1、 .wd.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 【考綱說明】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景如瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。2、熟記八個根本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法那么，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值?！局R梳理】導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算法那么一、導(dǎo)數(shù)的概念

2、函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=fx0+fx0，比值叫做函數(shù)y=fx在x0到x0+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做fx在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作fx0或y|。即fx0=。說明：1函數(shù)fx在點x0處可導(dǎo)，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。2是自變量x在x0處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=fx在點x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：1求函數(shù)的增量=fx0+fx0；2求平均變化率=；3取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0)=。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f

3、x在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=fx在點px0，fx0處的切線的斜率。也就是說，曲線y=fx在點px0，fx0處的切線的斜率是fx0。相應(yīng)地，切線方程為yy0=f/x0xx0。三、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù); ; ; .四、兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法那么 法那么1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： ( 法那么2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：假設(shè)C為常數(shù),那么.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法那么3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以

4、分母的平方：=v0。形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法那么：y|x= y|u·u|x五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，那么為增函數(shù)；如果，那么為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，那么為常數(shù)；2、極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；3、最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)(x)在(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)(x)在區(qū)間端點的值(a)、(b)；將函數(shù)(x)的各極值與(a)、(b)比

5、擬，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分(1)概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上取任一點ii1，2，n作和式In(i)x其中x為小區(qū)間長度，把n即x0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。根本的積分公式：C； CmQ， m1；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC表中C均為常數(shù)。

6、(2)定積分的性質(zhì)k為常數(shù)；其中acb。(3)定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb(a<b)，x軸及一條曲線yf(x) (f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)不妨設(shè)f1(x)f2(x)0，及直線xa，xba<b圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。【經(jīng)典例題】【例1】2012廣東曲線y=x3-x+3在點(1,3)處的切線方程：?！窘馕觥肯葘瘮?shù)y=x3-x+3求導(dǎo)，得：y=3x2-1。代入點(1,3)求出斜率，k=2。設(shè)切線方程為y-3=2(x-1)，得切線方程為：y=2x+1?！纠?】2012遼寧P，Q為拋物線

7、x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A的縱坐標為?！窘馕觥繏佄锞€變形為：y=x2。求導(dǎo)y,=x。代入兩點橫坐標得出兩切線的斜率分別為：4，-2。點P，Q兩點坐標為(4,8)，(-2,2)。得出兩切線為：y=4x-8，y=-2x-2。兩直線交點為(1,-4)。所以交點的縱坐標為-4。【例3】2011課標函數(shù)f(x)=，曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為x+2y-3=0。(1) 求a，b的值；(2) 如果當x>0，且x1時，f(x)>，求k的取值范圍。b=1f(x)=1【解析】(1)f,(x)=由于直線x+2y-3=0

8、的斜率為，且過點(1,1)，=f,(1)=故 即 解得a=1，b=1。(2)由1知，所以。考慮函數(shù)，那么。(i)設(shè)，由知，當時，。而，故當時，可得；當x1，+時，hx<0，可得 hx>0從而當x>0,且x1時，fx-+>0，即fx>+.ii設(shè)0<k<1.由于當x1，時，k-1x2 +1+2x>0,故h x>0,而h1=0，故當x1，時，hx>0，可得hx<0,與題設(shè)矛盾。iii設(shè)k1.此時h x>0,而h1=0，故當x1，+時，hx>0，可得 hx<0,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為-，0.【例4】2012

9、山東函數(shù)f(x) =k為常數(shù)，e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，曲線y= f(x)在點1，f(1)處的切線與x軸平行。求k的值；求f(x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)g(x)=(x2+x),其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x0，。【解析】由f(x) =可得，而，即，解得；，令可得，當時，；當時，。于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。，當時， ，.當時，要證。只需證，然后構(gòu)造函數(shù)即可證明。【例5】2012北京函數(shù)，其中.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；假設(shè)直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；設(shè)，求在區(qū)間上的最大值.其中為自然對數(shù)的底數(shù)【解析】，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是.設(shè)切點坐標為

10、，那么 解得，. ，那么解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最大值為. 當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最大值為. 當，即時，的最大值為和中較大者；，解得，所以，時，最大值為，時，最大值為.綜上所述，當時，最大值為，當時，的最大值為. 【例6】2012重慶函數(shù)在處取得極值為(1)求、b的值；(2)假設(shè)有極大值28,求在上的最大值。【解析】錯誤！未找到引用源。()因 故 由于 在點 處取得極值故有即 ,化簡得解得()由()知,令，得當時,故在上為增函數(shù)；當 時, 故在 上為減函數(shù)當時，故在 上為增函數(shù)。由此可知在 處取得極大值， 在

11、處取得極小值由題設(shè)條件知得，此時,因此 上的最小值為?！纠?】2011安徽設(shè)，其中為正實數(shù)當時，求的極值點；假設(shè)為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍?！窘馕觥?f ' (x)=當a=時令f ' (x)=0解得x=或x=當x時，f ' (x)>0;當x時，f ' (x)<0;當x，f ' (x)>0,所以f(x)在x=處取得極大值，在x=處取得極小值。（2） 假設(shè)為上的單調(diào)函數(shù)那么f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零，因為a>0所以=-2a2-4a0，解得0<a1.【課堂練習(xí)】1、 選擇題1.2011

12、全國曲線y=e-2x+1在點(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為 A B C D 12.2010課標全國曲線在點(-1,-1)處的切線方程為 A y=2x+1B y=2x-1C y=-2x-3Dy=-2x-23.2012陜西設(shè)函數(shù)f(x)=xex,那么 A x=1為f(x)的極大值 B x=1為f(x)的極小值 Cx=-1為f(x)的極大值D x=-1為f(x)的極大值4.2008廣東理設(shè)，假設(shè)函數(shù)，有大于零的極值點，那么 AB. C. D. 52008江西、山西、天津理科函數(shù)有 A 極小值1，極大值1 B 極小值2，極大值3C 極小值2，極大值2 D 極小值1，極大值3

13、6.2006湖南理科設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x0時,0.且，.那么不等式f(x)g(x)0的解集是 A B C D7. 2007海南、寧夏理曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為D.8.2008湖北理假設(shè)f(x)=上是減函數(shù)，那么b的取值范圍是 A.-1，+ B.-1，+. D.-，-192005江西理科函數(shù)的圖像如右圖所示其中是函數(shù)，下面四個圖象中的圖象大致是 A B D（1） 2006江西、天津理科右圖中陰影局部的面積是 A B C D 二、填空題：11.2007湖北文函數(shù)的圖象在M1，f1處的切線方程是+2，f(1)f(1)=_.12.2007湖南理函

14、數(shù)在區(qū)間上的最小值是.13.2008全國卷理設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，那么 .14.2006湖北文半徑為r的圓的面積S(r)r2,周長C(r)=2r，假設(shè)將r看作(0，)上的變量，那么2r ，式可以用語言表達為：對于半徑為R的球，假設(shè)將R看作(0，)上的變量，請你寫出類似于的式子：式可以用語言表達為： .三、解答題：15.2005重慶文某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量(噸)與每噸產(chǎn)品的價格(元/噸)之間的關(guān)系式為：,且生產(chǎn)x噸的本錢為元。問該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤到達最大？最大利潤是多少？利潤=收入本錢)。16.2008重慶文設(shè)函數(shù)假設(shè)曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12

15、x+y=6平行，求： a的值; 函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.17.2008全國卷文、理函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍3. 2006浙江理設(shè)曲線0在點Mt, 處的切線與x軸y軸所圍成的三角形面積為St。 求切線的方程； 求St的最大值。19.2007海南、寧夏文設(shè)函數(shù)討論的單調(diào)性； 求在區(qū)間的最大值和最小值20.2007安徽理設(shè)a0，f (x)=x1ln2x2a ln xx>0.令Fxxfx，討論Fx在0.內(nèi)的單調(diào)性并求極值；求證：當x>1時，恒有x>ln2x2a ln x1.【課后作業(yè)】一、選擇題1.2005全國卷文函數(shù),在時取得極值,那么=( )

16、 A2B3C4D52(2008海南、寧夏文設(shè)，假設(shè)，那么 A B C D 32005廣東函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為 A B C D0，24.2008安徽文設(shè)函數(shù) 那么 A 有最大值 B 有最小值 C 是增函數(shù)D 是減函數(shù)52007福建文、理對任意實數(shù)x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0時，f(x)>0，g(x)>0，那么x<0時 A f(x)>0，g(x)>0 B f(x)>0，g(x)<0C f(x)<0，g(x)>0 D f(x)<0，g(x)<06.2008全國卷文設(shè)曲線在點1,處的切線與直線平行,那么(

17、 )A 1 B C D 72006浙江文在區(qū)間上的最大值是 A -2 B 0 C 2 D 4xyoAxyoDxyoCxyoB82005湖南文科假設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，那么函數(shù)f /(x)的圖象是 92005全國卷理科函數(shù)yxcosxsinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) A (，) B (，2)C (，)D (2，3)10. 2012重慶設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如下圖，那么以下結(jié)論中一定成立的是A函數(shù)有極大值和極小值B函數(shù)有極大值和極小值C函數(shù)有極大值和極小值D函數(shù)有極大值和極小值二、填空題：11.2007浙江文曲線在點(1，一3)處的切線方程是.1

18、2.2006重慶文科曲線在點1，1處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為.132007江蘇函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，那么.14.2008北京文如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為0，4，2，0，6，4，那么f(f(0)= ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f(1)= .三、解答題：15.2005北京理科、文科函數(shù)f(x)= x33x29xa. I求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；II假設(shè)f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值16.2006安徽文設(shè)函數(shù)，是奇函數(shù)。求、的值。 求的單調(diào)區(qū)間與極值。1. 2005福建文科函數(shù)的圖象過點P0，2，

19、且在點M1，f1處的切線方程為.求函數(shù)的解析式； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18.2007重慶文用長為18 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？192008全國卷文 設(shè)，函數(shù)假設(shè)是函數(shù)的極值點，求的值；假設(shè)函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍20.2008湖北文 函數(shù)m為常數(shù)，且m>0有極大值9. 求m的值； 假設(shè)斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.【參考答案】【課堂練習(xí)】一、選擇110AADBD DDCCC(2) 填空（1） 3 ； 12； 13. 2 ； 14. ,球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的外表

20、積函數(shù)三、解答題15. 解：每月生產(chǎn)x噸時的利潤為，故它就是最大值點，且最大值為：答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤到達最大，最大利潤為315萬元.16. 解：()因為, 所 即當因斜率最小的切線與平行，即該切線的斜率為-12，所以 解得()由()知17解：1 求導(dǎo)：當時，, 在上遞增當，求得兩根為即在遞增, 遞減, 遞增2要使f(x)在在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，當且僅當，在恒成立，由的圖像可知，只需，即, 解得。a2。所以，的取值范圍。18.解：因為 所以切線的斜率為故切線的方程為即。令y= 0得x=t+1, x=0得所以St=從而當0，1時，>0, 當1,+時,<0,所以S(t)的最大值為

21、S(1)=。19 解：的定義域為當時，；當時，；當時，從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少由知在區(qū)間的最小值為又所以在區(qū)間的最大值為20.解：根據(jù)求導(dǎo)法那么得故 于是列表如下：x (0,2) 2 (2,+)Fx - 0 +F(x) 極小值F2 故知Fx在0，2內(nèi)是減函數(shù)，在2，+內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x2處取得極小值F22-2In2+2a.證明：由于是由上表知，對一切從而當所以當故當【課后作業(yè)】1、 選擇1-10 DBDAB ACABD1、 填空11.；12. ；13. 32；14. 2 , -2 .三、解答題15. 解：I f(x)3x26x9令f(x)<0，解得x<1或x&

22、gt;3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，1，3，II因為f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)>f(2)因為在1，3上f(x)>0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的最小值為716.解，。從而是一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；由知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。1、 解：()由的圖象過點P0，2,d=2知,所以,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)處的切線方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,(-1)=6,即解得b=c=-3。故所求的解析式為f(x)=x3-3x2-3x+2,()(x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,當x<1-或x>1+時,(x)>0