1、如圖，的半徑均為（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出弦，使圖為軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形；請(qǐng)?jiān)趫D中畫出弦，使圖仍為中心對(duì)稱圖形；（2）如圖，在中，且與交于點(diǎn)，夾角為銳角求四邊形的面積（用含的式子表示）；（3）若線段是的兩條弦，且，你認(rèn)為在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，是否存在面積最大的四邊形？請(qǐng)利用圖說明理由 OOOADECBO（第25題圖）（第25題圖）（第25題圖）（第25題圖）解：（1）答案不唯一，如圖、（2）過點(diǎn)A，B分別作CD的垂線，垂足分別為M，N，SACD=CD·AM=CD·AE·sin，SBCD=CD·BN=CD·BE·sin，S四邊形ACB

2、D=SACD+SBCD=CD·AE·sin+CD·BE·sin=CD·（AE+BE）sin=CD·AB·sin=m2·sin；（3）存在分兩種情況說明如下：當(dāng)AB與CD相交時(shí)，由（2）及AB=CD=R知S四邊形ACBD=AB·CD·sin=R2sin，當(dāng)AB與CD不相交時(shí)，如圖AB=CD=R，OC=OD=OA=OB=R，AOB=COD=90°，而S四邊形ABCD=SRtAOB+SRtOCD+SAOD+SBOC=R2+SAOD+SBOC延長(zhǎng)BO交O于點(diǎn)E，連接EC，則1+3=2+3=90

3、°，1=2，AODCOE，SAOD=SOCE，SAOD+SBOC=SOCE+SBOC=SBCE過點(diǎn)C作CHBE，垂足為H，則SBCE=BE·CH=R·CH，當(dāng)CH=R時(shí)，SBCE取最大值R2綜合、可知，當(dāng)1=2=90°即四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為R的正方形時(shí)，S四邊形ABCD=R2+R2=2R2為最大值。2、（本題滿分12分）某縣社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長(zhǎng)期存在的飲水困難問題，想在這三個(gè)地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公

4、路的寬均不計(jì)），點(diǎn)M表示這所中學(xué)。點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30°的3km處，點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60°的km處。為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長(zhǎng)度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點(diǎn)M處，請(qǐng)你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長(zhǎng)度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請(qǐng)你在圖中，畫出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請(qǐng)你在圖中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線路圖，并求其最小值。北東D30°ABCMOEF圖乙村綜上，你認(rèn)

5、為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？D30°ABCMOEF圖乙村解：方案一：由題意可得：MBOB， 點(diǎn)M到甲村的最短距離為MB。 點(diǎn)M到乙村的最短距離為MD，將供水站建在點(diǎn)M處時(shí)，管道沿MD、MB線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小， 即最小值為MB+MD=3+ （km）。方案二：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對(duì)稱點(diǎn)M，則MM=2ME，連接AM交OE于點(diǎn)P，PEAM，PE=。 AM=2BM=6，PE=3 在RtDME中， PE=DE， P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，即AM過D點(diǎn)。在線段CD上任取一點(diǎn)P，連接PA，PM，PM，則PM=PM。AP+PMAM， 把供水

6、站建在乙村的D點(diǎn)處，管道沿DA、DM線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小， 。方案三：作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對(duì)稱點(diǎn)M，作MNOE于N點(diǎn)，交OF于點(diǎn)G，交AM于點(diǎn)H，連接GM，則GM=GM MN為點(diǎn)M到OE的最短距離，即MN=GM+GN 在RtMHM中，MMN=30°，MM=6， MH=3，NE=MH=3 DE=3，N、D兩點(diǎn)重合，即MN過D點(diǎn)。在RtMDM中，DM=，MD=在線段AB上任取一點(diǎn)G，過G作GNOE于N點(diǎn)，連接GM，GM，顯然GM+GN=GM+GNMD 把供水站建在甲村的G處，管道沿GM、GD 線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小，即最小值為綜上，&#

7、160;            供水站建在M處，所需鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度最短。    3（本題滿分12分）如圖，我們利用作位似圖形的方法，在Rt中，作出了兩邊分別落在兩直角邊上的最大正方形.現(xiàn)有一塊三角形的邊角料，工人師傅想在邊角料上裁出面積最大的正方形部件.下面圖、圖是這塊邊角料的示意圖，其中AB=AC=60，A=120°，請(qǐng)你參照?qǐng)D的作法，在示意圖上幫助工人師傅畫出裁剪線，畫線時(shí)，有兩種方案：方案一：所畫的正方形一邊落在BC邊上

8、，請(qǐng)你在圖中畫出面積最大的正方形，并求此正方形的邊長(zhǎng)；方案二：所畫的正方形一邊落在AB邊上，請(qǐng)你在圖中畫出面積最大的正方形，并求此正方形的邊長(zhǎng).綜上，試比較方案一、方案二中畫出的正方形，哪個(gè)面積大？并說明理由.(圖)ABC(圖)ABC(圖) 方案一如圖：正方形MNPQ即為所求的最大正方形因三角形ABC是等腰三角形，所以其必位于三角形的中部若設(shè)MN=x，因C=30°所以CN=2x,AN=60-2x，所以AD=30-x，DN=3(30-x)，PN=23(30-x)因PN=MN所以23(30-x)=x所以x=603/(23+1)所以其面積為x²=360(390-1203

9、)/121542方案二可知：EF=AE設(shè)AE=x，則BE=60-x，因B=30°所以BE=3 x所以60-x=3 x所以x=60/(1+3)=30(3-1)所以其面積為x²=900(4-23)482 可知方案一所得的面積比較大4（本題滿分12分）問題探究（1）請(qǐng)?jiān)趫D的正方形內(nèi)，畫出使的一個(gè)點(diǎn)，并說明理由（2）請(qǐng)?jiān)趫D的正方形內(nèi)（含邊），畫出使的所有的點(diǎn)，并說明理由問題解決（3）如圖，現(xiàn)在一塊矩形鋼板工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的和鋼板，且請(qǐng)你在圖中畫出符合要求的點(diǎn)和，并求出的面積（結(jié)果保留根號(hào)）DCBADCBADCBA（第25題圖）解：（1）如圖，連接交于

10、點(diǎn)，則點(diǎn)為所求·············· （3分）（2）如圖，畫法如下：1）以為邊在正方形內(nèi)作等邊；2）作的外接圓，分別與交于點(diǎn)在中，弦所對(duì)的上的圓周角均為，上的所有點(diǎn)均為所求的點(diǎn)····· （7分）（3）如圖，畫法如下：1）連接；2）以為邊作等邊；3）作等邊的外接圓，交于點(diǎn)；4）在上截取則點(diǎn)為所求·········

11、··· （9分）（評(píng)卷時(shí)，作圖準(zhǔn)確，無(wú)畫法的不扣分）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)在中，························ （10分）在中，在中，········· （12分）5（本題滿分12分）問題探究（1）在圖的半徑為R的半圓O內(nèi)（含?。?/p>

12、，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個(gè)正三角形的面積.（2）在圖的半徑為R的半圓O內(nèi)（含弧），畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個(gè)正方形的面積.問題解決（3）如圖，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請(qǐng)說明理由，并求出這個(gè)矩形的面積：若不存在，說明理由.：（1）如圖，ACB為滿足條件的面積最大的正三角形連接OC，則OCAB，根據(jù)垂徑定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系求出OB，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）如圖，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形連接OA令OB=a

13、，則AB=2a，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，再利用正方形的面積公式計(jì)算即可；（3）如圖，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點(diǎn)A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對(duì)稱圖形，A、D的對(duì)稱點(diǎn)分別是A、D連接AD、OD，則AD為O的直徑在RtAAD中，當(dāng)OAAD時(shí)，SAAD的面積最大（1）如圖，ACB為滿足條件的面積最大的正三角形連接OC，則OCABAB=2OBtan30°=R，SACB=ABOC=×RR=R2（2）如圖，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形連接OA令OB=a，則AB=2a在RtABO中，a2+（2a）2=R2即a2=R2S正方形A

14、BCD=（2a）2=R2（3）存在如圖，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點(diǎn)A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對(duì)稱圖形，A、D的對(duì)稱點(diǎn)分別是A、D連接AD、OD，則AD為O的直徑S矩形ABCD=ABAD=AAAD=SAAD在RtAAD中，當(dāng)OAAD時(shí)，SAAD的面積最大S矩形ABCD最大=2RR=R26.問題探究 (1)請(qǐng)你在圖中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分； （2）如圖點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中過點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。 問題解決（1） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建

15、的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DCOB,OB=6,CD=4開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（4,2）處。為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分，你認(rèn)為直線l是否存在？若存在求出直線l的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）如圖（2）如圖連結(jié)AC 、BC交與P則P為矩形對(duì)稱中心。作直線MP，直線MP即為所求。（3）    如圖存在直線l過點(diǎn)D的直線只要作 DAOB與點(diǎn)A則點(diǎn)P(4,2)為矩形ABCD的對(duì)稱中心過點(diǎn)P的直線只要平分DOA的面

16、積即可易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將DOA 面積平分。從而，直線PH平分梯形OBCD的面積即直線 PH為所求直線l設(shè)直線PH的表達(dá)式為 y=kx+b 且點(diǎn)P(4,2)2=4k+b 即b=2-4ky=kx+2-4k直線OD的表達(dá)式為y=2x解之點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，）PH與線段AD的交點(diǎn)F（2,2-2k）02-2k4-1k1SDHF=解之，得。（舍去）b=8-直線l的表達(dá)式為y=7（本題滿分12分）問題探究（1） 請(qǐng)你在圖中，過點(diǎn)A作一條直線，使它平分ABC的面積；（2） 如圖，點(diǎn)D是ABC邊AC上的一定點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)M，連接DM，過點(diǎn)A作AE

17、DM交BC于點(diǎn)E，作直線DE.求證：直線DE平分ABC的面積.問題解決（3） 如圖，四邊形ABCD是某商業(yè)用地示意圖. 現(xiàn)準(zhǔn)備過點(diǎn)A修一條筆直的道路（其占地面積不計(jì)），使其平分四邊形ABCD的面積. 請(qǐng)你在圖中作出這條路所在的直線，寫出作法，并說明理由.（第25題圖）(1)、記ABC的面積為S,連接AM,M是BC的中點(diǎn),AMB與AMC面積相等,即AMB的面積等于S/2；AEDM,AED與AEM同底等高,面積相等,那么四邊形ABED的面積與AMB的面積相等,等于S/2,DE平分ABC的面積.(2)、問題歸結(jié)于：過A點(diǎn)作直線交四邊形的邊于一點(diǎn)M,使AM平分四邊形ABCD的面積.連接AC,經(jīng)估量判斷

18、ABC的面積大于ADC的面積,故M點(diǎn)當(dāng)在BC邊上.作法：1、過D作DEAC,交BC的延長(zhǎng)線于E,2、平分線段BE,得BE的中點(diǎn)M,（M點(diǎn)應(yīng)在線段BC上,見后討論）3、連接AM,則AM就是所修道路的位置.證明：連接AE,DEAC,ACD與ACE面積相等,可知BM=ME,ABM的面積等于ABE的面積的一半,那么ABM的面積等于四邊形ABCD的面積的一半,故AM符合題目要求.討論：如果BE的中點(diǎn)M不在BC段上,而在CE段上,那是因?yàn)锳BC的面積小于ADC面積的緣故,說明一開始判斷失誤,不宜過D點(diǎn)作平行線,而應(yīng)該過B作AC的平行線使與DC的延長(zhǎng)線相交并仿上述作法解決.如果M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則AC就是道路

19、的位置8（本題滿分12分）如圖、在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于F,然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕BEF”是一個(gè)_三角形(2)如圖、甲在矩形ABCD,當(dāng)它的“折痕BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）、如圖，在矩形ABCD中， AB=2,BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折痕BEF”？若存在，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么？解：（1）等腰；（2

20、）如圖，連接BE，畫BE的中垂線交BC與點(diǎn)F，連接EF，BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形，折痕垂直平分BE，AB=AE=2， 點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過點(diǎn)A，四邊形ABFE為正方形，BF=AB=2， F（2，0）； （3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，理由如下：當(dāng)F在邊BC上時(shí)，如圖所示，SBEFS矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4；當(dāng)F在邊CD上時(shí)，如圖所示，過F作FHBC交AB于點(diǎn)H，交BE于K，SEKF=KF·AHHF·AH=S矩形AHFD，SBKF=KF·BHHF·BH=S矩形BCFH， SBEFS矩

21、形ABCD=4，即當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，BEF面積最大為4，下面求面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)，當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖所示，由折疊可知CE=CB=4，在RtCDE中，ED=，AE=4-2，E（4-2，2），當(dāng)F在邊DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖所示，此時(shí)E（0，2），綜上所述，折痕BEF的最大面積為4時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，2）或E（4-2，2）。 9（本題滿分12分）如圖，在直角梯形AOBC中，ACOB，且OB=6，AC=5，OA=4.（1） 求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 以O(shè)、A、B、C中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成哪幾個(gè)不同的三角形？（3） 是否在邊AC和BC（含端點(diǎn)）上分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得MON的面

22、積最大時(shí)，它的周長(zhǎng)還最短？若存在，說明理由，并求出這時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，為什么？ （第25題圖）ACBxyO10（本題滿分12分）如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為（1）如圖，正方形的頂點(diǎn)在邊上，頂點(diǎn)在邊上在正三角形及其內(nèi)部，以為位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長(zhǎng)；（3）如圖，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在邊上，點(diǎn)分別在邊上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由（1）見解析（2）（3），理由見解析解：（1）如圖，正方形即為所求（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為為正三角形，即（沒有分母有理化也對(duì)，也正確）（3）如圖，連接，

23、則設(shè)正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為，它們的面積和為，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則在中，即）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小）當(dāng)最大時(shí)，最大即當(dāng)最大且最小時(shí)，最大，由（2）知，11.（本題滿分10分）如圖，在銳角ABC中，ACB=45°，AB=1.分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N。（1）求證：EM+FN=AB；（2）求ABC面積的最大值；（3）當(dāng)ABC面積最大時(shí)，在直線MN上找一點(diǎn)P, 使得EP+FP的值最小，求出這個(gè)最小值。（結(jié)果可保留根號(hào)）12、（本題滿分12分）問題探究（1）請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線，使他們將圓面四

24、等分；（2）如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點(diǎn)M）,使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.問題解決（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB/CD，AB+CD=BC,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn).如果AB= ，CD= ，且 ，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q,使PQ所在直線將正方形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（第25題圖） （第25題圖） （第25題圖）13(本題滿分12分)平面上有三點(diǎn)M、A、B 若MA=MB ，則稱點(diǎn)A、B 為M點(diǎn)的等距點(diǎn)。問題探究（1）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，試在AC上確

25、定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)P、Q為點(diǎn)A的等距點(diǎn)；（2）如圖，ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AD邊上一定點(diǎn)，試在BC邊上找點(diǎn)Q，使點(diǎn)P、Q為O 的等距點(diǎn)，并說明理由。問題解決（3）如圖，在正方形ABCD中，AB=1,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，在邊CD上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)B、Q為點(diǎn)P的等距點(diǎn)，同時(shí)使四邊形BCQP的面積為正方形ABCD面積的一半？若存在這樣的點(diǎn)Q，求出CQ的長(zhǎng)；若不存在，說明理由。14（12分）（2014陜西）問題探究（1）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使APD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；（2）如圖

26、，在ABC中，ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使EQF=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；問題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知A=E=D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使AMB=60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由解答：解：（1）

27、作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖，則PA=PDPAD是等腰三角形四邊形ABCD是矩形，AB=DC，B=C=90°PA=PD，AB=DC，RtABPRtDCP（HL）BP=CPBC=4，BP=CP=2以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，如圖，則DA=DPPAD是等腰三角形四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，C=90°AB=3，BC=4，DC=3，DP=4CP=BP=4點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，如圖，則AD=APPAD是等腰三角形同理可得：BP=綜上所述：在等腰三角形ADP中，若PA=PD，則BP=2；若DP=DA，則BP=4；若AP=AD，則BP=（2）E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，EFBC，EF=BCBC=12，EF=6以EF為直徑作O，過點(diǎn)O作OQBC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖ADBC，AD=6，EF與BC之間的距離為3OQ=3OQ=OE=3O與BC相切，切點(diǎn)為QEF為O的直徑，EQF=90°過點(diǎn)E作EGBC，垂足為G，如圖EGBC，OQBC，EGOQEOGQ，EGOQ，EGQ=90°，OE=OQ，四邊形OEGQ是正方形GQ=EO=3，EG=OQ=3B=60°，EGB=90°，EG=3，BG=BQ=GQ+BG=3+當(dāng)E