值為1 答案 B3 解析 由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3 由上面兩式聯(lián)立消去f()可得f(x

10、)=x 答案 f(x)= x4 解析 f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0 又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1 故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x 答案 x2+x5 解 利用待定系數(shù)法，設f(x)=ax2+bx+c,然后找關于a、b、c的方程組求解，f(x)= 6 解 (1)設x1,2,則4x2,3,f(x)是偶函數(shù)，f(x)=f(x),又因為4是f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4 (2)設x0，1，則2x+23,f(x)=

11、f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2時，f(x)=2(x1)2+4,設A、B坐標分別為(1t,0）,(1+t,0)(0t1,則|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令S矩=S，=2t2(2t2)·(2t2)()3=,當且僅當2t2=2t2,即t=時取等號 S2即S,Smax= 7 解 (1)如原題圖，當P在AB上運動時，PA=x;當P點在BC上運動時，由RtABD可得PA=;當P點在CD上運動時，由RtADP易得PA=;當P點在DA上運動時，PA=4x,故f(x)的表達式為 f(x)=(2)由于P點在折線ABCD上不同位置

12、時，ABP的形狀各有特征，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解 如原題圖，當P在線段AB上時，ABP的面積S=0；當P在BC上時，即1x2時，SABP=AB·BP=(x1）；當P在CD上時，即2x3時，SABP=·1·1=；當P在DA上時，即3x4時，SABP=(4x) 故g(x)=8 (1)證明 y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0 (2)解 當x1,4時，由題意，可設f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4) (3)解 y=f(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(0)=f(0)