1、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容一、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布 二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 三、常見(jiàn)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 四、隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 第一節(jié)、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布一、離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 1、聯(lián)合分布聯(lián)合分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y是離散型隨機(jī)變量，其一切是離散型隨機(jī)變量，其一切可能值相應(yīng)為 xi 和 yi隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布，亦稱做隨機(jī)向量(X, Y)的概率分布，表示為：jijipyYxX,P其中 ijijijp,p1 0離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布常用列聯(lián)表表示（表3.1） 表3.1 離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布 2、邊緣概率分布

2、、邊緣概率分布 凡是可以由聯(lián)合分布得到或決定的概率分布，統(tǒng)稱為聯(lián)合分布的邊緣概率分布邊緣概率分布隨機(jī)變量X的概率分布和Y的概率分布，完全決定于X和Y的聯(lián)合分布： , iiji jijjXxXx YyppPP，, jiji jjiiYyXx YyppPP3、條件概率分布、條件概率分布由變量X和Y的聯(lián)合分布可見(jiàn)，對(duì)于給定的xk ，若PX= xk0，則 ， )1,2,( ,jppxXyYxXxXyYkjkkjkkjPPP稱做Y在X= xk條件下的條件分布，或Y關(guān)于X= xk的條件分布條件分布具有（無(wú)條件）概率分布的一切性質(zhì) 4、多元離散型聯(lián)合分布、多元離散型聯(lián)合分布 讀者自己容易把二元情形推廣到多個(gè)

3、離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布和條件分布n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的邊緣分布，包括任意m(1mn)個(gè)變量的概率分布和聯(lián)合概率分布 例例 3.3 假設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為 30. 020. 010. 025. 015. 0) 1 , 2()2 , 1 () 1 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(,YX分別求X和Y的概率分布求Y關(guān)于X的條件概率分布 解解 易見(jiàn)X有0,1,2等3個(gè)可能值，而Y有1,2等兩個(gè)可能值 00,10,20.4 XXXYXy1PPP（）、 的概率分布 ，11 ,11 ,20.301222,1 0.3 0.4 0.3 0.3XXYXyXXYX PPPPP，；

4、10,112,10.55YXYXYXYPPPPY的概率分布，1221110.550.45 0.550.45YYY PP；，02| 213 . 03 . 021, 22| 1XYXYXXYPPPP1 ,11 ,20.10 10.20 21|12|110.3310.30 3XYXYYXYXXX PPPPPP，0,10,20.15 30.25 51|02|000.40 800.40 8XYXYYXYXXX PPPPPP，(2) 求Y關(guān)于X的條件概率分布Y關(guān)于X=0的條件概率分布： Y關(guān)于X=1的條件概率分布： Y關(guān)于X=2的條件概率分布： 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度 1、聯(lián)合密度聯(lián)合密度 對(duì)于二連

5、續(xù)型變量X和Y，(X,Y)可視為平面上的點(diǎn)對(duì)于平面上的任意區(qū)域G，點(diǎn)(X,Y)屬于G的概率通過(guò)一非負(fù)二元函數(shù)f(x,y)的積分表示： .dd ),(),(yxyxfGYXGP特別，若G=(x,y):axb,cy0，稱 )( )( ),( )|(11 | 2yxfyxfxyf為Y關(guān)于X=x的條件密度條件密度同樣定義X關(guān)于Y=y的條件密度f(wàn)1|2 (x|y) 顯然 )|()( )|()(),(2 | 121 | 21yxfyfxyfxfyxf稱做密度乘法公式密度乘法公式 例例3.4 假設(shè) 是原點(diǎn)為圓心、半徑 222 : )(ryxx,yG為r的圓（圖3.1）；已知X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y)，在

6、圓G上為常數(shù)，在圓G外f(x,y)=0試求， (1) 聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)，(2) f(x,y)的邊緣密度，即X和Y的密度f(wàn)1 (x)和 f2(y)；(3) Y關(guān)于X=x的條件密度f(wàn)2|1 (y|x) 221 ( )1 , ( , )( , ) 0 , ( , )crx yGXYf x yrx yG從而若，于是得到 和 的聯(lián)合密度為若221 1( , )d d d dGrf x yx yc x yc r 解：（）、由于 G的面 等于可圓 積 見(jiàn)( , ) f x yXYG（ ， ）在 上這時(shí)，稱 為二元均勻密度二元均勻密度，稱服從二元均勻分布二元均勻分布 (2) X和Y的密度f(wàn)1 (x)和 f

7、2(y),當(dāng)|x|r時(shí)，顯然f1 (x) =0設(shè)|x|r，則X的密度 222212d 1d),()(2222xrryryyxfxfxrxr于是，得X的概率密度 若，若rxrxxrrxf| 0| ,2)(2221同理可得Y的聯(lián)合概率密度 若，若ryryyrryf| 0| ,2)(2222(3) 對(duì)任意x, 只要f1 (x) 0，則Y關(guān)于X=x的條件密度為 | , 0 | 21)(),()|(22222211 | 2若，若，xryxryxrxfyxfxyf注意，X和Y的分布不是均勻分布，它們之中一個(gè)關(guān)于另一個(gè)的條件分布都是均勻分布4、多元聯(lián)合密度多元聯(lián)合密度 類似地可以引進(jìn)多個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合

8、密度、邊緣密度和條件密度因?yàn)楹苋菀子啥芏萬(wàn)(x1,x2) 推廣到多元密度f(wàn)(x1,x2 ,xn ) 故留給讀者自己完成注意，n(n2)個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度的邊緣密度，包括任意m(1m)個(gè)變量的概率密度或聯(lián)合密度 三、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 1、聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù) (1) 稱r元函數(shù) ),(,),(21221121rrrrxxxxXxXxXxxxFP為隨機(jī)向量X=( X1 ,X2 ,Xr )的分布函數(shù),或隨機(jī)變量X1 ,X2 ,Xr的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) (2) 隨機(jī)變量X1 ,X2 ,Xr中，各變量的分布函數(shù)，以及其中任意m個(gè)變量的聯(lián)合分布函數(shù)F(X1

9、 ,X2 ,Xr)，統(tǒng)稱為聯(lián)合分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù). 2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) 以隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)為例基于一元分布函數(shù)的性質(zhì)和二元分布函數(shù)的定義，不難理解F(x,y)的如下性質(zhì)(1) 0F(x,y)1，且對(duì)于每一自變量單調(diào)不減(2) 對(duì)于每一自變量，F(xiàn)(x,y)右連續(xù) (3)(, )( ,)0,(,)1.FyF xF 、(4) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)ab,cd,，有（圖3.2） ),(baFxxbybayaOdcO圖3.2二元分布函數(shù)示意圖b(a)(b),(),(),(),( , caFcbFdaFdbFdYcbXaP(5) F(x,y)完全決定X和Y的分布函數(shù)F1(

10、x)和F2(y) （反之未必）： 1( ),( ,)F xXxXx YF x PP，2( ),(, )F yYyXYyFy PP(6) 連續(xù)型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，可以表示為： )( dd),(),(- xuufyxFxyvv其中f(x,y)是X和Y的聯(lián)合密度；對(duì)于幾乎一切(x,y)，有 ),(),(2yxfyxyxF例例3.7 假設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 ，若不然。，若 0 10 , 104),(yxxyyxf(1) 求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(2) 求X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y) 解解 (1)當(dāng)x0 或y0時(shí)顯然F(x,y)=0；當(dāng)x1或y1

11、時(shí)顯然F(x,y)=1；對(duì)于0 x1, 0y1，220 0( , )4d d (01,01) yxF x yst s tx yxy；120 0( , )4d d (01,1) xF x yst s txxy；120 0( , )4d d (1,01) yF x yst s tyxy于是2222 1 1101,01( , ) 01,1 01,1 0 xyx yxyF x yxxyyyx，若或，若，若，若，其他(2)當(dāng)x1時(shí)， F1(x) =1；現(xiàn)在設(shè)0 x1，有 21( )( ,),1( ,1).F xF xXx YXx YF xx PP于是，X的分布函數(shù) 210 ,0,( ) 01,1 , 1xF xxxx若， 若 若類似可得F2(y) 因此，有 220 ,0,( ) 01,1 , 1yF yyyy若， 若 若例例3.8 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 0 min , 0 , ( , )min , 0min , 1 , mi