1、教案數(shù)學分析中一個反例的教學復旦大學 陳紀修 金 路 邱維元教學內(nèi)容講授數(shù)學分析發(fā)展歷史上一個重要的反例：處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)，以及這一反例對數(shù)學學科發(fā)展的影響；介紹德國數(shù)學家Weierstrass的生平與對數(shù)學分析所作的貢獻。指導思想通過講授處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)的例子與介紹德國數(shù)學家Weierstrass的貢獻，使學生掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂理論的重要應用，認識到數(shù)學家如何通過從提出猜想，到證明或否定猜想的過程，使數(shù)學學科得到發(fā)展的，從而使學生在今后的學習中重視對反例的探討。教學安排（1）德國數(shù)學家Weierstrass的簡單介紹同學們，前一階段，我們學習了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的理論，有

2、了這一基礎，我們可以來介紹一個在數(shù)學分析中非常重要的內(nèi)容。這個結果是屬于Weierstrass的。關于Weierstrass這個名字，我們并不陌生（我們已學過以他的名字冠名的定理有：有界數(shù)列必有收斂子列，函數(shù)項級數(shù)的Weierstrass判別法等），在以后的學習中，你們將會不斷遇上Weierstrass這個名字。Karl Weierstrass （18151897）是19世紀德國數(shù)學家，他在數(shù)學的許多領域都作出了重大貢獻，其中不少成果是在他做中學教師時取得的。后來他被聘為柏林大學教授和法國巴黎科學院院士。他是數(shù)學分析基礎的主要奠基者之一，是把嚴格的數(shù)學論證引進分析學的一位大師。Weierstr

3、ass利用單調(diào)有界的有理數(shù)數(shù)列來定義無理數(shù)，從而在嚴格的邏輯基礎上建立了實數(shù)理論；關于連續(xù)函數(shù)的分析定義（即語言）也是他給出的，這些貢獻使得數(shù)學分析的敘述精確化，論證嚴格化。（2）處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)在數(shù)學分析的發(fā)展歷史上，數(shù)學家們一直猜測：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個點外都是可導的。也就是說，連續(xù)函數(shù)的不可導點至多是可列集。在當時，由于函數(shù)的表示手段有限，而僅僅從初等函數(shù)或從分段初等函數(shù)表示的角度出發(fā)去考慮，這個猜想是正確的。 但是隨著級數(shù)理論的發(fā)展，函數(shù)表示的手段擴展了，數(shù)學家可以通過函數(shù)項級數(shù)來表示更廣泛的函數(shù)類。Weierstrass是一位研究級數(shù)理論的大師，他于1872

4、年利用函數(shù)項級數(shù)第一個構造出了一個處處連續(xù)而處處不可導的函數(shù)，為上述猜測做了一個否定的終結：， 。下面敘述的反例在證明上要相對簡易些，它是由荷蘭數(shù)學家Van Der Waerden于1930年給出的：設(x)表示x與最鄰近的整數(shù)之間的距離，例如當x = 1.26，則(x) = 0.26；當x = 3.67，則(x) = 0.33。顯然(x)是周期為1的連續(xù)函數(shù)，且。注意當或時，成立。Van Der Waerden給出的例子是：= .由，及的收斂性，根據(jù)Weierstrass判別法，上述函數(shù)項級數(shù)關于一致收斂。所以在連續(xù)。（3）處處不可導的證明 現(xiàn)考慮在任意一點x的可導性。由于的周期性，不妨設，

5、并將x表示成無限小數(shù)x = 0.a1a2an。若x是有限小數(shù)時，則在后面添上無窮多個0。然后我們?nèi)?hm= 例如設x = 0.309546，則我們?nèi)1 = ，h2 = ，h3 = ，h4 = ，h5 = ，h6= ，。顯然 ()。于是我們只要證明極限不存在。 = 當時，(10n(x + hm) = (10nx±) = (10nx)，所以.當，在的表示中的位置是第位小數(shù)，由的取法，可知10n(x + hm)與x同時屬于或，因此(x + ) - (x) = ，于是我們得到 = ，等式右端必定是整數(shù)，且其奇偶性與m一致，由此可知極限不存在，也就是說，在任意一點x是不可導的。這樣，一個處處

6、連續(xù)，但處處不可導的函數(shù)反例通過了函數(shù)項級數(shù)這一工具而被構造出來了。（4）電子課件演示（5）總結Weierstrass的反例構造出來后，在數(shù)學界引起極大的震動，因為對于這類函數(shù)，傳統(tǒng)的數(shù)學方法已無能為力，這使得經(jīng)典數(shù)學陷入又一次危機。但是反過來危機的產(chǎn)生又促使數(shù)學家們?nèi)ニ妓餍碌姆椒▽@類函數(shù)進行研究，從而促成了一門新的學科“分形幾何”的產(chǎn)生。所謂“分形”，就是指幾何上的一種“形”，它的局部與整體按某種方式具有相似性。“形”的這種性質又稱為“自相似性”。我們知道，經(jīng)典幾何學研究的對象是規(guī)則而光滑的幾何圖形，但是自然界存在著許多不規(guī)則不光滑的幾何圖形，它們都具有上面所述的“自相似性”。如云彩的邊界；山峰的輪廓；奇形怪狀的海岸線；蜿蜒曲折的河流；材料的無規(guī)則裂縫，等等。這些變化無窮的曲線，雖然處處連續(xù)，但可能處處不可導。因此“分形幾何”自產(chǎn)生起，就得到了數(shù)學家們普遍的關注，很快就發(fā)展為一門有著廣泛應用前景的新的學科。通過這個例子，同學們可以了解到數(shù)學學科的發(fā)展規(guī)律，認識到一個反例如何促成一門新學科的產(chǎn)生。希望同學們在今后的學習中，重視對反例的探索。注意點 （1）在Weierstrass反例的證明中，注意的符號的選取是證明的關鍵。這樣的符號選取保證了當