1、01992 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題、填空題( (本題共 5 5 小題，每小題 3 3 分, ,滿分 1515 分. .把答案填在題中橫線上.).)(2)(2)函數(shù)y x 2cos x在0,上的最大值為_21.1 X2Xe cosxdx21x(x 1)由曲線y xex與直線y ex所圍成的圖形的面積S _二、選擇題( (本題共 5 5 小題，每小題 3 3 分, ,滿分 1515 分. .在每小題給出的四個選項中 是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).).)(1(1) )f(t) f(e3t其中f可導, ,且f (0)1),0, ,則dydxt oXim0, ,只有

2、一項0設f (x)連續(xù), ,F(x)x2f(t2)dt, ,則F (x)等于(A)(A)f(x4)(B(B) )x2f(x4)(C)(C)2xf(x4)(D)(D)2xf (x2)(1(1) )當x 0時，x sin x是x2的(A)(A)低階無窮小(C)(C)等價無窮小2x ,2x設f (x)x, x0, ,則0(A(Af(x)x2(x2x), x(C)(C)f(x)2x ,2x x, x1時, ,函數(shù)x21e1(B)(B)(D)(D)(B(B(D)(D)x 1的極限高階無窮小同階但非等價的無窮小f( x)f( x)(x2x),x2x ,x,x2x ,(A)(A)等于 2 2(C)(C)為(

3、B(B) )等于 0 0不存在但不為若f （x）的導函數(shù)是sinx, ,則f（X）有一個原函數(shù)為()()七、 （本題滿分 9 9 分）求曲線y. x的一條切線I, ,使該曲線與切線I及直線x 0,x面積最小. .八、 （本題滿分 9 9 分）(A)(A)1sinx(B)(B)1 sin x(C)(C)1cosx(D)(D)1 cosx、（本題共 5 5 小題，每小題 5 5 分, ,滿分 2525 分. .）(1(1) )求lim(Xx 13x)26 x，設函數(shù)y y（x）由方程d2vy xey1所確定，求fdx的值. .X 0求微分方程（y x3）dx 2xdy 0的通解. .四、（本題滿分

4、設f (x)9 9 分) )1 x2xe ,x0, ,求f (x 2)dx. .01五、（本題滿分求微分方程y 3yx2y xe的通解. .六、（本題滿分 9 9 分）計算曲線y ln（1x2）上相應于0 x1的一段弧的長度. .22所圍成的平面圖形0若f （x）的導函數(shù)是sinx, ,則f（X）有一個原函數(shù)為()()已知f （x） 0, f （0）0, ,試證：對任意的二正數(shù)x1和x2, ,恒有f(X1X2)f(xj f(X2)成立. .2bimln x1 blim11992 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題（本題共 5 5 小題，每小題 3 3 分，滿分 1515 分.

5、 .）（1 1）【答案】3【解析】由復合函數(shù)求導法則可得巴dx3tdy/dt 3e f (edx/dt3t1)f (t)曰dy是 -dx3. .t 0【相關(guān)知識點】復合函數(shù)求導法則：如果u g（x）在點x可導，而yf (x)在點u g(x)可導，則復合函數(shù)yg(x)在點x可導，且其導數(shù)為【答案】3【解析】令y因為只有一個駐點dydxf (u) g (x)或dy dy du dxdu dxx 0, ,得0,內(nèi)駐點2, ,所以此駐點必為極大值點2sinx x . .6, ,與端點值進行比較, ,求出最大值. .y(0)2, ,y(-)36，y（i）3可見最大值為【答案】0【解析】 由等價無窮小0時

6、, ,1.1limx 01 x2xe cosxlimx 01)xe cosx-x2, ,故2上式為“0”0型的極限未定式, ,又分子分母在點0處導數(shù)都存在，由洛必達法則，有原式lim 0.0.x 0exsin x丄22【解析】令【答案】原式blimbdx21x(x 1)blimbx21x(x22dx1)blim1(亠1xx)dx( (分項法) )bimIn xblim11x2_湊微分法）ln (x21)2Hm一bh12bimln x1 blim1【答案】e12, ,解得兩曲線的交點為(0,0),(1, e), ,則所圍圖形面積為1So(ex xex)dx, ,再利用分部積分法求解，得算, ,最

7、后甚至算不出結(jié)果來在做題的時候應該好好總結(jié)，積累經(jīng)驗. .【相關(guān)知識點】分部積分公式：假定u u(x)與v v(x)均具有連續(xù)的導函數(shù)，則uv dx uv u vdx,或者udv uv vdu.、選擇題( (本題共 5 5 小題，每小題 3 3 分，滿分 1515 分.).)【相關(guān)知識點】無窮小的比較:設在同一個極限過程中, ,(x),(x)為無窮小且存在極限lim(x)I,(x)(1)(1) 若l0,稱(x),(x)在該極限過程中為同階無窮?。蝗鬺1,稱(x),(x)在該極限過程中為等價無窮小, ,記為(x) :(x)；若l0,稱在該極限過程中(X)是(X)的高階無窮小，記為(x) o (x

8、)若lim兇不存在( (不為 ),),稱(x),(x)不可比較. .(x)(2)(2)【答案】(D)(D)【解析】直接按復合函數(shù)的定義計算(x)2, x 02lim Inbbb2i1|n2In1 -I n2 -I n2. .2 2【解析】 聯(lián)立曲線和直線的方程xxeo1exdx注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰先進入積分號的問題, ,如果選擇不當可能引起更繁雜的計X-moH XF F 為“唁”型的極限未定式，又分子分母在點運用兩次洛必達法則lim-x 0警lim心空limxx 02xxsin x0處導數(shù)都存在，連續(xù)0, ,故選(B).(B).2小小x x, x 0,x , x 0.f( x)1B(

9、x) ( x), x 0所以應選(D).(D).)23 X 132【答案】(D)(D)【解析】對于函數(shù)在給定點X。的極限是否存在，需要判定左極限x X。和右極限XX。是否存在且相等,若相等,則函數(shù)在點X。的極限是存在的2,1 1X 1lim eX 1lim(X1)eX 1. .X 1X1X 10, ,故當X1時函數(shù)沒有極限，也不是 . .故應選(D).(D).【答案】(C)(C)X2【解析】F (X)。f(t2)dtf(x2)2 (X2)2xf(X4), ,故選(C).(C).【相關(guān)知識點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：(t)若F(t)f(x)dx, ,(t), ,(t)均一階可導，則F (t)

10、(t) f (t)(t) f (t)【答案】(B)(B)【解析】由f (X)的導函數(shù)是sinx, ,即f (X) sinx, ,得所以f (X)的原函數(shù)令G 0, ,C21得F(x) 1 si nx. .故選(B).(B).三、( (本題共 5 5 小題，每小題 5 5 分, ,滿分 2525 分.).)3(1)(1)【答案】e21【解析】此題考查重要極限：lim(1 -)Xe.XX將函數(shù)式變形，有3 X 1limXim(3Xlim(1X6X3_)36X2XlimX 1eX1lim(X1)eX 10, ,f (X) f (x)dx sin xdxcosx C, ,其中C為任意常數(shù)F(X)f (

11、x)dx ( cosx C)dxsinx C1XC2, ,其中C1,C2為任意常數(shù)lim e6 X 2)23 X 132/6X2vCx21 x2(2)(2)【答案】2e2【解析】函數(shù)yy(x)是一個隱函數(shù)，即它是由一個方程確定，寫不出具體的解析式方法 1 1:在方程兩邊對x求導,將y看做x的函數(shù),得eyxeyy 0, ,即yey1 xey把x 0, y 1代入可得y (0)兩邊再次求導，得eyy (1 xey) ey(eyxeyy)(1xey2把x 0,y1, ,y (0)e代入得y (0)d2ydx22e2. .方法 2 2：方程兩邊對x求導, ,得y eyyxe y再次求導可得y eyy

12、(eyy xeyyxeyy )0, ,把x 0, y 1代入上面兩式，解得y (0)e, ,y (0)d2ydx22e2. .x 0【相關(guān)知識點】1.1.復合函數(shù)求導法則：如果u g(x)在點x可導，而yf (x)在點ug(x)可導, ,則復合函數(shù)y f g(x)在點x可導，且其導數(shù)為2.2.兩函數(shù)乘積的求導公式:3.3.分式求導公式:3【答案】(1 x2)2dydxf(x)f (u)g(x)g(x)或乎乎乎dx du dxf (x) g(x) f(x) g (x). .uv-2v其中C為任意常數(shù). .【解析】方法 1 1：積分的湊分法結(jié)合分項法，有3x .=2dx2x=2d(11 x221x

13、)12(1X)1d(1x2)一J)d(1 x2) 1 xvCx21 x21 2 21 121 x2d(1 X2)2d(1 X2)22. 1 Xt r1)dt 2(1 X2). 1 X2C, ,其中C為任意常數(shù)、1 t 3【答案】4(邁1)際上是分段函數(shù)的積分13!(1 x2)2.1 x23其中C為任意常數(shù). .方法 2 2：令x tant, ,則dx sec2tdt, ,X3dxtan3tsectdt.1 x2tan2td (sect)(sec t 1)d (sect)sec3t sect3C丄(133X2)2.1 x2C, ,其中C為任意常數(shù). .方法 3 3:令t12,312dX1 tdt

14、此后方法同方法1,1,積分的湊分法結(jié)合分項法f (X)f (X),不要輕易丟掉絕對值符號;絕對值函數(shù)的積分實由二倍角公式sin2sin cos, ,則有2 21 sin sin2cos 2s in2 2 2cos sin2 2cos所以o1 sin xdxJ sin*o122X .cos dx2.X sin cos 22 dx2cos02sinXdx2.xsin2cos- dx2x2 sin2Xcos_2XCOS-2.xsin24(、2 1)(5)(5)【答案】yX3, ,其中C為任意常數(shù)5由一階線性微分方程的通解公式A33五、( (本題滿分 9 9 分) )【解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性

15、非齊次方程，對應的齊次方程的特征方程2xr 3r 2 0有兩個根為1,r22, ,而非齊次項xe ,1”為單特征根，因而非齊 次方程有如下形式的特解Y x(ax b)ex, ,1代入方程可得a ,b1, ,所求解為2y C1exC2e2x|(x 2)ex, ,其中CnC2為任意常數(shù). .* *【相關(guān)知識點】1.1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設y (x)是二階線性非齊次方程y P(x)y Q(x)y f (x)的一個特解. .Y(x)是與之對應的齊次方程y P(x)y Q(x)y 0的通解，則y Y(x) y*(x)是非齊次方程的通解. .2.2.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對于求解

16、二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x), ,可用特征方程法求解：即y P(x)y Q(x)y 0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù)，方程【解析】 所給方程為一階線性非齊次方程, ,其標準形式為丄dxy e2x丄dx2xdx C其中C為任意【相關(guān)知識點】 一階線性非齊次方程P(x)yQ(x)的通解為P(x)dxy eQ(x)eP(x)dxdxC, ,其中C為任意常數(shù)四、( (本題滿分 9 9 分) )【解析】 分段函數(shù)的積分應根據(jù)積分可加性分段分別求積分分變量，若先作變量代換令x 2 t, ,則dx另外， 被積函數(shù)的中間變量非積31f(x, ,往往會簡化計算dt.當x12)dx1f (t)dt分段1;

17、當xt23時, ,t 1, ,于是dt1etdt0C00變?yōu)閥py qy 0.其特征方程寫為rprq0,在復數(shù)域內(nèi)解出兩個特征根口2；分三種情況：(1)(1) 兩個不相等的實數(shù)根r1,r2, ,則通解為yGe(2)(2) 兩個相等的實數(shù)根r1r2, ,則通解為yGC2x erx1;(3)(3) 一對共軛復根 A Ai i , ,則通解為yexC1cos x C2sin x .其中C1,C2為常數(shù)3.3.對于求解二階線性非齊次方程f (x)的一個特解y (x), ,可用待定y P(x)y Q(x)y系數(shù)法，有結(jié)論如下:x如果f(x)Pm(x)e ,則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如y (x)xk

18、Qm(x)ex的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數(shù)的多項式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0 0、1 1 或 2.2.x如果f(x) e P|(x)cos x Pn(x)sin x, ,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)的特解可設為yxkex R1)(x)cos x R(x)sinx, ,其中Rm)(x)與是m次多項式，m maxi, n, ,而k按i) )不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1. .六、( (本題滿分 9 9 分) )【解析】 由于y ln(1x2), ,所以2xrv1(122X節(jié)ds1

19、/21012x dxx1/2201/221 x2dxln1/2【相關(guān)知識點】平面曲線弧長計算:.1 y2dx1/21dx1 xln3已知平面曲線1/22x2dx,(0 x1dx01 xAB的顯式表示為yf(x)a x b, ,00則弧微分為ds . dx, ,弧長sf2（x）dx, ,其中f（x）在a,b有連續(xù)的導數(shù) 七、（本題滿分 9 9 分）【解析】過曲線上已知點（x0, y0）的切線方程為時,k y（X。）. .如圖所示, ,設曲線上一點處的切線方程為令S（t） 0解得唯一駐點t 1, ,而且S在此由負變正，即S（t）在（，1單調(diào)遞減，在設的切線方程中，得所求切線方程為y八、（本題滿分 9 9 分）【解析】 證法一：用拉格朗日中值定理證明不