1、坐標系與參數(shù)方程 知識點一坐標系 1.極坐標系的概念 (1極坐標系 如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點O ,叫做極點,自極點O 引一條射線Ox ,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度及其正方向(通常取逆時針方向,這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2極坐標設(shè)M 是平面內(nèi)一點,極點O 與點M 的距離|OM|叫做點M 的極徑,記為;以極軸Ox 為始邊,射線OM 為終邊的角xOM 叫做點M 的極角,記為

2、.有序數(shù)對(,叫做點M 的極坐標,記作(,M .一般地,不作特殊說明時,我們認為0,可取任意實數(shù).特別地,當點M 在極點時,它的極坐標為(0, (R.和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02><,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(,表示;同時,極坐標(,表示的點也是唯一確定的.2.極坐標和直角坐標的互化(1互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x 軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示: (2互化公式:設(shè)M 是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(,x y ,極坐標是(,(0,于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點M 直角坐標

3、(,x y極坐標(,互化公式cos sin x y = 222tan (0x y yx x=+= 在一般情況下,由tan 確定角時,可根據(jù)點M 所在的象限最小正角. 3.常見曲線的極坐標方程曲線 圖形 極坐標方程圓心在極點,半徑為r 的圓(02r =<圓心為(,0r ,半徑為r 的圓2cos (22r =-<圓心為(,2r ,半徑為r 的圓2sin (0r <過極點,傾斜角為的直線(1(R R =+或 (2(0(0=+和過點(,0a ,與極軸垂直的直線cos (22a =-<<過點(,2a ,與極軸平行的直線sin (0a =<<注:由于平面上點的極坐

4、標的表示形式不唯一,即(,(,2,(,(,+-+-+都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程,=點(,44M 可以表示為5(,2(,2,444444+-或或(-等多種形式,其中,只有(,44的極坐標滿足方程=.二、參數(shù)方程 1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標,x y 都是某個變數(shù)t 的函數(shù)(x f t y g t =,并且對于t 的每一個允許值,由方程組所確定的點(,M x y 都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù),x y 的

5、變數(shù)t 叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2如果知道變數(shù),x y 中的一個與參數(shù)t 的關(guān)系,例如(x f t =,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系(y g t =,那么(x f t y g t =就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使,x y 的取值范圍保持一致.注:普通方程化為參數(shù)方程,參數(shù)方程的形式不一定唯一。應用參數(shù)方程解軌跡問題,關(guān)鍵在于適當?shù)卦O(shè)參數(shù),如果選用的參數(shù)不同,那么所求得

6、的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3.圓的參數(shù)如圖所示,設(shè)圓O 的半徑為r ,點M 從初始位置0M 出發(fā),按逆時針方向在圓O 上作勻速圓周運動,設(shè)(,M x y ,則cos (sin x r y r =為參數(shù)。這就是圓心在原點O ,半徑為r 的圓的參數(shù)方程,其中的幾何意義是0OM 轉(zhuǎn)過的角度。圓心為(,a b ,半徑為r 的圓的普通方程是222(x a y b r -+-=, 它的參數(shù)方程為:cos (sin x a r y b r =+=+為參數(shù)。4.橢圓的參數(shù)方程以坐標原點O 為中心,焦點在x 軸上的橢圓的標準方程為22221(0,x y a b a b+=>>其參數(shù)方程為cos

7、(sin x a y b =為參數(shù),其中參數(shù)稱為離心角;焦點在y 軸上的橢圓的標準方程是22221(0,y x a b a b +=>>其參數(shù)方程為cos (,sin x b y a =為參數(shù)其中參數(shù)仍為離心角,通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0,2。注:橢圓的參數(shù)方程中,參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角,要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來,除了在四個頂點處,離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在0到2的范圍內(nèi),在其他任何一點,兩個角的數(shù)值都不相等。但當02時,相應地也有02,在其他象限內(nèi)類似。5.雙曲線的參數(shù)方程以坐標原點O 為中心,焦點在x 軸上的雙曲線的標準議程為22221(0,0,x y a

8、 b a b-=>>其參數(shù)方程為sec (tan x a y b =為參數(shù),其中30,2,.22且 焦點在y 軸上的雙曲線的標準方程是22221(0,0,y x a b a b-=>>其參數(shù)方程為cot (0,2.csc x b e y a =為參數(shù),其中且 以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。 6.拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點,開口向右的拋物線22(0y px p =>的參數(shù)方程為22(.2x pt t y pt=為參數(shù) 7.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點000(,M x y ,傾斜角為(2的直線l 的普通方程是00tan (,y y x x -=-而過000(,M x y ,傾斜角為的直線l 的參數(shù)方程為00cos sin x x t y y t =+=+(t 為參數(shù)。注:直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義:過定點000(,M x y ,傾斜角為的直線l 的參數(shù)方程為00cos sin x x t y y t =+=+(t 為參數(shù),其中t 表示直線l 上以定點0M 為起點,任一點(,M x y 為終點的有